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1.2.1任意角的三角函数ppt


思考一

二 三


例1
例2 例3 例4 检测 作业

初中时,我们怎样利用直角三角形定义了 锐角三角函数的呢?

sin ? ? cos ? ? tan ? ?

a c b c a b

B

c
<

br />a

?
A b
答案 C

知识

探究一

思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b?
r
?

MP b tan ? ? ? OM a

b

o

a


M

x

思考2 以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.
y

因OP ? r ? 1 ,故
P( x, y)
1

MP sin ? ? OP
x

?y

?
o

M

OM cos ? ? OP

?x y MP tan ? ? ? OM x

1、任意角的三角函数第一定义

升级兼容

设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )

y 叫做 规定:(1)

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ; y y tan ? ? (3) 叫做 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0)
x
x
y

﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

注意:正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

思 考 3
y

根据三角函数的定义,确定它们的 定义域(弧度制)

三角函数

定义域

﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

cos ? tan ?

sin ?

R R
? ? ? ? ? ? ? k ? ( k ? Z ) ? ? 2 ? ?

思考四 升级兼容 2、任意角的三角函数第二定义: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0
y P (x,y)

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r r x x ? ② r 叫做 的余弦,即 cos ? ? O r y y ③ x 叫做? 的正切,即 tan ? ? ?x ? 0? x

? x

r

y
M x

诱思

探究

返回

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?

5 ? 例1、求 的正弦、余弦和正切值. 3
解:在直角坐标系中,作 ?AOB ?



C

) 的终边与单位圆的交点坐标为 ( , 2 2 5? 5? ? 3 5? 1 tan ?? 3 cos ? ? 所以 sin 3 2 3 2 3 y 7? 5? 思考:若把角 改为 呢? 3 6 5? 7? 1 3 sin ?? , ﹒ 6 2 o A x 7? ? 3 cos ? , ﹒B 6 2

5? ,易知 ?AOB 3 1 ? 3

理论 迁移

7? 3 tan ? 6 3

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα tanα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?
0

?1
0
不存在

3? 2

2?

1
0

3 2 3 3

0

?1
0

0 1
0

1

3 不存在

例2、已知角 ? 的终边经过点P0 (?3,?4),求角? 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

? ?3?

2

? (?4) ? 5
2

y 4 于是,sin ? ? ? ? r 5 y 4 tan ? ? ? x 3
返回

x 3 cos ? ? ? ? r 5

合作 演练 变式1、已知角? 的终边过点 P?? 12,5? ,

求? 的三个三角函数值.
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

??12?

2

? 52 ? 13

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

x 12 cos ? ? ? ? r 13

变式2:已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0),求角α

的正弦、余弦、正切值.

变式3:已知角α的终边经过点P(2a,-3a),求角α的正弦、 余弦、正切值.

变式4
已知点p(? 3,m)是角?终边上的一点, 且 sin ? ? 13
1 13 , 则m ? __________ ____ 2
2

解析: ?r ? 3 ? m
? m 3? m
2

13 ? 13

?13m ? m ? 3
2 2
返回 划归的思想

1 ?m ? 4
2

练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D ) A.sin α=0 B.sin α=1 C.sin α=-1 D.sin α=± 1 2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )

A.4 3 C. ? 4 3

B. ? 4 3 D. 3

三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号:
上正下负横为0

y 1? 、正弦函数值 sin ? ? y r

y

第一象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第二象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第三象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r y 第四象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r x 第二象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第三象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第四象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r

x 2 ? 、余弦函数值 cos ? ? r x

左负右正纵为0

y

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第二象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x y 第三象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第四象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x

y 3? 、正切函数值 tan ? ? y x

交叉正负

y

o

x

y

y

y

o

x

o

x

o

x

sin ?、 csc ?

cos?、 sec?

tan ?、 cot ?

规律: “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”

“一全二正弦,三切四余弦”

例1 确定下列三角函数值的符号:

解: (1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ; (2)因为 tan(?672?) = tan(?2 ? 360? ? 48?) ? tan48? , 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? ?? ? sin (3)因为 是第四象限角,所以 ? ? 4 ? ? 0 . ? ? 4

? ?? sin ? ? ? cos 250?(2)tan( ?672?)(3) ( 1) ? 4?

