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13. 2013年全国高中数学联赛甘肃预赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛甘肃省预赛
一.填空题(每小题 6 分,共 60 分) 1. 2. 已知集合 A ? x x ? 2

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?

若B? A, 则实数 a 的取值范围是________. < a? ,B ? ?x x2 ? 2x ? 3 < 0? ,

/>
某程序框图如图所示,则输出的 S ? ________.

开始 3 S=0,k=1 4 正视图 2 k=k+1 2 2 2 侧视图 3

S ? S ? 1/ ( k ? 1 ? k )

k>100? 是 输出 s (第 2 题) (第 3 题) 3. 4. 5.



俯视图

已知四棱锥 P—ABCD 的三视图如图所示, 则四棱锥 P—ABCD 的四个侧面面积的最大值是________. 已知函数 f ( x) 对任意 x ? R ,才有 f ( x ? 2) ?
f ( x) ? 1 ,且 f ( x) ? ?2 ,f (2013) ? ________. f ( x) ? 1

7 个花色不同的小球放到编号分别为 1、2、3 的 3 个盒子内,要求各盒子子内的小球数不小于其编 号数,则不同的方法种数为________.

6.

b, c 分别是 ?A 、?B 、?C 的对边,且 ac ? c 2 ? b2 ? a 2 ,若 △ ABC 最在边的边长 在 △ ABC 中, a ,

为 7 ,且 sin C ? 2 sin A ,则 △ ABC 最小边的边长为________. 7. 把一根长为 7 米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段) ,这两段的长度之差不超过 1 米,分别以 这两段铁丝围成两个圆,则这两个圆面积之各的最大值为________平方米. 8. 如图,正三棱锥 O—ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,且长度均为 2,E、F 分别是 AB、 AC 的中点, H 是 EF 的中点, 过 EF 作平面与侧棱 OA、 OB、 OC 或其延长线分别交于 A1 、B1 、C1 , 已知 OA1 ?

3 ,则二面角 O ? A1 B1 ? C1 的下切值为________. 2

O

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C
A1

1
F

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9.

抛物线 y 2 ? 2 px ( p > 0) 的焦点为 F,已知点 A 、B 为抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB ? 120 ? , 过弦 AB 的中点 M 作抛物线的准线 MN,垂足为 N,则
MN AB

的最大值为________.

2013 ? 2013 ? 2k ? 10. 设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? ? ? ? ________. 2k ?1 ? k ?0 ?

二.解答题(每小题 12 分,共 60 分) 11. 设 f ( x) 是定义在 [1,? ?) 上的增函数,且关于 x 的不等式 f (k ? cos2 x) ≤ f (k 2 ? sin x) 恒成立.求 实数 k 的取值范围. 12. 已知椭圆 E:
1? x2 y 2 ? 0) ,且过点 H ? 3 , ? ,设椭圆 E 的 ? 2 ? 1(a >b >0) 的一个焦点为 F1 (? 3 , 2 2? a b ?

上下顶点分别为 A1 、A2 , P 是椭圆上异于 A1 、A2 的任一点, 直线 PA1 、PA2 分别交 x 轴于点 M、 N, 若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值. 13. 已知函数 f ( x) ? ax , g ( x) ? ln x ,其中 a ? R . (1)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 1,求 a 的值;
1) 上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若函数 G( x) ? f [sin(1 ? x)] ? g ( x) 在区间 (0 ,
n

(3)证明: ? sin
k ?1

1 < ln 2 . (k ? 1) 2

n ≥ 0) . 14. 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 4Sn ? 3an ? 2n?1 (n ? Z ,
(1)求 a n 与 an ?1 之间的关系式;

? 递增的所有 a 0 的取值. (2)求使得数列 a0 ,a1 ,a2 ,
a 2 ? 3bc b2 ? 3ac c 2 ? 3ab ? ? ≥6 . a b c

15. 已知 a、b、c 为正实数,求证:

2

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解 答

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1 < x < 3}. 因为 B ? A, 所以 2-a ≤-1 且 3 ≤2 + a 故有 1. a ≥3 提示: A = {x 2-a < x < 2 + a} , B = {x -
a ≥3 .

2. 102-1 提示: S =

1 2+ 1

+

1 3+ 2

+ ... +

1 102 + 101

= 102-1 .

