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矩阵分析课件2.3


§2.3 矩阵的 Jordan 标准型
一、Jordan 标准型
定义 2.3.1 称 ni 阶矩阵

? ?i ? Ji ? ? ? ? ?

1

?i

? ? ? ? 为 Jordan 块。 ? 1? ? ?i ? n ?n i i

设 J1 , J

2 ,?, J s ,为 Jordan 块, 称下面的准对角矩阵:

? J1 ? J?? ? ? ?

J2

? ? ? ? ? ? Js ?

为 Jordan 标准型。 在例 2.2.1 已经得到 Jordan 块的初等因子为 (? ? ?i )ni , 根据定理 2.2.3 知, Jordan 标准型 的初等因子为 n1 ns n2 (? ? ?1 ) ,(? ? ?2 ) ,?,(? ? ?s ) 。因此, 结合定理 2.2.6 可以得到:

定 理 2.3.1 设 A ? C n?n , A 的 初 等 因 子 为

(? ? ?1 ) ,(? ? ?2 ) ,?,(? ? ?s )
n1 n2

ns



A~ J ? J1 ? 这里 J ? ? ? ? ?
其中

J2

? ? ? ? ? ? Js ?

? ?i ? Ji ? ? ? ? ?

1

?i

? ? 1 ? ? ? ? ?i ? n ?n i i

( i ? 1,2,? s )

称 J 是矩阵 A 的 Jordan 的标准型。 若 ni ? 1。 J i 是一阶 Jordan 块,当矩阵 A 的 Jordan 标准型中的 Jordan 块全是一阶时, J 便是对角矩阵,因此可得:

定理 2.3.2 A 可对角化的充要条件是 A 的初 等因子都是一次式。 例 2.3.1 求矩阵

? ?1 ?2 6 ? A ? ? ?1 0 3 ? ? ? ? ?1 ?1 4 ? ? ? 的 Jordan 标准型。

解:先求 A 的初等因子。对 ? E ? A 运用初等 变换可得
? ? ? 1 2 ?6 ? ?E ? A ? ? 1 ? ?3 ? ? ? ? ? 1 1 ? ? 4? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? (? ? 1) ? ? ?

? ? 1,(? ? 1)2 A的初等因子是 故 A的 Jordan 标准型是 ?1 0 0? ?0 1 1? J? ? ? ?0 0 1? ? ?

二、变换矩阵 P 根据定理 2.3.1 知, 对于任何一个矩阵 A , 存在 P ? C
n?n n

,满足 P AP ? J 。现在介绍求

?1

变换矩阵 P 的方法。先看几个例子。 例 2.3.2 求矩阵

?17 0 ?25 ? ?0 1 0 ? A? ? ? ? 9 0 ?13 ? ? ?
的 Jordan 标准型,并求变换矩阵 P 。

?1 ? ? 1 ? 解: ? E ? A ? ? ? 2 ? (? ? 1)(? ? 2) ? ? ? ?1 ? 因此 A ? ? 2 1? ? J ? ? ? 2? ? ? (1) 此即 P ?1 AP ? J AP ? PJ (2) 命 P ? ( X1 X 2 X 3 ) 把 P 代入 (1)得

?1 0 0? ?0 2 1 ? A( X 1 X 2 X 3 ) ? ( X 1 X 2 X 3 ) ? ? ?0 0 2? ? ? 比较上式两端得 AX1 ? X1 , AX 2 ? 2 X 2 , AX 3 ? X 2 ? 2 X 3 ( E ? A) X1 ? 0,(2E ? A) X 2 ? 0,(2E ? A) X 3 ? ? X 2 由齐次线性方程组

( E ? A) X1 ? 0,可求 X 1 ? (0,1,0)

T

由 (2 E ? A) X 2 ? 0 可求得 X 2 ? (5,0,3)

T

把 X 2 代 入 (2 E ? A) X 3 ? ? X 2 可 求 得

X 3 ? (2,0,1)T
所以

?0 5 ? 1 0 P ? ( X1 X2 X3)? ? ?0 3 ?

2 ? ?0 ? ? 1 ?

例 2.3.3 求化矩阵

? ?1 ?2 6 ? ? ?1 0 3 ? A? ? ? ? ?1 ?1 4 ? ? ? 为 Jordan 标准型的变换矩阵 P 。 解:由例 2.3.1 知 ?1 0 0? A ~ J ? ?0 1 1? ? ? ?0 0 1? ? ?

