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2017届辽宁省东北育才学校高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题


东北育才学校 2016-2017 高三第一次模拟考试 数学科(文)试卷
答题时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
2 1.若集合 A ? x x ? x? , B ? x x ? x ? 0 ,则 A ? B

?

?

?

?

A. [0,1] 答案:C 2.若 p: x ?1 ,q:

B. (??, 0)

C. (1, ??)

D. (??, ?1)

1 ?1,则 p 是 q 的 x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:A 3.在复平面内复数 z ? A.第一象限 答案:B

3+4i 的对应点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.已知 x 、 y 取值如下表:

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3

? ? 0.95x ? a ,则 a ? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y
A.1.30 答案: B B.1.45 C.1.65 D.1.80

5.设 ?an ? 是等差数列,公差为 d , S n 是其前 n 项的和,且 S5 ? S 6 , S 6 ? S 7 ? S8 ,则下 列结论错误 的是 .. A. d ? 0 答案:C B. a 7 ? 0 C. S9 ? S5 D. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值

6.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积 是 主视图 左视图 A.2 B.4 C.6 D.12 答案:B 7 .设 x1 ? 18, x2 ? 19, x3 ? 20, x4 ? 21, x5 ? 22 , 这五个数据依次输入下边程序框进行计算, 则输出 S 值及其统计意义分别是 A. S ? 2 ,即 5 个数据的方差为 2 B. S ? 2 ,即 5 个数据的标准差为 2 2 2
俯视图

2

将 的

4

C. S ? 10 ,即 5 个数据的方差为 10 D. S ? 10 ,即 5 个数据的标准差为 10

i ? i ?1

开始

S ?0

i ?1
输出 S

S ? S ?5
答案:A

i ?1

输入 xi

S ? S ? ( xi ? 20)2

i?5




结束 (第 6 题图)

? y ? x ? 1, ? 8. 已知区域 ? ? {( x, y ) ? y ? 0, } M ? {( x, y ) ? x ? 1, ?
P ,点 P 落在区域 M 内的概率为
A.

? ? y ? ? x ? 1, 向区域 ? 内随机投一点 }, ? y ? 0, ? ?

1 4
nx ? 1 2x ? p

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

答案:C 9.如果函数 y ?

的图象关于点 A (1,2)对称,那么( B. p ? 2, n ? -4 C. p ? -2, n ? -4

) D. p ? 2, n ? 4

A. p ? -2, n ? 4

【知识点】函数图象的对称中心. 【答案解析】A 解析 :解 :
1? n? 1? n? p 1 p? ? 1 np n? x ? ? ? ?x? ? ?x? ? ? ? n n 2 n 2 2 n 2 ?? ? ?? ? ? ? ? 2 4 ,其对称 ∵函数 y ? nx ? 1 = ? 2x ? p p p p? 2 x? p ? x? x? 2? x ? ? 2 2 2 2? ?

中心为
p n ? p n? nx ? 1 ? ? , ? ,再由函数 y ? 2 x ? p 的图象关于点 A(1,2)对称,可得 ? 2 =1, 2 =2, ? 2 2?

∴P=-2,n=4,故选 A.
10. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(其中 ? ? 0, ? ?

?
2

) , 若将函数 f ( x ) 的图像向左平移

? 12

个单位后所得图像关于 y 轴对称, 若将函数 f ( x ) 的图像向右平移 关于原点对称,则 ? 的取值不可能 是 ... A. 2 答案:B B. 4 C. 6 D. 10

? 个单位后所得图像 6

11.下列四个图中,函数 y=

101n x ? 1 的图象可能是 x ?1

【知识点】函数的图象变换及函数性质;排除法、特殊值法;定义域、值域、单 调性、奇偶性以及特殊点的函数值. 【答案解 析】 C 解析 :解:∵ y ?
10 ln x 是奇 函数, 向左平移 一个 单位得 x

y?

