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四川省营山县回龙中学2014-2015学年高一下期5月阶段测试数学试卷 Word版含解析


四川省营山县回龙中学 2014-2015 学年高一下期 5 月阶段测试

数学试卷
一、选择题 1.设集合 U={x|0<x<10,x∈N+},若 A∩B={2,3},A∩(?UB)={1,5,7},(?UA)∩(?UB)= {9},则集合 B=( A.{2,3,4} C.{2,4,6,8} D ∵U={1,2,3,4,5,6,7,8,9

}, ∵A∩B={2,3},∴2∈B,3∈B. ∵A∩(?UB)={1,5,7}, ∴1∈A,5∈A,7∈A,1?B,5?B,7?B. ∵(?UA)∩(?UB)={9}∴9?A,9?B, ∴A={1,2,3,5,7},B={2,3,4,6,8}. 2. 用二分法求方程 x-2lg A.(0,1) C.(2,3) C 本题考查用二分法求解函数零点所在区间.设 f(x)=x-2lg 1 -3=x+lgx-3 ,因为 x 1 =3 的近似解,可以取的一个区间是( x B.(1,2) D.(3,4) ) ) B.{2,3,4,6} D.{2,3,4,6,8}

f(2)· f(3)=(lg2-1)×lg3<0,且函数图象在(2,3)上连续,所以可以取的一个区间是 (2,3),故选 C. 3.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π,它们位于球心的同一侧,且相距为 1, 那么这个球的半径是( A.4 C .2 B 如图,设球的半径为 R, ) B.3 D.1

两截面圆的半径分别为 r1,r2,
2 则 πr2 1=5π,πr2=8π,

∴r1= 5,r2=2 2. 又 O1O2=1,取 OO2=x, 则有 R2=5+(x+1)2,R2=8+x2, ∴5+(x+1)2=8+x2, ∴x=1,∴R=3. 4.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个五棱柱对角线的条数共有( A.20 C.12 D 由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同 在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有 2 条,五棱柱对角线的条数共有 2×5=10 条. 5.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此正方形的面积是 ( ) A.16 C.16 或 64 C 根据直观图的画法, 平行于 x 轴的线段长度不变,平行于 y 轴的线段长度变为原来的一 半,于是长为 4 的边如果平行于 x 轴,则正方形边长为 4,面积为 16;边长为 4 的边如果平行 于 y 轴,则正方形边长为 8,面积是 64. 6. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几 何体的俯视图为( ) B.64 D.都不对 ) B.15 D.10

C 由主视图可以看出去掉的小长方体在主视图的左上角, 从左视图可 以看出去掉的小长方体在左视图的右上角,由以上各视图的描述可知,该 几何体如图所示,则易知俯视图为选项 C. 7. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面

积为(

) B.16π 27π D. 4

81π A. 4 C.9π A

本题考查空间几何体的结构特征,球的表面积运算.设球的半径是 r,根据题意可得(4 9 9 81π -r)2+( 2)2=r2,解得 r= ,所以球的表面积是 S=4πr2=4π( )2= . 4 4 4 8. 两直线 l1:mx-y+n=0 和 l2:nx-y+m=0 在同一坐标系中,则正确的图形可能是 ( )

B 首先 C 不正确,否则,若 l1∥x 轴,则 m=0,l2 必过原点,与图形不符.同理,l2∥x 轴也不可能,故 m,n 均不为 0.此时,l1:y=mx+n,l2:y=nx+m.由图 A 知,两直线在 y 轴 上的截距均为正,但有一直线斜率为负,不可能.由图 D 知,两直线斜率均为负,但有一直 线在 y 轴上的截距为正,也不可能. 9. P,Q 分别为 3x+4y-12=0 与 6x+8y+6=0 上任一点,则|PQ|的最小值为( 9 A. 5 C .3 C |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线 3x+4y-12=0 上取点(4,0),然后利用 点到直线的距离公式得 PQ 的最小距离为 3.
? ?a,a-b≤1 10. 对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? ,设函数 f(x)=(x2-2)?(x-1), ?b,a-b>1 ?

)

18 B. 5 D.6

x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2] B B.(-2,-1]∪(1,2] D.

)

2 ? ?x -2,-1≤x≤2 依题意可得 f(x)=? ?x-1,x<-1或x>2 ?

作出其示意图如图所示.

