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2015第1部分专题1第2讲不等式及线性规划


第2讲 不等式及线性规划

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高考定位

本部分内容高考主要考查以下几方面: (1)考查利用

基本不等式求最值、证明不等式等,利用基本不等式解决实际 问题.(2)考查以线性目标函数的最值为重点,目标函数的求解

常结合其代数式的几何意义 ( 如斜率、截距、距离、面积等 ) 来
求解.(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何 相结合考查参数的取值范围,以考查一元二次不等式的解法为 主,并兼顾二次方程的判别式、根的存在等.

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热点一 利用基本不等式求最值 [ 微题型 1] 基本不等式的简单应用 ).

【例 1-1】 若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0 2 ,] C.[ -2,+∞) B.[ -2 0 ,] D.(-∞,-2]


解析 ∵2x+2y≥2 2x· 2y=2 2x y, ∴2 2
x+y

≤1,即 2

x+y

1 -2 ≤4=2 .

所以 x+y≤-2,故选 D.
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答案 D

探 究 提 高

在 使 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 一 定 要 检 验 等 号 能 否 取

到,有时也需进行常值代换.

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[ 微题型 2]

带有约束条件的基本不等式问题

1 1 【例 1-2】 若 x,y∈R+,且 2x+y=3,则x +y 的最小值为 ________.
解 析 1 ∵2x+y=3,∴3(2x+y)=1 .

1 1 ?1 1? 1?? ? ? ? ? 2 x + y ∴x+y= x+y · ? ? ? ?3 1? y 2x? 1 =3?3+x+ y ?≥3(3+2 2). ? ? 当 且 仅 当 3 2 x=3- 2 ,y=3 2-3 时 等 号 成 立 .
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3+2 2 答案 3
规律方法 利用基本不等式求函数或代数式的最大值、 最小值 “和为定值”“积为定值”的结构特 很少直接考查基本不等式的应用,而

时 , 注 意 观 察 其 是 否 具 有 点 . 在 具 体 题 目 中 , 一 般

是需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本 不等式得出最值.

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【训练 1-1】 ( 2 0 1 4 · 上海十三校联考)若实数 x, y 满足|xy|=1, 则 x2+4y2 的最小值为________.
解析 x2+4y2≥2 4x2y2=4|xy|=4.
答案 4

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【训练 1-2】 ( 2 0 1 4 · 金华十校联考)若正实数 x,y 满足 x+y+1 =xy,则 x+2y 的最小值是( A.3
解 析

). D.8

C.7 x +1 由 x+y+1=xy, 得 y= , x -1

B.5

又 y>0,x>0,∴x>1 .
? 2 ? x+1 ? ∴x+2y=x+2× =x+2×?1+x-1? ? x-1 ? ?

4 4 =x+2+ =3+(x-1 )+ ≥3+4=7, x-1 x -1 当 且 仅 当 x=3 时 取 “=”.
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答案 C

热点二 含参不等式恒成立问题 [ 微题型 1] 运用分离变量解决恒成立问题

4 【例 2-1】 关于 x 的不等式 x+x -1-a2+2a>0 对 x∈(0, +∞)恒成立,则实数 a 的取值范围为________.
解 析 4 4 设 f(x)=x+x , 因 为 x>0, 所 以 f(x)=x+x ≥2 4 x· x=

4 .又 关 于 x的 不 等 式 立 , 所 以

4 x+x -1-a2+2a>0 对 x∈(0,+∞)恒成 a的 取 值

a2-2a+1<4, 解 得 - 1<a<3, 所 以 实 数

范 围 为 (-1 3 ,) .
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答案 (-1 3 ,)

规律方法

求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关: 第

一关是转化关,即通过分离参数,先转化为 f(a)≥g(x)( 或 f(a)≤g(x)) 对 ? x ∈ D 恒成立,再转化为 f(a)≥g(x)m a x (或

f(a)≤g(x)m 区 间 D上 n i );第二关是求最值关,即求函数 g(x)在 的最大值(或最小值)问题.

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[ 微题型 2]

构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题

【例 2-2】 已知 f(t)=l o g 2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值 域 内 的 所有实数 m, 不 等 式 范围.
解 易知
?1 ? f(t)∈?2,3?.由 题 意 , 令 ? ?
2

x2+mx+4>2m+4x 恒 成 立 , 求

x 的取值

g(m)=(x-2 ) m+x2-4x+4

=(x-2 ) m+(x-2 ) >0

?1 ? 对?m∈?2,3?恒 成 立 . ? ?

? 1? ? ?g? ?>0, 所 以 只 需 ? ? 2? 即 可 , ? ?g?3?>0

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1 ? ? ?x-2?+?x-2?2>0, 即?2 ?x>2 或 x<-1. 2 ? ?3?x-2?+?x-2? >0 故 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).

探 究 提 高

主 、 辅 元 互 换 可 以 实 现 对 问 题 的 有 效 转 化 , 由 繁 到

简 , 应 用 这 种 方 法 的 过 程 中 关 键 还 是 把 握 恒 成 立 的 本 质 , 巧 用 转化思想,灵活处理,从而顺利解决问题.