10 ln x ? 1 10 ln x ? 1 ∴y? 图象关于(-1,0)中心对称,故排除 A、D, x ?1 x ?1

当 x<-2 时,y<0 恒成立,排除 B. 故选:C
12.已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,若 f ( x ) 满足

f ?( x) ? f ( x) ?0, x ?1

f (2 ? x) ? f ( x) ? e2?2 x ,则下列判断一定正确的是
A. f (1) ? f (0) C. f (2) ? e ? f (0) B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案写在答题纸的相应位置. B. f (3) ? e3 ? f (0) D. f (4) ? e ? f (0)
4

13.已知 f ( x) ? ?

? x2 ? x , x ≤ 0 ,若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?1 ? 2lg x , x ? 0



【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 【答案解析】?1 或 10 解析 : 解 :x≤0 时,f(x)=x2-x=2,x=2(舍去)或 x= ?1 , x>0 时,f(x)=1+2lgx=2,lgx= 综上所述:x 的值为 ?1 或 10 故答案为: ?1 或 10
14. 已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? 1,且 a ? b ? 0 ,则 cos ? 2a ? b, b ??

1 ,故 x= 2

10

?? ?

? ? ?

? ?



答案:

5 5
2

15.在 ΔABC 中, 2sin

A AC ? 3 sin A , sin( B ? C ) ? 2cos B sin C ,则 _______。 2 AB

答案:

1 ? 13 2

2sin? (A/2)=1-cosA=√3sinA √3sinA+cosA=1 2(√3/2sinA+?cosA)=1 √3/2sinA+?cosA=? sinA·cos(π/6)+sin(π/6)·cosA=? sin(A+π/6)=? ∴A+π/6=5π/6 A=2π/3 sinBcosC=3cosBsinC 正弦定理和余弦定理得 a^2=b^2+c^2+bc,a^2=2(b^2-c^2) 所以 b^2-3c^2-bc=0, b/c==(1+√13)/2

13.7 ,18.3 , 16.已知总体中的 10 个个体的数值由小到大依次为 c ,3 ,3 ,8 ,a ,b ,12 ,
20 ,且总体的中位数为 10 ,平均数是 10 ,若要使该总体的方差最小,则 abc ?
.200 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求

a ? c sin A ? sin B ? . b sin A ? sin C

a?b 的取值范围. c a ? c sin A ? sin B a ? b 2 2 2 ? ? ,化简得 a ? b ? ab ? c ,??3 分 b sin A ? sin C a ? c
所以 C ?

17.解:(Ⅰ)

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ,又 C ? (0, ? ) 所以 cos C ? 2ab 2
(Ⅱ)

?
3

??6 分

2 2? a ? b sin A ? sin B ? ? ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2 sin( A ? ) c sin C 6 3 3
因为 A ? (0,

??9 分

2? ? ? 5? ? 1 ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] . ??11 分 3 6 6 6 6 2

? A ? C ,? sin( A ?
18. (本小题满分 12 分)

?
6

) ? 1故

a?b 的取值范围是 (1, 2) c

??12 分

已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) n ( n ? N *) (Ⅰ)求数列 {an } 的前三项 a1,a2,a3;

(Ⅱ)求证:数列 {an ?

2 ( ?1) n } 为等比数列,并求出 {an } 的通项公式。 3
n

解析: (Ⅰ)在 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1中分别令 n ? 1,2,3

得:

?a1 ? 2a1 ? 1 ? ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 2 3 3 ? 1
n

?a1 ? 1 ? 解得: ?a 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3

……3 分

(Ⅱ)由 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1得: S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 , n ? 2 两式相减得: an ? 2an?1 ? 2(?1) n , n ? 2 ……6 分

