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《集合与函数》练习(适合尖子生训练)(答案)


1.若函数 f ( x) ? ? 围

?(a ? 2) x ? 3a ? 2, 0 ? x ? 2,
x ?a ,

x ? 2,
D B. (1,2]

是一个单调递增函数,则实数 a 的取值范

A. (1,2] ? [3,??)

C. (0,2] ? [3,??)

D. [3,??)

2. 函数 f ( x) ? x(| x | ?1) 在 [m, n] 上的最小值为 ?

1 , 最大值为 2, 则 n ? m 的最大值为 B 4
D. 2

A.

5 2

B.

5 2 ? 2 2

C.

3 2

3 .已知函数 f ( x ) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x ) 在 [1,??) 是增函数,如果不等式

f (1 ? m) ? f (m) 成立,则实数 m 的取值范围是
4.已知 f ( x) ?

m?

1 2

.

2x ?1 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(1)求 a 的值; (2)判断并证明 f ( x) 在 (0,??) 上的单调性; (3)若关于 x 的方程 k ? f ( x) ? 2 在 (0,1] 上有解,求 k 的取值范围.
x

解: (1)因为 f ( x) ?

2x ?1 是奇函数,故对定义域内的 x,都有 f ( x) ? ? f (? x) 2 x ?1 ? a

即 f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,



2x ?1 2 ? x ? 1 (2 ? a)(2 x ?1 ? 2 2 x ? 1) ? ? ? 0 ,于是 a ? 2 .…………………3 分 2 x ?1 ? a 2 ? x ?1 ? a (2 x ?1 ? a)(2 ? a ? 2 x )

(2) f ( x) 在 (0,??) 上的单调递减. .……………………………………………………2 分 对任意的 0 ? x1 ? x2

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 2 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?1 ? ? ?0 2 ? 2 2 x2 ?1 ? 2 (2 x1 ?1 ? 2)(2 x2 ?1 ? 2)
故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即 f ( x) 在 (0,??) 上的单调递减. . .……………………………………………………3 分 (3)解法一:方程 k ? f ( x) ? 2 可化为:
x

2(2 x ) 2 ? (k ? 2) ? 2 x ? k ? 0 ,令 2 x ? t ? (1,2]

于是 2t 2 ? (k ? 2)t ? k ? 0 在 (1,2] 上有解………………………………………..2 分 设 g (t ) ? 2t 2 ? (k ? 2)t ? k

? k?2 ?1 ? 4 ? 2 ? ? (1) g (t ) 在 (1,2] 上有两个零点(可重合) ,令 ?? ? 0 无解. ? g (1) ? 0 ? ? ? g (2) ? 0
(2) g (t ) 在 (1,2] 上有 1 个零点,令 ? 综上得 0 ? k ?

? g (1) g (2) ? 0 4 ,得 0 ? k ? 3 ? g (1) ? 0

4 ……………………………………………………………………2 分 3

解法二:方程 k ? f ( x) ? 2 x 可化为:

2(2 x ) 2 ? (k ? 2) ? 2 x ? k ? 0 ,令 2 x ? t ? (1,2]
于是 2t 2 ? (k ? 2)t ? k ? 0 ,………………………………………..2 分 则k ?

2t 2 ? 2t 4 ? 2(t ? 1) ? ?6 t ?1 t ?1
4 4 4 ? 6 的值域为 (0, ] ,故 0 ? k ? .…………………………2 分 t ?1 3 3

2(t ? 1) ?

5.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2a ? 1 ( a 为实常数).
2

(1)若 a ? 0 ,求函数 y ?| f ( x) | 的单调递增区间; (2)设 f ( x ) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

2 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ,

则 y ?| f ( x) | 在 (?1,0), (1,??) 上单调递增;……………………………………….3 分 (2)当

a ? 1 时,即 a ? 2 , g (a) ? f (1) ? a ; 2
a a a2 ? 2 时,即 2 ? a ? 4 , g (a) ? f ( ) ? ? ? 2a ? 1; 2 2 4

当1 ?



a ? 2 时,即 a ? 4 , g (a) ? f (2) ? 3 ; 2

?a, a ? 2, ? 2 ? a ? 2a ? 1,2 ? a ? 4, ……………………………………….4 分 综上: g ( a ) ? ?? ? 4 ? ?3, a ? 2. f ( x) 2a ? 1 ? x? ?a (3) h( x) ? x x 1 当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? , h( x) 是单调递增的,符合题意;………………………..2 分 2 1 当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时, h( x) 在 (0, 2a ? 1] 单调递减,在 ( 2a ? 1,??) 单调递增,令 2 1 2a ? 1 ? 1 ,得 ? a ? 1 . 2 综上所述: a ? 1 ..………………………………………………………………….3 分

6.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? 10) , a ? R . (1)若 f (1) ? lg 5 ,求 f ( x) 的解析式; (2)若 a ? 0 ,不等式 f (k ? 2 x ) ? f (4 x ? k ? 1) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)若 f ( x) 的值域为 R ,求 a 的取值范围. 解: (1)因为 f (1) ? lg 5 ,则 f ( x) ? lg(11? a) ? lg 5 ,所以 a ? 6 ,此时
2 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ? lg( x ? 6 x ? 10) ,又 f (0) ? 0 ,故

?lg( x 2 ? 6 x ? 10), x ? 0, ? f ( x) ? ?0, x ? 0, ………………………………………….4 分 ?? lg( x 2 ? 6 x ? 10), x ? 0. ?
x x (2)解法一:若 a ? 0 ,则 f ( x) 在 R 上单调递增,故 f (k ? 2 ) ? f (4 ? k ? 1) ? 0 等价于

k ? 2 x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 ,令 t ? 2 x (t ? 0) ,
于是 t ? kt ? k ? 1 ? 0 在 (0,??) 恒成立,…………………2 分
2

即k ? ?

t 2 ?1 (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? 2 2 ?? ? ?[(t ? 1) ? ]? 2 t ?1 t ?1 t ?1

因为 ? [( t ? 1) ?

2 ] ? 2 的最大值为 ? 2 2 ? 2 ,所以 k ? ?2 2 ? 2 .…………………3 分 t ?1

解法二:若 a ? 0 ,则 f ( x) 在 R 上单调递增,故 f (k ? 2 x ) ? f (4 x ? k ? 1) ? 0 等价于

k ? 2 x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 ,令 t ? 2 x (t ? 0) ,
于是 t ? kt ? k ? 1 ? 0 在 (0,??) 恒成立,…………………2 分
2

设 g (t ) ? t 2 ? kt ? k ? 1 (1) ? ? 0 ,解得: ? 2 2 ? 2 ? k ? 2 2 ? 2 ;

?? k ?0 ? (2) ? 2 ,解的 k ? 0 .ks5u ? ? g (0) ? 0
综上, k ? ?2 2 ? 2 .…………………3 分 (3)首先需满足 x ? ax ? 10 ? 0 在 (0,??) 上恒成立,
2

于是 a ? x ?
2

10 ,即 a ? 2 10 ;…………………2 分 x
2

其次需要 x ? ax ? 10 在 (0,??) 上的值域为 (1,??) ,即 x ? ax ? 10 ? 1在 (0,??) 上有解 于是 a ? x ?

9 ? 6; x

综上 6 ? a ? 2 10 .…………………3 分


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