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【训练 2-1】 ( 2 0 1 4 · 南昌模拟)对一切实数 x,若不等式 x2+ a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
解析 当 x=0 时,1≥0 恒成立,此时 a∈R.
? -x2-1 1? 当 x≠0 时,a≥ |x| =-?|x|+|x|?. ? ?

1 又|x|+|x|≥2,
? 1? ∴-?|x|+|x|?≤-2, ? ?

∴a≥-2.
答案 [-2,+∞)
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【训练 2-2】 若不等式 x2-ax+1≥0 对于一切 a∈[ -2 2 ,] 恒 成立,则 x 的取值范围是________.
解析 因为 a∈[ -2 2 ,] ,可把原式看作关于 a 的函数, 即 g(a)=-xa+x2+1≥0,
2 ? ?g?-2?=x +2x+1≥0, 由题意可知? 2 ? g ? 2 ? = x -2x+1≥0, ?

解之得 x∈R.

答案 R

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热点三 线性规划问题 【例 3】 ( 2 0 1 4 · 新课标全国卷 ?x+y-7≤0, ? ?x-3y+1≤0, ?3x-y-5≥0, ? A.10 B.8 Ⅱ ) 设 x , y 满足约束条件

则 z=2x-y 的最大值为( C.3 D.2

).

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解析 画出可行域如图所示.

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由 z=2x-y,得 y=2x-z,欲求 z 的 最 大 值 , 可 将 直 线 向下平移,当经过区域内的点,且满足在 y 轴 上 的 截 距 -

y=2x z最

小时,即得 z 的最大值,如图,可知当过点 A 时 z 最大,
? ?x+y-7=0, 由? ? ?x-3y+1=0, ? ?x=5, 得? ? ?y=2,

即 A( 5 2 ,)

,则 zm a x =2×5-2=

8.
答案 B

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规律方法

线性规划的实质是把代数问题几何化, 即 数 形 结 合

的 思 想 . 需 要 注 意 的 是 : 一 , 准 确 无 误 地 作 出 可 行 域 ; 二 , 画 目标函数所对 应 的 直 线 时 , 要 注 意 与 约 束 条 件 中 的 直 线 的 斜 率 进 行 比 较 , 避 免 出 错 , 比 如 上 题 中 目 标 函 数 所 对 应 直 线 的 斜 率 a -b<0; 三 , 一 般 情 况 下 , 目 标 函 数 的 最 大 或 最 小 值 会 在 可 行 域的端点或边界上取得.

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【 训 练 3】 ( 2 0 1 4 · 安 徽 卷 ) x, y满 足 约 束 条 件 z = y -a x 取 得 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 , 则 实 数

?x+y-2≤0, ? ?x-2y-2≤0, ?2x-y+2≥0 . ? a的 值 为 (



).

1 A.2或 -1 C.2 或 1

1 B.2 或2 D.2 或 -1

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解析 如 图 , 由 距 , 故 当

y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, z=y-ax 取得最大值的最优解不唯

a>0 时 , 要 使

则 a=2;当 a<0 时 , 要 使 一,则 a=-1.

答案 D
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1.利用基本不等式求最大值、最小值时应注意:一正、二定、
三相等,即: (1)函数中的相关项必须是正数; (2)求积xy的最大值时,要看和x+y是否为定值,求和x+y的 最 小 值 时 , 要 看 积 xy 是 否 为 定 值 , 求 解 时 , 常 用 到 “ 拆

项”“凑项”等解题技巧;
(3) 当且仅当各项相等时,才能取等号.以上三点应特别注 意,缺一不可.

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2 .不等式恒成立问题常考的两种题型:一是已知不等式恒成 立,求字母参数的取值范围,一般利用分离参数转化为求新 函数的最值问题,如果不能分离参数或者分离参数比较复杂

时,一般选择函数的方法,通常利用函数的最值解决;二是
证明不等式恒成立,在函数中一般选择以算代证,即通过求 函数的最值证明不等式.

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3.不等式实际应用问题中的易错点: (1)忽视变量的取值要求,生搬硬套基本不等式,特别是变量 取值为正整数 (如人数、楼层数作为变量 )时,不检验等号成

立的条件;
(2)忽视变量的单位换算导致代数式求解出错; (3)漏掉实际问题中的一些定量导致最值求错.

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4.二元一次不等式表示平面区域的快速判断法:
区域 不等式 Ax+By+C>0 B>0 区域 B<0

直线 Ax+By+C=0 上 直线 Ax+By+C=0 下 方 方

Ax+By+C<0

直线 Ax+By+C=0 下 直线 Ax+By+C=0 上 方 方

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主要看不等号与 B 的符号是否相向,若同向则在直线上方,若 异向则在直线下方,简记为“同上异下”,这叫 B 的值判断 法. 解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数表示的

几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或
边界上的点 ) ,但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解 决.

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