4 2 4 2 a n ? 2a n ?1 ? (?1) n ? (?1) n ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n 3 3 3 3 2 2 a n ? (?1) n ? 2(a n ?1 ? (?1) n ?1 )( n ? 2) ……9 分 3 3 2 1 2 ? ? 故数列 ?a n ? (?1) n ? 是以 a1 ? ? 为首项,公比为 2 的等比数列.高考资源所以 3 3 3 ? ? an ? 2 1 (?1) n ? ? 2 n ?1 3 3 an ? 1 2 ? 2 n ?1 ? ? (?1) n 3 3
……12 分

19.(本小题满分 12 分) 某校高二年级在一次数学必修模块考试后随机抽取 40 名学生的成绩,按成绩共分为五组: 第 1 组 [75,80) ,第 2 组 [80,85) ,第 3 组 [85,90) ,第 4 组 [90,95) ,第 5 组 [95,100] ,得 到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 90 分以上(含 90 分)的记为 A 级,成绩 小于 90 分的记为 B 级. (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从成绩为 A 级和 B 级的学生中共选出 10 人,求成绩为 A 级和

B 级的学生各选出几人?
(Ⅱ)已知 a 是在(Ⅰ)中选出的成绩为 B 级的学生中的一个,若从选出的成绩为 B 级学 生中选出 2 人参加某问卷调查,求 a 被选中的概率.

. 解: (Ⅰ)依题意,成绩为 A 级的学生人数是 40 ? (0.04 ? 0.02) ? 5 ? 12 人, 成绩为 B 级的学生人数是 40 ? 12 ? 28 人 因为分层抽样的抽取比例为 ???2 分

10 1 1 ? ,故成绩为 A 级的学生抽取出 12 ? ? 3 人 40 4 4 1 成绩为 B 级的学生抽取出 28 ? ? 7 人 ??5 分 4
(Ⅱ)将(Ⅰ)中选取的成绩为 B 级的学生记作: a , b , c , d , e , f , g . 则从这 7 人中选取 2 人的基本事件有: ab , ac , ad , ae , af , ag , bc , bd , be ,

bf , bg , cd , ce , cf , cg , de , df , dg , ef , eg , fg 共 21 个
???8 分 其中含 a 的基本事件有: ab , ac , ad , ae , af , ag ,共 6 个.??10 分 记事件 A ? “学生 a 被选中” ,则其概率 P( A) ? 20(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

6 2 ? 21 7

???12 分

ln x 1 的图象为曲线 C , 函数 g ( x) ? ax ? b 的图象为直线 l . x 2

(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? ?3 时, 求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值; (Ⅱ) 设 直 线 l 与 曲 线 C 的 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 x1 , x 2 , 且 x1 ? x 2 , 求 证 :

( x1 ? x2 ) g ( x1 ? x2 ) ? 2 .
解:(Ⅰ) ? a ? 2, b ? ?3 ? F ( x) ?

ln x ? x?3 x

F ?( x) ?

1 ? ln x 1 ? ln x ? x 2 ? 1 ? ? 0 ? x ?1 x2 x2
x ? (1,??), F ?( x) ? 0, F ?( x) 单 调 递 减 ,

x ? (0,1), F ?( x) ? 0, F ?( x) 单 调 递 增 ,

F ( x) max ? F (1) ? 2
(Ⅱ)不妨设 x1 ? x 2 ,要证 ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x2 ) ? 2 只需证 ( x1 ? x 2 ) ? a( x1 ? x 2 ) ? b? ? 2

?1 ?2

? ?

2( x2 ? x1 ) 1 1 2 2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) ? a( x1 ? x2 ) ? b ? ? a( x 2 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2( x2 ? x1 ) 1 2 1 ax2 ? bx2 ? ( ax12 ? bx1 ) ? 2 2 x1 ? x2 ? ln x1 1 ln x2 1 ? ax1 ? b ? ? ax2 ? b x1 2 x2 2 2( x2 ? x1 ) x 2( x2 ? x1 ) ,即 ln 2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

ln x2 ? ln x1 ? ( x2 ? x1 ) ln

x2 ? 2( x2 ? x1 ) x1
x ? 2( x ? x1 ) x1

令 H ( x) ? ( x ? x1 ) ln

x ? ( x1 ,??)

