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【人教A版】高中数学 第一章 解三角形章末知识整合 新人教A版必修5


第一章 解三角形章末知识整合 新人教 A 版必修 5

一、本章的中心内容——如何解三角形 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具, 最后落实在解三角形的应用上. 通过本章的学 习应当达到以下学习目标: 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一 些简单的三角形度量问题. 2.能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际生活问题. 3.本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关系 的结论.在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性知识,就是“在任意三角形中有大边 对大角,小边对小角”, “如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两 个三角形全等”. 4.在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识 联系密切的内容,对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对三角形进 行讨论,方法不够简洁,用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力. 5.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系, 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对

的角是直角; 如果小于第三边的平方, 那么第三边所对的角是钝角; 如果大于第三边的平方, 那么第三边所对的角是锐角.从上可知,余弦定理是勾股定理的推广. 二、学数学的最终目的——应用数学 能把实际问题抽象成数学问题,把所学的数学知识应用到实际问题中去,通过观察、分 析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题,确定解决问题的科学思维方法,学会把数 学知识应用于实际. 1.正弦定理可建立边角关系,角的正弦越大所对的边就越长. 2.由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解.一般地,解三角形时, 只有当 A 为锐角且 bsin A<a<b 时,有两解;其他情况时则只有一解或无解. 3.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角. 4.把 a=ksin A,b=ksin B 代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系. 5.余弦定理是三角形边角之间的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例. 6.余弦定理的应用范围是:①已知三边,求三角;②已知两边及一个内角,求第三边. 7.解斜三角形应用题的一般步骤. (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中, 建立一个解斜三角形的数学模型. (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解. (4)检验:检验上述所求的解是否有实际意义,从而得出实际问题的解. 8.平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况: (1)A、B 两点都在河的两岸,一点可到达,另一点不可到达.方法是可到达一侧再找一 点进行测量. (2)A、B 两点都在河的对岸(不可到达).方法是在可到达一侧找两点进行测量. (3)A、B 两点不可到达(如隔着一座山或建筑).方法是找一点可同时到达 A、B 两点进 行测量. 9.利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂 得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 10.测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点,分别测量仰角或俯角,同时 测量出两个观测点的距离,再利用解三角形的方法进行计算. 11.求三角形的面积的问题,先观察已知什么,尚缺什么,用正弦定理、余弦定理求出 需要的元素,就可以求出三角形的面积. 12.利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常 见思路,将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系. 题型 1 利用正、余弦定理解三角形 解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程, 三角形 中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半 径),解三角形通常是指求未知的元素,有时也求三角形的面积. 解斜三角形包括四种类型:①已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦 定理求边); ②已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边); ③已知三边(先用余弦定理求 角); ④已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边, 注 意讨论解的个数).

例1

7 在△ABC 中,c=4,b=7,BC 边上的中线 AD 长为 ,求 a. 2

解析:如图,设 CD=DB=x,

2 ?7? 2 2 7 +x -? ? ?2? 在△ACD 中,cos C= , 2×7×x 7 +(2x) -4 在△ACB 中,cos C= , 2×7×2x 2 ?7? 2 2 7 +x -? ? ?2? 72+(2x)2-42 所以 = . 2×7×x 2×7×2x 9 解得 x= . 2 9 所以 a=2x=2× =9. 2 例2 如图,四边形 ABCD 中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形 的面积等于________.
2 2 2

解析:由余弦定理得 2 2 2 BD =2 +2 -2×2×2cos 120°=12, ∴BD=2 3. ∵BC=CD=2,C=120°, ∴∠CBD=30°,∴∠ABD=90°, ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD 1 1 = ×4×2 3sin 90°+ ×2×2×sin 120°=5 3. 2 2 答案:5 3

题型 2 利用正、余弦定理判定三角形的形状 判定三角形形状通常有两种途径: 一是通过正弦定理和余弦定理化边为角, 如 a=2Rsin 2 2 2 A,a +b -c =2abcos C 等,再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断,此时注 意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如 sin A=sin B?A=B,sin(A-B)=0?A=B,

sin 2A=sin 2B?A=B 或 A+B= 等;二是利用正弦定理、余弦定理化角为边,如 sin A
a b +c -a = ,cos A= 等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断. 2R 2bc 例 3 在△ABC 中,若 B=60°,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解析:方法一 由正弦定理可得 2sin B=sin A+sin C, ∵B=60°,∴A+C=120°,A=120°-C, 将其代入上式,得 2sin 60°=sin(120°-C)+sin C, 展开整理,得 3 1 sin C+ cos C=1, 2 2
2 2 2

π 2

∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°. ∴C=60°,故 A=60°, ∴△ABC 是正三角形. 2 2 2 方法二 由余弦定理可得 b =a +c -2accos B, a+c ∵B=60°,b= , 2 ∴?

?a+c? =a2+c2-2accos 60°. ? ? 2 ?
2

2

∴(a-c) =0,∴a=c, ∴a=b=c,∴△ABC 为正三角形. 题型 3 三角形解的个数的确定 (1)利用正弦定理讨论:若已知 a,b,A,由正弦定理 a

sin A sin B



b

bsin A ,得 sin B= . a

若 sin B>1,则无解;若 sin B=1,则有一解;若 sin B<1,则可能有两解. 2 2 2 2 (2)利用余弦定理讨论:已知 a,b,A, 由余弦定理 a =c +b -2cbcos A, 即 c -(2bcos 2 2 A)c+b -a =0.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有 一解;若方程有两个不同正数解,则三角形有两解. 例 4 在△ABC 中, 若 a=2 3, A=30°, 则 b 为何值时, 三角形有一解, 两解, 无解? a b 解析:由正弦定理 = 得: sin A sin B ①当 bsin A<a<b 时,有两解,此时 2 3<b<4 3; ②当 a≥b 时或 B 为 90°(b 为斜边)时,有一解,此时 b≤2 3或 b=4 3; ③当 a<bsin A 时无解,此时 b>4 3. 题型 4 正、余弦定理在实际问题中的应用 例 5 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测 量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m, 于 C 处测得水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值.

解析:如下图,作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M,

DF= MF +DM = 30 +170 =10 298, 2 2 2 2 DE= DN +EN = 50 +120 =130, 2 2 2 2 EF= (BE-FC) +BC = 90 +120 =150. 在△DEF 中,由余弦定理得:

2

2

2

2

cos∠DEF=
2 2

DE +EF -DF 2DE×EF
2

2

2

2

130 +150 -10 ×298 16 = = . 2×130×150 65


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