3. 6 提示: 四棱锥的高为 5 ,四个侧面的面积分别为 2 5 、3、3 和 6,其最大值是 6.
f ( x)-1 -1 f ( x + 2)-1 f ( x) + 1 1 1 = =- 4. 提示:因为 f ( x + 4) = f ( x + 2 + 2) = , f ( x ) - 1 f ( x + 2) + 1 f ( x) 2 +1 f ( x) + 1

故 f ( x + 8) = f ( x) .所以 f (2013) = f (5) = -

1 1 = . f (1) 2

2 2 5. 455 提示: (1)1、2、3 号盒子内放的小球数分别为 2、2、3,则不同的放法 C7 (2) ? C5 = 210 种; 1 3 1、2、3 号盒子内放的小球数分别为 1、3、3,则不同的放法 C7 (3)1、2、3 号盒子内 ? C6 = 140 种; 1 2 放的小球数分别为 1、2、4,则不同的放法 C7 ? C6 = 105 种.故共有 210+140+105=455 种.

2? 1 6. 1 提示:由 ac + c 2 = b 2-a 2 得 cos B = - ,所以 B = ,所以最大边为 b .因为 sin C = 2 sin A ,所以 3 2 y c = 2a ,所以 a 为最小边. 7 1 由余弦定理得 ( 7 ) 2 = a 2 + 4a 2-2a ? 2a ? (- ) ,解得 a = 1 . B 2 A 25 1 7. 提示:设这两段的长度分别为 x 米、 y 米, 4? 7 x O 1 则 x 、 y 满足关系
x > 0, y >0,

x + y ≤7 ,

(第 7 题)

x-y ≤1 ,

其平面区域为图中所示阴影部分,两圆的面积之和为 s = 过点 A(4,3)或 B(3,4)时, s 最大,其最

x2 + y2 ,此式看成是个圆的方程,这个圆经 4?

大值为 O

25 平方米. 4?
8. 5 提示:解法一如图 1,作 ON ⊥ A1B1 于
C1 N .因为 OC1 ⊥ 平面 OA1 B1 , 根据三垂线定

C A1 A N E F H M B C 1

N , 连 理知,

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3
B1

(第 8 题图 1)

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C1 N ⊥ A1 B1 , ∠ONC1 就是二面角 O-A1B1-C1 的平面角.
作 EM ⊥ OB1 于 M,则 EM // OA ,则 M 是 OB 的中点,则 EM=OM=1. 设 OB1 = x ,由
OB1 OA1 x 3 = 得, = ,解得 x = 3 MB1 EM x- 1 2

在 Rt△ OA1 B1 中, A1B1 = OA12 + OB12 = 所以 tan ∠ONC1 =

OA1 ? OB1 3 3 = . 5 ,则 ON = A1 B1 2 5

OC1 = 5. ON 解法二以直线 OA、 OC、 OB 分别为 x 、 y 、z 轴,建立空间直角坐标系 O- xyz ,则 A(2,0,0,),B(0,0,2),
C(0,2,0),E(1,0,1),F(1,1,0),H(1,

1 1 , ) 2 2

O

3 由已知 A1 ( ,0,0) ,设 B1 (0,0, z ) . 2 1 则 A1E = (- ,0,1), EB1 = (- 1,0, z- 1). , 2
由 A1 E 与 EB1 共线得:存在 ? ∈R有A1E = ? EB1 得 A x (第 8 题图 2 ) B 1 z C A 1 H E F B C 1 y

1 - = -? 2 z = 3, 1 = ? ( z-1)
所以 B1 (0,0,3) . 同理: C1 (0,3,0) .

3 3 因此 A1B1 = (- ,0,3), A1 , C1 = (- ,3,0). 2 2
设 n1 = ( x1, y1, z1 ) 是平面 A1B1C1 的一个法向量,则

3 - x + 3z = 0, 2 3 - x + 3 y = 0, 2
令 x = 2 ,得 y = x = 1 ,所以 n1 = (2,1,1) . 又 n2 = (0,1,0) 是平面 OA1 B1 的一个法向量,所以
cos(n1 , n2 ) = 1

y A1 M O F B (第 9 题 ) x A
y 2 = 2 px

N

6 = ,所以 tan( n1 , n2 )= 5 . 6 4 +1+1 B1

3 p 9. 提示:依题意,由抛物线的定义 x = - 3 2

4

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知 AF = AA 1 , BF = BB 1 ,得
AF + BF = AA 1 + BB 1 = 2 MN ,