故存在 P ? C

3?3 3

,满足 AP ? PJ 。

命 P ? ( X1 X 2 X 3 ) 把 P 代入 (1)式得

?1 0 0? ( AX 1 , AX 2 , AX 3 ) ? ( X 1 , X 2 , X 3 ) ? 0 1 1 ? ? ? ?0 0 1? ? ? 比较上式两边得 AX1 ? X1 , AX 2 ? X 2 , AX 3 ? X 2 ? X 3


( E ? A) X1 ? 0,( E ? A) X 2 ? 0,( E ? A) X 3 ? ? X 2

由此可见 X 1 , X 2 是 A 的特征值为 1 的两个 线性无关的特征向量。 解方程组 ( E ? A) X ? 0 可求得两个线性无关的特征向量 ? ? ( ?1,1,0)T ,? ? (3,0,1)T

X 1 ? ? ? ( ?1,1,0)T ,但不能简单 可以取
地取 X 2 ? ? ,因为 X 2 还要保证非齐次线性方 程组 ( E ? A) X 3 ? ? X 2 有解。

如果 X 2 选择不恰当,该非齐次方程组可能无 解。幸好 X 2 的选择余地较大,由于 ? ,? 的任 何线性组合仍是 ( E ? A) X ? 0 的解,因此, 我们选择 X1 ? ? , X 2 ? k1? ? k2? ,其中 k1 ,k2 只要保证 X 1 与 X 2 线性无关,且使得 ( E ? A) X 3 ? ? X 2 有解。此即若

X 2 ? k1? ? k2? ? ( ? k1 ? 3k2 , k1 , k2 )T ,

选 k1 , k2 使得方程组

? 2 2 ?6 ? ? x1 ? ? k1 ? 3k2 ? ? 1 1 ?3 ? ? x ? ? ? ? k ? 1 ? ? ?? 2? ? ? 1 1 ?3 ? ? x 3 ? ? ? k 2 ? ? ?? ? ? ? 有解。不难知,当 k1 ? k2 时方程组有解,且 其解为 x1 ? ? x2 ? 3 x3 ? k1 k1为非零任意数,可取 k1 ? 1。这时
X 2 ? (2,1,1) , X 3 ? (2,0,1)
T T

于是

? ?1 2 2 ? P ? ? 1 1 0? ? ? ? 0 1 1? ? ?

?1 0 0? ?0 1 1? ?1 容易验证有 P AP ? ? ? ?0 0 1? ? ? 从以上两例我们可以概括出求 Jordan 标准 形变换矩阵 P 的过程。

设 A的 Jordan 标准形为 J ,则
? J1 ? ? ? J2 ? AP ? PJ ? P ? ? ? ? ? ? Js ? ? ? ?i 1 ? ? ? ?i 1 ? ?

(2.3.1)

其中

Ji ? ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? 1? ? i ? n ?n ?i i

(2.3.2)

把变换矩阵 P 按 Jordan 块 J i 的阶数 ni 进行相 应的分块,即设 P ? ( P1 , P2 ,?, Ps ) (2.3.3) 其中 Pi ? C
n?ni

,因此
J2 ? ? ? ? ? ? Js ?

? J1 ? A( P1 P2 ? Ps ) ? ( P1 P2 ? Ps )J ? ( P1 P2 ? Ps ) ? ? ? ?

故 ( AP1 , AP2 ,?, APs ) ? ( P1J1 , P2J 2 ,?, Ps J s )

比较上式两端得

APi ? Pi J i (i ? 1,2,?, s) 对 Pi 再按列分块
Pi ? ( X i 1 X i 2 ? X ini ) ? C n?ni
列向量,代入式(2.3.4)可得 AX i 1 ? ?i X i 1 ? ? AX ? X ? ? X ? i2 i1 i i2
? ?????? ? ? AX i 1 ? X ini ?1 ? ?i X ini ?

(2.3.4)
(2.3.5)

其中 X i 1 , X i 2 ,? , X ini 是 ni 个线性无关的 n 维

由第一个方程看到, 列向量 X i 1 是矩阵 A 的 特征值为 ?i 所对应的特征向量。 且有 X i 1 继而可 以求得 X i 2 , X i 3 ,? , X ini 。 因此, 长方形矩阵 Pi 以 至 P 都可求得。有前面的例子中可以看到,特 征向量 X i 1 的选取要保证 X i 2 可以求出,类似地

X i 2 的选取(因为 X i 2 的选定并不唯一,只要适
当选取一个就可) 也要保证 X i 3 可以求出如此等 等。

在上述分析中还可以得到如下三点结论: (1) 每一个 Jordan 块 J i 对应着属于 ?i 的一个 特征向量; (2) 对于给定特征值 ?i ,其对应 Jordan 块的 个数等于 ?i 的几何重复度; (3) 对于给定特征值 ?i 所对应全体 Jordan 块 的阶数之和等于 ?i 的代数重复度。