由数形结合知, 实数 c 需有 1<c≤2 或-2<c≤-1. π 11. 已知函数 f(x)=sin(πx- )-1,下列命题正确的是( 2 A.f(x)是周期为 1 的奇函数 B.f(x)是周期为 2 的偶函数 C.f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 B π ∵f(x)=sin(πx- )-1=-cosπx-1, 2 2π ∴周期 T= =2, π 又 f(-x)=-cos(-πx)-1=-cosx-1=f(x), ∴f(x)为偶函数. 12. 若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1 始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4 的周长,则实数 a,b 应 满足的关系是(
2

)

) B.a2+2a+2b+5=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0

A.a -2a-2b-3=0 C.a2+2b2+2a+2b+1=0 B

若要一圆始终平分另一个圆的周长,只需两圆的公共弦经过小圆的圆心即可.公共弦 方程为:(x-a)2+(y-b)2-b2-1-=0,即:(2+2a)x+(2+2b)y-1-a2=0,小圆圆心为(-1, -1),代入上式得 a2+2a+2b+5=0.故应选 B. 二、填空题 13. . 已知圆锥母线与旋转轴所成的角为 30° , 母线的长为 2, 则其底面面积为________. π 2 如图所示,过圆锥的旋转轴作其轴截面 ABC,设圆锥的底面半径为 r.

∵△ABC 为等腰三角形, ∴△ABO 为直角三角形. 又∵∠BAO=30° , 1 2 ∴BO=r= AB= . 2 2 π ∴底面圆 O 的面积为 S=πr2= . 2 14. 直线 l 与直线 3x-2y=6 平行,且直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,则 直线 l 的方程为________. 15x-10y-6=0 3 由题意知直线 l 的斜率 k= , 2 3 2b 设直线 l 的方程为 y= x+b.令 y=0,得 x=- . 2 3 2b ∴- -b=1, 3 3 3 3 解得 b=- .∴直线 l 的方程为 y= x- , 5 2 5 即 15x-10y-6=0. 15. 若实数 x,y 满足 x2+y2-6x+8y+24=0,则 x2+y2 的最大值等于________. 36 依题意,点 P(x,y)在圆 x2+y2-6x+8y+24=0 上,即(x-3)2+(y+4)2=1,而 x2+y2 表示点 P 与原点 O 距离的平方.由于已知圆的圆心为 C(3,-4),半径 r=1. 又|OC|=5,所以点 P 与原点 O 距离的最大值为 1+5=6,从而 x2+y2 的最大值是 36. 16. 已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α、β、γ 是三个不重合的平面. ①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥γ,b∥γ?a∥b; ③a∥c,α∥c?a∥α;④a∥γ,α∥γ?a∥α; ⑤a?α,b?α,a∥b?a∥α. 其中正确的命题号是________. ①⑤ 由公理 4 知①正确;对于②,因平行于同一个平面的两条直线不仅仅是平行,也可以 相交,所以②不对;对于③当 a?α 内时,我们不能说 a∥α,所以错误;对于④当 a∥γ,α∥γ 时 a∥α 或 a?α,所以④错误;对于⑤,由直线与平面平行的判定定理知成立.

三、解答题 17. 如图,两个三角形 ABC 和 A′B′C′的对应顶点的连线 AA′、BB′、CC′交于同 OA BO CO 2 一点 O,且 = = = . OA′ OB′ OC′ 3

(1)求证:A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC; (2)求 S△ABC 的值. S△A′B′C′

(1)证明:∵AA′与 BB′交于点 O, 且 AO BO 2 = = ,∴AB∥A′B′. OA′ OB′ 3

同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′. (2)∵A′B′∥AB,AC∥A′C′且 AB 和 A′B′、AC 和 A′C′方向相反, ∴∠BAC=∠B′A′C′. ∴同理∠ABC=∠A′B′C′. AB AO 2 ∴△ABC∽△A′B′C′,且 = = . A′B′ OA′ 3 ∴ S△ABC 2 4 =( )2= . 9 S△A′B′C′ 3

18. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD、PC 的中点,求证:

(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,

所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD.所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD.所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF, 又因为 CD⊥BE,BE∩EF=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 19. )2014 年某个体企业受金融危机和国家政策调整的影响,经历了从亏损到盈利的过程, 下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来的累积利润 S(万元)与时间 t(月)之间的关系 (即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系,0≤t≤12).请根据图象提供的信息解答下列问题:

(1)求累积利润 S(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式; (2)截止到第几月末公司累积利润可达到 9 万元? (3)该企业第四季度所获利润是多少? 设 S(t)=at2+bt+c, 将点(0,0),(6,0),(3,-3)代入得 36a+6b=0 ? ? ?9a+3b=-3 ? ?c=0

? ?a=3 ,解得?b=-2 ? ?c=0

1

.