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MN AF + BF 2 2 2 = . 又在三角形 ABF 中, AB = AF + BF -2 AF BF cos120° , AB 2 AB
2 2 2

即 AB = AF + BF + AF BF ?( AF + BF ) 2- AF BF = AB . 又 AF BF ≤
( AF + BF ) 2 3 , 则 AB 2 ≥ ( AF + BF ) 2 , 4 4

2

即 AF + BF ≤

2 3 AB , 3

因此

MN AF + BF 3 = ≤ , AB 2 AB 3

当且仅当 AF = BF 时取等号. 10.显然 k ≥11 时,[
2013

2013+ 2 k ]=0,所以 2 k +1

+2 ∑ [ 2013 2
k +1

k

]=1007+503+252+126+63+31+16+8+4+2+1

k =0

=2013 11.原不等式等价于

k-cos2 x ≥1, k ≥1 + cos2 x k ≥2 ,
k-cos2 x ≤k 2 + sin x k 2-k ≥sin2 x-sin x- 1.

1 5 因为 sin2 x-sin x- 1 = (sin x- ) 2- ≤1, 2 4
1- 5 1+ 5 ). 1 ≥0 , k ≤ 所以 k 2-k- 或者 k ≥ 所以 k ≥2 ,即 k ∈[2,+∞ 2 2

12.由题意得 a 2-b 2 = 3 ,

x2 3 1 2 2 + y 2 = 1 .(*) 解 a = 4 , b = 1 ,解得 ,所以椭圆 E 的方程为 + = 1 4 a 2 4b 2

法一 由(*)知 A1 (0,1), A2 (0,-1), ,设 P( x0 , y0 ). 直线 PA1 : y-1 = 直线 PA2 : y + 1 =
- x0 y0-1 x ,令 y = 0 ,得 x M = ; y 0-1 x0 x0 y0 + 1 x ,令 y = 0 ,得 x N = ; y0 + 1 x0

x 1 x0 - 0 ),h) ,则 设圆 G 的圆心为 ( ( 2 y0 + 1 y0-1
2 x x x 1 x 1 x 2+h = ( 0 + 0 ) + h2. r 2 = [ ( 0 - 0 )- 0 ] 2 y0 + 1 y0-1 y0 + 1 4 y0 + 1 y0-1

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OG 2 = x 1 x0 ( - 0 )2 + h2. 4 y0 + 1 y0-1

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OT 2 = OG2-r 2
x0 2 x0 2 x0 2 1 x0 1 x0 2 2 = ( - ) +h - ( + ) -h = . 4 y0 + 1 y0-1 4 y0 + 1 y0-1 1-y0 2



x0 2 ( 4 1-y0 2) + y 0 2 = 1 ,所以 x0 2 = ( 4 1-y0 2),OT 2 = =4 4 1-y0 2

所以 OT = 2 ,即线段 OT 的长度为定值 2. 解法二 由(*)可知 A1 (0,1), A2 (0,-1), ,设 P( x0 , y0 ) .
- x0 y0-1 x ,令 y = 0 ,得 x M = ; y 0-1 x0 x0 y0 + 1 x ,令 y = 0 ,得 x N = ; y0 + 1 x0
x0 2 x0 -x0 x0 2 + y 0 2 = 1 ,所以 x0 2 = ( 4 1-y0 2) . ? )= 2 .而 4 y0 + 1 y0-1 y0 -1

直线 PA1 : y-1 = 直线 PA2 : y + 1 =

则 OM ? ON = (

所以, OM ? ON =

x0 2 = 4. 由切割线定理得 OT 2 = OM ? ON = 4 ,所以 OT = 2 . y0 2-1

1 ax- 1 13.(1)因为 F ( x) = ax-ln x( x > 0) ,所以 F ' ( x) = a- = ( x > 0). x ax
?当 a ≤0 时, F ' ( x) = 0 ?x = ?当 a > 0 时, F ' ( x) = 0 ?x =

1 ) 上单调递减,无极值. , F ( x) 在 (0,+∞ a 1 1 1 , 对 x ∈(0, ), F ' ( x) < 0, F ( x) 在 ( ,+∞ ) 上单调递减; a a a