在例 2.3.1 中 ? ? 1的几何重复度为 2, 所 以它对应的 Jordan 块有 2 个,其中一个是 1 阶,一个是 2 阶,阶数之和为 3,正是的代数 ? ? 1重复度。 在例 2.3.2 中, ? ? 2 的几何重复度为 1, 所以它对应的 Jordan 块有一个, 其阶数恰是 它的代数重复度。 ? ? 1的几何重复度为 1, 代数重复度为 1,它所对应的是 1 个 1 阶 Jordan 块。

四、Jordan 标准形的某些应用 A、求解常系数线性微分方程组 已知常系数线性微分方程组 ? dx1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? dt ? ? dx2 ? a x ? a x ? ? ? a x ? 21 1 22 2 2n n ? dt ? ????? ? ? dxn ? a x ? a x ? ? ? a x n1 1 n2 2 nn n ? dt ?

(2.3.7)

其中 aij ( i , j ? 1,2,? , n) 均为常数。将此方程 写成矩阵形式

dX ? AX dt
这里

(2.3.8)

A ? (aij ) ? C

n?n

, X ? ( x1 ( t ), x2 ( t ),?, xn ( t ))

T

dxn T dX dx1 dx2 ?( , ,?, ) dt dt dt dt 设 J 是 A的 Jordan 标准形,则

P ?1 AP ? J
把(2.3.10)式代入(2.3.8)式得

(2.3.9)

令 X ? PY Y ? ( y1 ( t ), y2 ( t ),?, yn ( t ))T (2.3.10)

dY P ? APY dt
将 P ?1 左乘上式两端得

(2.3.11)

dY (2.3.12) ? P ?1 APY ? JY dt 若能由式(2.3.12)可求得Y ,然后通过(2.3.10) 式可求得原来方程的解 X 。

例 2.3.7 求微分方程组 ? dx1 ? dt ? ? x1 ? 2 x 2 ?6 x3 ? ? dx2 ? ? x1 ? 3 x3 ? ? dt ? dx3 ? dt ? ? x1 ? x 2 ?4 x3 ? 的解。

解:命 X ? ( x1 , x 2 , x3 ) ,则方程组可写为
T

? ?1 ?2 6 ? dX ? ? ?1 0 3 ? X ? AX ? dt ? ? ?1 ?1 4 ? ? ?

其中

? ?1 ?2 6 ? A ? ? ?1 0 3 ? ? ? ? ?1 ?1 4 ? ? ?

根据例 2.3.3 知

P ?1

?1 A P? ? 0 ? ?0 ?

0 1 0

0 ? ? 1 ? ? 1 ?

? ?1 2 2 ? ? ?1 0 2 ? 其中 P ? ? 1 1 0 ? P ?1 ? ? 1 1 ?2 ? ? ? ? ? ? 0 1 1? ? ?1 ?1 3 ? ? ? ? ? dY 令 X ? PY ,则由式 ? P ?1 APY ? JY dt dy1 dy3 dy2 ? y1 , 得 ? y2 ? y3 , ? y3 dt dt dt
不难求得 y1 ? k1e t , y3 ? k3e t ,

y2 ? ( k3 t ? k2 )e t 代入 X ? PY 得

x1 ? ? k1e ? 2k3e ? 2( k3 t ? k2 )e
t t

t

x2 ? k1e ? k3e
t t

t

x3 ? k3e ? ( k3 t ? k2 )e

t

其中 k1 , k2 , k3 为任意常数。

B、某些问题的证明 k 例 2.3.8 设 A ? 0 (k 为自然数) ,试证:

A? E ? 1
解:由 A ? 0 知 A 的特征值全为零,于是, 在 A的 Jordan 标准形中其主对角线元素全为 零。设 A的 Jordan 标准形为 J ,即 ?1 ?1 P AP ? J 或 A ? PJP 所以
k

A ? E ? PJP ?1 ? E ? P J ? E P ?1 ? 1

例 2.3.9 试证任一方阵 A 与其转置阵 A 相 似。 解:设分块对角阵 SAS ?1 ? diag( J1 J 2 ? J k ) 是 n 阶矩阵 A 的 Jordan 标准形, J i 是第 i 个 Jordan 块,则

T

diag( J ? J ) ? ( SAS ) ? ( S )A S
T 1 T k T

?1 T

?1 T

T

? ( S T )?1 AT S T 故为了证明所给命题只需证明一个 Jordan
块 J i 和它的转置阵 J i T 相似即可。

令 Pi 是次对角线上元素全为 1, 其余元素全为 0 的适当阶方阵。 1? ? ? ? 1 ? Pi ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 则不难验证: Pi
?1

? Pi , Pi J i Pi=J 。证毕。
T i

?1


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