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江苏省丹阳高级中学高一上学期第二次月考数学试卷 2005.10.06


江苏省丹阳高级中学高一数学月考试卷
2005.10.06
一、选择题: (每小题 3 分,计 30 分)在每小题给出的 4 个选项中,选择一个最佳的选 项填在题后的括号里. 1.下列表示同一集合的是………………………………………………………………( ) A. M ? {(2, 1), (3, 2)} , N ? {(1, 2), (2, 3)} B. M ?

{2, 1} , N ? {1, 2} C. M ? {y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ? x 2 ? 1, x ? R} D. M ? {(x, y) | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {(y, x) | y ? x 2 ? 1, x ? R} 2. 集合 M ? 1, 2, 3, 4, 5 的真子集个数是…………………………………………… ( A.32 B.31 C.16 D.15 )

?

?



3. 已知集合 P ? {x | x 2 ? 1} , 集合 Q ? {x | ax ? 1} , Q ? P , a 的值是…………… 若 则 ( A.1 B. ? 1 C.1 或 ? 1 D.0、1 或 ? 1

B 4. A ? {x | 0 ? x ? 4} , ? {x | 0 ? x ? 2} , 设 下列对应关系: f : x ? x ; f : x ? x ; ① ②
③f : x ? A.0 个

1 2

1 2 ④ ( x ; f : x ? 2x 中是集合 A 到集合 B 的映射的个数是…………… 2
B.1 个 C.2 个 D.3 个



5.函数 f (x) ? 4x 2 ? mx ? 5 在区间[-2,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-2]上是减 函数, f (1) 等于………………………………………………………………………… 则 ( A.-7 B.1 C.17 D.25 ) )

6.f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是…………………………( A. f ( x ) ? f (? x ) ? 0 C. f ( x ) ? f (? x ) ? 0 B. f ( x ) ? f (? x ) ? 2f ( x ) D.

f (x) ? ?1 f (? x )


1 7.函数 y ? 1 ? ( ) 2 x ?1 的定义域为……………………………………………………( 3
A. [ , ??)

1 2

B. (??,

1 ] 2

C. (??, ??)

D. (?? , 1] )

8.函数 f ( x ) ? a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为 3,则 a 的值等于……………( A.

1 2

B.2

C.4

D.

1 4


9.若 a ? 1 ,则函数 y ? a |x| 的示意图是…………………………………………………(
-1-

10.设 y1 ? 4 0.9 , y 2 ? 8 0.44 , y 3 ? ( ) ?1.5 ,则 ………………………………………( A. y 3 ? y1 ? y 2 C. y1 ? y 2 ? y 3 D. y1 ? y 3 ? y 2

1 2 B. y 2 ? y1 ? y 3



二、填空题:每小题 3 分,计 18 分,把答案填在题中横线上. 11.若 f (x) ? x 2 ? (m ? 2)x ? 1 是偶函数,则 g( x) ? mx ? 3 是 R 上的 调性) . 12.二次函数 y ? f ( x ) 的最小值等于 4,且 f (0) ? f (2) ? 6 ,则 f ( x ) ?
1

函数(指单



13.若 a 2 ? a

?

1 2

? 2 ,则 a 2 ? a ?2 ?

. ,值域

14.若函数 f ( x ) 的定义域和值域都是[1,3],则 f ( x ? 1) 的定义域为 为 .

15. 已知 f ( x ) 定义在 R 上的偶函数, 它在[0, +∞) 上是减函数, 那么 f (? ) 与 f (a 2 ? a ? 1) 的大小关系为 .

1 2

16. 已知全集 U, 集合 P、 有下列命题: P ? Q ? P , P ? Q ? Q , P ?(? U Q ) ? ? , Q, ① ② ③ 其中与命题 P ? Q 等价的有 (把你认为的正确答案的序号都写上) . 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 52 分)解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤. 17.(本小题 8 分) 求函数 y ? ( ) ? x

1 2

2

?2x

的定义域、值域,并写出函数的单调递增区间.

-2-

18. (本小题 10 分)

某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从 2 月 1 日起的 300 天内, 西红柿的市场售价 P 与上市时间 t 的关系用下图(a)的一条折线表示;西红柿的种 植成本 Q 与上市时间 t 的关系用下图(b)的一条折线表示.
P 300 Q 150 100 100 200 300 t 200 300 t O (a) (b) (1)写出上图(a)表示的市场价 P 与上市时间 t 的函数关系 P ? f ( t ) ,写出上图(b) 表示的种植成本 Q 与上市时间 t 的函数关系 Q ? g( t ) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?会不 会亏本?(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天) . O

19. (本小题 10 分) 集合 A ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0} , C ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} . (1)若 A ? B , B ? A ,求 a 的值; (2)若 ? A ? B , A ? C ? ? ,求 a 的值.