1 ∴函数关系式 S(t)= t2-2t(0≤t≤12). 3 1 (2)令 S=9 即 t2-2t=9, 3 解得 t=9 或 t=-3(舍), ∴截止到 9 月末公司累积利润可达到 9 万元. 1 (3)S(12)= ×144-2×12=24(万元), 3 1 S(9)= ×81-2×9=9(万元), 3 ∴第四季度获利 S(12)-S(9)=24-9=15(万元). 答:第四季度所获利润为 15 万元. 20. 设点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上. (1)求 ?x-2?2+y2的最小值; (2)求 y+2 的最小值. x+1

(1) 式子 ?x-2?2+y2的几何意义是圆上的点与定点 (2,0)的距离.因为圆心 (0,1)与定点 (2,0)的距离是 22+12= 5,圆的半径是 1,所以 ?x-2?2+y2的最小值是 5-1.

y+2 (2)式子 的几何意义是点 P(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率.如图,当为切线 l1 时, x+1 y+2 |-1+k-2| 斜率最小.设 =k,即 kx-y+k-2=0,由直线与圆相切,得 =1, x+1 k2+1 4 y+2 4 解得 k= .故 的最小值是 . 3 x+1 3 21. 已知点 P(2,0)及圆 C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程. (2)设过点 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M, N 两点,当|MN|=4 时, 求以线段 MN 为直径的圆 Q 的方程. (3)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. (1)直线 l 斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-0=k(x-2),即 kx-y-2k= 0.

|3k+2-2k| 3 又圆 C 的圆心为(3,-2),半径 r=3,由 =1,解得 k=- . 2 4 k +1 3 所以直线方程为 y=- (x-2),即 3x+4y-6=0. 4 当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经验证 x=2 也满足条件. 即直线 l 的方程为 3x+4y-6=0 或 x=2. (2)由于|CP|= 5,而弦心距 d= 所以 d=|CP|= 5. 所以 P 恰为 MN 的中点. 故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为(x-2)2+y2=4. (3)把直线 y=ax+1 代入圆 C 的方程,消去 y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直线 ax-y+1=0 交圆 C 于 A,B 两点, 故 Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0, 即-2a>0,解得 a<0. 则实数 a 的取值范围是(-∞,0). 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,-2)必在 l2 上.所以 l2 的斜率 kPC=-2,而 kAB=a 1 =- , kPC 1 1 所以 a= .由于 ?(-∞,0), 2 2 故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB. 22. 已知函数 f(x)=lg(mx-2x)(0<m<1). 1 (1)当 m= 时,求 f(x)的定义域; 2 (2)试判断函数 f(x)在区间(-∞,0)上的单调性并给出证明; (3)若 f(x)在(-∞,-1]上恒取正值,求 m 的取值范围. 1 1 - (1)当 m= 时,要使 f(x)有意义,须( )x-2x>0,即 2 x>2x, 2 2 可得:-x>x,∴x<0 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x<0}. (2)设 x2<0,x1<0,且 x2>x1,则 Δ=x2-x1>0 令 g(x)=mx-2x, 则 g(x2)-g(x1)=mx2-2 x2-m x1+2 x1 =m x2-m x1+2 x1-2 x2 |MN| 2 r2-? ? = 5, 2

∵0<m<1,x1<x2<0, ∴m x2-m x1<0,2 x1-2 x2<0 g(x2)-g(x1)<0,∴g(x2)<g(x1) ∴lg<lg, ∴Δy=lg(g(x2))-lg(g(x1))<0, ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数. (3)由(2)知:f(x)在(-∞,0)上是减函数, ∴f(x)在(-∞,-1]上也为减函数, ∴f(x)在(-∞,-1]上的最小值为 f(-1)=lg(m 1-2 1)
- -

所以要使 f(x)在(-∞,-1]上恒取正值, 只需 f(-1)=lg(m 1-2 1)>0,
- -

1 1 3 - - 即 m 1-2 1>1,∴ >1+ = , m 2 2 2 ∵0<m<1,∴0<m< . 3


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