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全国高中数学联赛模拟试题8


全国高中数学联赛模拟试题(八)
第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、设 logab 是一个整数,且 log a
1 ? b ? a2 ; b ③0<a<b<1; 其中正确结论的个数是 (A)1 (B)2 1 ? log a b ? log b a 2 ,给出下列四个结论 b


/>②logab+logba=0; ④ab?1=0. (C)3 (D)4

?a 2 ? a ? 2b ? 2c ? 0 2、若△ABC 的三边长 a、b、c 满足 ? ,则它的最大内角度 ?a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0
数是 (A)150° (B)120° (C)90° (D)60°

2b 2 x2 y2 3、定长为 l( l ? )的线段 AB 的两端点都在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0, a a b

b>0) ,则 AB 中点 M 的横坐标的最小值为 (A)

al 2 a ?b
2 2

(B)

a?l 2 a2 ? b2 a?l ? 2a ? 2 a2 ? b2

(C)

a?l ? 2a ? 2 a2 ? b2

(D)

4、在复平面上,曲线 z4+z=1 与圆|z|=1 的交点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 5、设 E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x?4}是直角坐标平
?? x ? x 2 y1 ? y 2 ? ? , 面上的两个点集, 则集合 G= ?? 1 ? ?x1 , y1 ? ? E , ?x 2 , y 2 ? ? F ? 所 2 ? ?? 2 ?

组成的图形面积是 (A)6 (B)2? (C)6.5 (D)7 6、正方形纸片 ABCD,沿对角线 AC 对折,使 D 在面 ABC 外,这时 DB 与 面 ABC 所成的角一定不等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)

n i s ? n i s ? n i s ? n i s ? ? ? ? 的值等 24 o c s 4? o c s 3? o c s 3? o c s 2? o c s 2? o c s ? o c s ? 于 . 1 1 1 ? ??? 2、 1 ? = . 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2004 3、在 Rt△ABC 中,AB=AC,以 C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的 另一个焦点在 AB 内, 且椭圆过 A、 B 点, 则这个椭圆的离心率等于 . 4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有 种 不同的选法.

1、已知 ? ?

?

, 则

? ? z ? z ? z ? a ? bi 5、设 a、b 均为正数,且存在复数 z 满足 ? ,则 ab 的最大值 z ? 1 ? ? 等于 . 8 n 7 ? 对惟一的一个整数 k 成立的最大正整数 n 为 6、使不等式 ? . 15 n ? k 13

三、 (20 分)
已知实数 x、y 满足 x2+y2≤5.求 f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y?3x?18|的最 大值与最小值.

四、 (20 分)
经过点 M(2,?1)作抛物线 y2=x 的四条弦 PiQi(i=1,2,3,4),且 P1、P2、 P3、P4 四点的纵坐标依次成等差数列. 求证:

P1 M P2 M P3 M P4 M . ? ? ? MQ1 MQ2 MQ3 MQ4

五、 (20 分)
n 为正整数,r>0 为实数.证明:方程 xn+1+rxn?rn+1=0 没有模为 r 的 复数根.

第二试
一、 (50 分)
设 C(I)是以△ABC 的内心 I 为圆心的一个圆,点 D、E、F 分别是从 I 出发垂直于边 BC、CA 和 AB 的直线 C(I)的交点. 求证:AD、BE 和 CF 三线共点.

二、 (50 分)
非负实数 x、y、z 满足 x2+y2+z2=1. 求证:1≤
x y z ? ? ≤ 2. 1 ? yz 1 ? zx 1 ? xy

三、 (50 分)
对由 n 个 A, n 个 B 和 n 个 C 排成的行, 在其下面重新定义一行 (比 上面一行少一个字母) , 若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三 个字母;若相同,则写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到 变为一个字母为止.下面给出了 n=2 的一个例子. A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数 n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的 大三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.

参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1、
3 ; 3

1 A

2 B

3 D

4 A

5 D

6 D

2、

4008 ; 2005

3、 6 ? 3 ;
1 5、 ; 8

4、816; 6、112.

三、最大值 27 ? 6 5 ,最小值 27 ? 3 10 . 四、证略. 五、证略.

第二试
一、证略; 二、证略. 三、 n=1.


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