1 1 对 x ∈( ,+∞ ), F ' ( x) > 0, F ( x) 在 ( ,+∞ ) 上单调递增. a a
所以 F ( x) 在 x =

1 1 1 1 处有极小值,即 F ( ) = 1-ln ,所以 1-ln = 1?a = 1 .综上得 a = 1 . a a a a

1 1-x) + ln x ,所以 G' ( x) = -acos(1-x) + . (2)因为 G( x) = a sin( x
1-x) + ln x 在(0,1)上为增函数,所以 G' ( x) = -acos(1 因为 G( x) = a sin( -x) +

1 ≥0 对 x ∈ (0,1) 恒成立. x

因为 x ∈ (0,1) , cos(1-x) > 0 ,当 a ≤0 时,显然 G' ( x) = -acos(1 -x) + 当 a > 0 时, G' ( x) = -acos(1 -x) +

1 ≥0 恒成立. x

1 1 ≥0 ? ≥xcos(1-x) 恒成立. x a 设 h( x) = x cos(1-x) ,显然 h( x) = x cos(1-x) 在 x ∈ (0,1) 上单调递增,所以 h( x) < h(1) = 1

6

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1 , 1] . ≥1?0 < a ≤1 .综上 a 的取值范围是 (-∞ a 1-x) + ln x 在区间( 0,1 )上为增函数,所以当 x ∈ (0,1) 时 (3)由( 2 )知,当 a = 1 时, G ( x) = sin( 1 1 成立.因为 G( x) = sin( 1 -x) + ln x < G(1) = 0 ?sin( 1 -x) < ln ,令 1- x = t ,则当 t ∈ (0,1) 时,sint < ln x 1-t 1 ∈ (0,1) ,所以 对 k ∈ N * ,有 (k + 1) 2

sin

1 < ln (k + 1) 2
n

1 1- 1 (k + 1) 2
< ln

= ln

(k + 1) 2 . k (k + 2)

所以

1 sin ∑ (k + 1)
k =1

2

22 32 42 (n + 1) 2 + ln + ln + ... + ln .. 1×3 2 ×4 3 ×5 n(n + 2)

14.(1) 4Sn = 3an + 2n+1 (n ≥0, n∈Z ),4Sn-1 = 3an-1 + 2n (n∈ N * ). 相减得 4an = 3an-3an-1 + 2n ?an = 2n-3an-1 (n ∈ N * ). 两侧同除 2 得
n

3 a -1 =- ? n +1 2 2n-1 2 a 2 3 an-1 2 ? n n - = - ( n-1 - ) 5 2 2 5 2
n

an

a 2 3 n a0 2 ? n n - = (- )( 0 - ) 5 2 2 5 2 2 3 n 2 ?an = [ + (- )( ] ? 2n a0- ) 5 2 5
3 n 2 2 = 2n (- )( a0- ) + 2n ? 2 5 5 3 n 2 2 = 2n (- )( a0- ) + 2n ? 2 5 5 2 2 n = -3( a0- ) + 2n ? , 5 5 从而 2 2 2 2 1 n an+1-an = [ -3n+( a0- ) + 2n+1 ? ]-[ -3( a0- ) + 2n ? ] 5 5 5 5 2 2 2 n [ (-3) n+1-(-3)( ] + 2n ? = (a0- ) a0- ) 5 5 5 2 2 = (-3) n (a0- ) ? (-4) + 2 n ? 5 5 = 2 n 3 n 2 ? 2 [ (- )( a0- ) + 1 ]. 5 2 5 2 3 n 2 ,则对充分大的奇数 n, (- )( a0- ) + 1 < 0 ?an+1 < an ; 5 2 5

若 a0 >

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若 a0 <

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2 3 n 2 ,则对充分大的偶数 n, (- )( a0- ) + 1 < 0 ?an+1 < an ; 5 2 5 2 . 5
a 2 + bc + bc + bc 44 .a 2b 3c 3 28 a 2b 3c 3 ≥ .= . a a a

综上 a0 =

15.

a 2 + 3bc = a

同理

b 2 + 3ac 28 a 3b 2 c 3 ≥ , b b
所以

c 2 + 3ab 28 a 3b 3c 2 ≥ , c c

a 2 + 3bc b 2 + 3ac c 2 + 3ab + + a b c 28 a 2b 3c 3 28 a 3b 2 c 3 28 a 3b 3c 2 + + a b a
8



≥2 ? 33

a 8b 8 c 8 = 6. abc

8

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