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16
cos

?

5

?

sin( ?

?

3

)

tan( ?

?

8

?)

例2 若

sin ? ? 0 { tan ? ? 0



成立,则角 ? 为第几象限角角?

sin ? ? 0 三、四

例2 若

sin ? ? 0 { tan ? ? 0



成立,则角 ? 为第几象限角角?

sin ? ? 0 三、四

tan ? ? 0





? 如果两个角的终边相同,那么这两个角
的同一三角函数值有何关系?

y

P( x, y)
1

?
o

x

M

? 如果两个角的终边相同,那么这两个角
的同一三角函数值有何关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?(其中 k ? z)
公式作用:可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0到2? ?或0?到360?? 角的三角函数值 .

例3 求下列三角函数值:
(1) cos

cos 解:(1)

9? 4 9?

(2) tan( ?

4 4 4 2 11? ? ? ? 3 tan( ? ) ? tan( ? 2 ? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3

? cos(

?

? 2? ) ? cos

11? ) 6 ? 2
?

练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3 3

31? tan( ? ) ?1 4

三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆 的 交于点P.过点P作x轴 α 终边 P 的垂线,垂足为M.
y
A(1,0 ) x

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|

【思考】为了去掉
上述等式中的绝对值 符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方 向,使它们的取值与点 P的坐标一致?

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

M
α的 P 终边

O

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

【定义】有向线段 * 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.

当角α的终边不在坐 标轴上时,以M为始点、 P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向, 且有正值y;
当线段MP与y轴反向 时MP的方向为负向, 且有负值y. MP=y=sinα 有 向线段MP叫角α的正 弦线

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

M
α的 P 终边

O

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

当角α的终边不在坐 标轴上时,以O为始点、 M为终点,规定:

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
y
A(1,0 ) x

当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且 有正值x;
当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且 有负值x.

α的 终边 P

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

O OM=x=cosα 有 向线段OM叫角α的余弦 α的 P 终边 线 (Ⅲ )

M

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅳ )

α的 终边

MP AT y tan ? ? ? ? AT ? OM OA x

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O

T α的

终边

过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边或其反向延 长线相交于点T. 有向线段AT叫 角α的正切线
终边

MO

A(1,0 M ) x

T

(Ⅱ )
y T
A(1,0 ) x

(Ⅰ )
y M A(1,0 ) x P T

M
α的 P

O

O

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

MO

T

例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 1 (2) sin ? ? ; ⑴ sin ? ? ; 2 2 ?角的终边
y 1

P
-1
O -1

1 y? 2
x

M1

5? [ ? 2k? , ? 2k? ] 6 6

?

(k ? Z )

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:

1 ?2 ? cos ? ? 2
-1

y
1

? 3
1 x? 2

1

O

x

? 5? ? ? -1 ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? k ? Z ? ? 3 3 ? ?

5? 3

1 变式: 写出满足条件 ? ≤cosα< 2

的集合.

2? 3

3 的角α 2

y

1

? 6
1 x

-1

O -1

4? 3

11? 6

? 2? ? ? 2? 4? ? 11 ? ? ? | 2 k ? ? 2 k ? ? ,或 (2k? ? ,2k? 6 ?<α≤ ? ?2k? 3 ? ,2k? ? )?k ? Z ? ? 4? ? 11? 6 3 3 6 ? 2k? ? 2 k ? ? , k ? Z ? ≤α<
3 6

课堂

练习

1.已知?是第三象限且cos ? 0 ,问 是第几象 2 2 限角?

?

?

2.若θ在第四象限,试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号

课堂

练习

3 .若lg(sin??tan?)有意义,则?是( C ) A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴

4. 已知?的终边过点(3a-9,a+2),且cos?<0, sin?>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。

课堂

练习

5.利用单位圆中的三角函数线,确定下列各角的 取值范围: (1)sinα <cosα ;

归纳

总结

1. 内容总结: (1)三角函数的概念. (2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 (3)诱导公式一. (4)三角函数线 2 .方法总结:

运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.


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