只需证 H ( x) ? ( x ? x1 ) ln

x ? 2( x ? x1 ) ? 0 ? H ( x1 ) x1

H ?( x) ? ln

x x1 ? ?1 x1 x
x ? x1 x x1 ? 0 , G ( x) 在 x ? ( x1 ,??) 单调递增。 ? ? 1 , G ?( x) ? x2 x1 x

令 G( x) ? ln

G( x) ? G( x1 ) ? 0 , H ?( x) ? 0 , H ( x ) 在 x ? ( x1 ,??) 单调递增。 H ( x) ? H ( x1 ) ? 0 , H ( x) ? ( x ? x1 ) ln
所以 ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x2 ) ? 2 网 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x ? 2( x ? x1 ) ? 0 x1

sin x ? bx ( b ? R ). 2 ? cos x

(Ⅰ)是否存在实数 b ,使得 f ( x ) 在区间 (0, 求出 b 的值;若不存在,请说明理由;

2? 2? ) 上为增函数,( , ? ) 上为减函数?若存在, 3 3

(Ⅱ)若当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,求 b 的取值范围.

21.解: (Ⅰ) f ( x ) ?

sin x 2 cos x ? 1 ? bx ,∴ f ?( x) ? ?b, 2 ? cos x (2 ? cos)2

若 ?b ? R ,使 f ( x) 在(0,

2 2 ? )上递增,在( ? , ? )上递减, 3 3

则 f ?( ? ) ? 0 ,∴ b ? 0 ,这时 f ?( x) ?

2 3

1 ? 2 cos x , (2 ? cos x) 2

当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增。 当 x ? ( ? , ? ) 时 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减。 (Ⅱ)(方法 1) f ?( x) ?

2 3

2 3

∴b ? 0

......4 分

?b cos2 x ? 2(1 ? 2b) cos x ? 1 ? 4b (2 ? cos x)2
1 ? 2cos x , (cos x ? 2)2

首先令 f ?( x) ? 0 得 b ?

1 1 1 ? 2cos x 1 1 1 令 cos x ? 2 ? t , ? [ ,1],? y ? ? 2( ) ? 3( ) 2的最大值为 . 2 t 3 (cos x ? 2) t t 3
即b ?

1 ,则 f ?( x) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立, 3
......6 分

这时 f ( x) 在 ?0,??? 上递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 若 b ? 0 ,则当 x ? 0 时, ?bx ?[0, ??) ,

sin x 是有界的, 2 ? cos x

f ( x) ?

sin x ? bx 不可能恒小于等于 0 2 ? cos x sin x ? 1 , 但f ( ) ? 不合题意 2 ? cos x 2 2
......8 分

若 b ? 0 ,则 f ( x) ? 若0 ? b ?

1 1 ? 3b ? 0 , f ?(? ) ? ?b ? 1 ? 0 , ,则 f ?(0) ? 3 3

∴ ?x0 ? (0, ? ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,并且 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 递增,

f ( x) ? f (0) ? 0 ,不合题意
综上 b ? ? ,?? ? (方法 2) f ?( x) ?

......11 分 ......12 分

?1 ?3

? ?

?b cos2 x ? 2(1 ? 2b) cos x ? 1 ? 4b (2 ? cos x)2
2

令△= 4 (1 ? 2b) ? b(1 ? 4b) ? 4(1 ? 3b)

?

?

若△ ? 0 ,即 b ?

1 ,则 f ?( x) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立, 3
......6 分

这时 f ( x) 在 ?0,??? 上递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 以下同(方法 1) 或者: 令f ( ) ? 0得b ?

?

1

2

?

.



1

?

?b?