-3-

20. (本小题 12 分)

2 ( x? R )(1)求证:无论 a 为何实数, f ( x ) 总是增函数; , 2 ?1 (2)确定 a 值,使 f ( x ) 为奇函数; (3)当 f ( x ) 为奇函数时,求 f ( x ) 的值域.
设函数 f (x) ? a ?
x

21. (本小题 12 分) 设集合 S 中的元素 a ? R ,且满足① S 中不含 1;②若 a ? S ,则必有 ⑴证明:若 2 ? S ,则集合 S 中必还有其它元素,求出这些元素; ⑵证明: S 不可能是单元素集合; ⑶问:集合 S 中至少有几个元素?证明你的结论; ⑷该集合的元素的个数有什么规律,简单说明理由.

1 ?S . 1? a

-4-

江苏省丹阳高级中学高一数学月考试卷答案
1-10 BBDCD DABBD 11. 增函数 12. f (x) ? 2(x ? 1) 2 ? 4 ? 2x 2 ? 4x ? 6 13. 14. 2 [0,2],[1,3]

(写对一个得 2 分)

15. f ( ) ? f (a 2 ? a ? 1) 16. ①②③ (写对一个得 1 分) 17. 定义域为 R,…………………………………………………………………………2 分 值域为 [ , ??) ,……………………………有推导过程得 4 分;无推导过程得 3 分 递增区间为 [1, ?? ) ;………作画或用复合函数性质推导得 3 分,仅有结论得 2 分

1 2

1 2

?300 ? t 18. (1) P ? f ( t ) ? ? ?2t ? 300

t ?[0, 200], t ? N t ? (200, 300], t ? N

;…………………………………3 分

? 1 ?? 4 t ? 150 ? Q ? g( t ) ? ? ?1 t ?2 ?



t ?[0, 200], t ? N t ? (200, 300], t ? N

;……………………………6 分

? 3 ?? 4 t ? 150 t ?[0, 200], t ? N ? (2) y ? f ( t ) ? g( t ) ? ? ;…………………………8 分 ? 3 t ? 300 t ? (200, 300], t ? N ?2 ? 当 t ? 0 或 t ? 300 时收益最大,不会亏本。 …………………………………10 分 若缺少 t ? N 到最后共扣 1 分。
19. (1)由 A ? B , B ? A 得 A=B, ……………………………………………………2 分 a ? 5 ; ……………………………………………………………………………4 分 (2) B ? {2, 3} , C ? {2, ?4} ,………………………………………………………6 分

A?B ? A?B?? , 又A ?C?? ∴ 3? A ,…………………7 分 则 3 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 解得:a ? ?2 或 a ? 5 ………………………………8 分

?

2

当 a ? 5 时, A ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0} ? {2, 3} 与 A ? C ? ? 矛盾。 …………9 分
a ? ?2 。…………………………………………………………………………10 分
-5-

20. (1)用定义证明;设 x 1 ? x 2 , ………………………………………………………1 分

f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? [a ?

2(2 x1 ? 2 x 2 ) 2 2 ………2 分 ] ? [a ? x 2 ] ? ? ? ? ? x1 (2 ? 1)( 2 x 2 ? 1) 2 x1 ? 1 2 ?1

由 x 1 ? x 2 ,……………,得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 …………………………………3 分 ∴ f ( x ) 是 R 上的增函数。…………………………………………………………4 分 (2)用定义确定;………………………………………………………………………8 分 用特殊值确定,没有证明扣 2 分; (3)值域(-1,1) ;有过程有答案……………………………………………………12 分 只有答案没有过程扣 2 分。

21. (1)-1, ;……………………………………………………………………………3 分 只写出一个得 1 分 (2)若 S 是单元素集合,则 a ?

1 2

1 ,即 a 2 ? a ? 1 ? 0 , ? ? 0 ,无解,故 S 不可能 1? a
? a ………8 分

是单元素集合; …………………………………………………………………6 分 (3)若 a ? S ,则必有

1 1 1 ? S ,则有 ? S ,又 1 1 1? a 1? 1?
1? a
1?

1 1? a

又 a,

1 1 1 , ? 1 ? 两两不相等。故集合 S 中至少有三个元素;…9 分 a 1? a 1? 1 1? a

(4)由(3)若 a ? S ,则有

1 1 ?S , ? S ,且两两不相等,有 3 个元素属 1 1? a 1?
1? a

于 S;若 b ? S ,且 a ? b ,则相应有另外两个不相同的元素共 3 个元素属于 S, 且与上面的三个元素也不相同;以此类推,该集合的元素的个数一定是 3 的倍 数。………………………………………………………………………………12 分

-6-


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