1 ? 3b 1 ? 0 , f ?(? ) ? ?b ? 1 ? 0 , ,则 f ?(0) ? 3 3

∴ ?x0 ? (0, ? ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 , 并且 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 递增, f ( x) ? f (0) ? 0 , 不合题意 综上 b ? ? ,?? ? ......11 分

?1 ?3

? ?

......12 分

选做题(请考生从 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分) 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 C 是以 AB 为直径的圆 O 上一点, CH ? AB 于点 H ,直线 AC 与过 B 点的切 线相交于点 D , E 为 CH 中点,连接 AE 并延长交 BD 于点 F ,直线 CF 交直线 AB 于点

G.
(Ⅰ)求证: CG 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 FB ? EF ? 2 ,求 ? O 的半径.
E D

C
F

G

A
O

H

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极点与坐标原点重合,极轴与 x 轴非负半轴重合,两个坐标系单位长度相同,己知倾斜

角为 ? 的直线 l 的参数方程为: ? 为: ? ? 4 cos ? .

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数),曲线 C 的极坐标方程 ? y ? 1 ? t sin ?

(Ⅰ)若直线 l 的斜率为 ?1 ,求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 相交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 2 3 ,求 tan ? .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3 ( x ? R ). (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m
D

22.解: (Ⅰ)证明:连接 CB、OC, ∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴CH // BD, ∴
EH AE CE ,∵HE=EC,∴BF=FD ? ? BF AF FD
A
O

C
F
E

? F 是BD中点
∵AB 是直径,∴∠ACB=90°∴∠BCD=90°

G
B

H

在Rt? BCD中, ? F 是BD中点,
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∵∠ACB=90°∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线......5 分 (Ⅱ)由 FC=FB=FE 得:∠FCE=∠FEC,

?EAH ? 90? ? ?AEH ? 90? ? ?FEC , 又?G ? 90? ? ?ECF
得: ?EAH ? ?G 所以 FA=FG,且 AB=BG 由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2 ??① 在 Rt△BGF 中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 ??② 由①、②得:FG2-4FG-12=0,解之得:FG=6 或 FG=-2(舍去) ∴AB=BG= 4 2 ,∴⊙O 半径为 2 2 23. 解: (Ⅰ)由 ? =4cos ? 得 C ( x ? 2) ? y ? 4 , l : x ? y ? 0 .
2 2

......10 分

两者联立得直角坐标为 A(0, 0), B(2, ?2) 故极坐标为 A(0, 0), B (2 2, ?

?
4

)

......4 分

(Ⅱ)将直线的参数方程带入曲线的直角坐标方程得

t 2 ? (2sin ? ? 6cos ? )t ? 6 ? 0 ,? | AB |? 2 3,? t1 ? t2 ? 2 3 .
由韦达定理得: 2sin ? ? 6 cos ? ? ?6 .

3 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ? ? 5 或? 联立 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1(0 ? ? ? ? ) 得 ? ?cos ? ? 1 ?cos ? ? ? 4 ? 5 ?
tan ? ? 0或 tan ? ? ?
3 4
......10 分

24.解:(Ⅰ)? 2x ?1 ? 2x ? 3 ? 5 ,

1 1 3 ? 3 ? ? ? x? ? ?x? ? x? ? 2 或? 2 2 或? 2 . ? ? ? 4 ? 4 x ? 5 2 ? 5 4 x ? 4 ?5 ? ? ?
解得: -

1 1 1 3 3 9 ?x? 或 ?x? 或 ?x? 4 2 2 2 2 4

∴不等式的解集为: ?? (Ⅱ) 若 g ( x) ?

9? ? 1 ?x? ? 4? ? 4

......5 分

1 的定义域为 R ,则 f ( x) ? m ? 0 恒成立, f ( x) ? m

即 f ( x) ? m ? 0 在 R 上无解. 又 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3 ? 2x ?1 ? 2x ? 3 ? 2 , ∴ f ( x ) 最小值为 2, ∴ m ? ?2


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