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高中数学竞赛模拟试题六


高中数学竞赛模拟试题六
一选择题 1.如果集合 A.B 同时满足 A ? B ? ?1 .2 .3 .4?
A ? B ? ?1?

, A ? ?1? , B ? ?1? 就

称有序集对 ? A , B ? 为“好集对” 这里的有序集对 ? A , B ? 意指当 。
A? B

, ?

A , B ? 和 ? B , A ? 是不同的集对,那么“好集对”一共有( )


A 64 B 8 C
?x

6
? 1?

D

2
?1

2.设函数 f ? x ? ? lg ?1 0
A . log 2 ? lg 2 ? ? 1

,方程 f ? ? 2 ? ?
x

f

? 2 ? 的解为(
x

)

B . lg ? log 2 10 ? ? 1

C . lg ? lg 2 ? ? 1

D.

log 2 ? log 2 10 ? ? 1

3.设 A ? 100101102 ? 499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺序排列而成那么 A 除以 126 的余数是 ( )
A 78 B 36
?

C

6

D

0

4. 在 直 角 ? A B C 中 ,

? C ? 90

, C D 为 斜 边 上 的 高 ,D 为 垂 足 .
?u k ?

AD ? a, BD ? b, C D ? a ? b ? 1

. 设 数 列
k k

的 通 项 为

uk ? a ? a
k

k ?1

b?a

k ?2

b ? ? ? ? ? 1 ? b , k ? 1, 2, 3, ? ,
2

则(

)

A. u 2008 ? u 2007 ? u 2006 C . 2 0 0 7 u 2008 ? 2 0 0 8u 2007

B . u 2008 ? u 2007 ? u 2006 D . 2 0 0 8 u 2008 ? 2 0 0 7 u 2007

5.在正整数构成的数列 1.3.5.7……删去所有和 55 互质的项 之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列 ? a ? ,
n

易见 a 6.设

1

? 1, a 2 ? 3, a 3 ? 7 , a 4 ? 9, a 5 ? 1 3 ?

那么 a
0

2007

? ____________

A.
A? B ?
A.

9597
1 ? co s 3
0

B . 5519
0

C . 2831

D . 2759
0

+ 1+cos7 + 1+cos11
0 0

+? 1+cos87
0

则A:B ? ?
0

?

1 ? co s 3

+ 1-cos7 + 1-cos11
B. 2+ 2
2
1

+? 1-cos87
C.
2 -1

2- 2
2

D.

2 +1

二.填空题 7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共 有______________种. 8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 a 整数,则对应此 n 的 a 为(
n

= n

?

2- 2 ? i 2+ 2

?

n

取实数值的最小正

).

9.若正整数 n 恰好有 4 个正约数,则称 n 为奇异数,例如 6,8,10 都 是 奇 异 数 . 那 么 在

27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个数中奇 异数有_____________________个. 10. 平 行 六 面 体
A A1, A B , A D

A B C D ? A1 B1C 1 D 1

中,顶点

A

出发的三条棱
?

的长度分别为 2,3,4,且两两夹角都为 6 0 那么这个平
1 1 1 1

行六面体的四条对角线 A C , B D , D B , C A 的长度(按顺序)分别为 ___________________ 11. 函 数
f
?1 ?

f
f
?2?

?x?, g ?x?
f
?1 ?

的 迭 代 的 函 数 定 义 为

?x? ?

f

?x?,

?x? ?

? f ? x ? ? ,?
?2?

f

?n?

?x? ?

f

?f?

n ?1 ?

? x ?? , g ? x ? ? g ? x ? , g

? x ? ? g ? g ? x ? ? ,? g

?n?

?x? ?

g g

?

? n ?1 ?

? x ??

其中 n ? 2, 3, 4 ? 设
?x? ?
2 x ? 3, g ? x ? ? 3 x ? 2

f

,则方程组

?f ? ? ?f ? ?f ?

?9? ?9? ?9?

?x? ? ? y? ? ?z? ?

g g g

?6? ?6? ?6?

? y? ?z? ?x?

的解为

_________________ 12.设平行四边形 A B C D 中, A B ? 4, A D ? 2, B D ? 2 形
ABCD
3,

则平行四边

绕直线

AC

旋转所得的旋转体的体积为
2

_______________ 三解答题 13.已知椭圆 ? : 3 x
A, B
2

? 4 y ? 12
2

和点 Q ? q , 0 ? , 直线 l 过 Q 且与 ? 交于

两点(可以重合).
q ? 4, 试确定 l

1)若 ? A O B 为钝角或平角( O 为原点), 取值范围.

的斜率的

2)设 A 关于长轴的对称点为 A , F 为椭圆的右焦点, q ? 4 , 试
1

判断 A 和 F , B 三点是否共线,并说明理由.
1

3)问题 2)中,若 q ? 4 , 那么 A , F , B 三点能否共线?请说明理由.
1

3

14.数列 ? x ? 由下式确定:
n

x n ?1 ?

xn 2 xn ? 1
2

, n ? 1, 2, 3, ? , x1 ? 1

,试求 lg x

2007



整数部分 k ? ? lg x 数部分.)

2007

?.

(注 ? a ? 表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整

15. 设 给 定 的 锐 角 ? A B C 的 三 边 长
4

a, b, c,

正实数

x, y, z

满足

a yz x

?

b zx y

?

cxy z
2

? p,

其 中
2

p

为 给 定 的 正 实 数 , 试 求
2

s ? ?b ? c ? a ? x ? ?c ? a ? b ? y ? ?a ? b ? c ? z

的最大值,并求出当 s 取此最

大值时,

x, y, z

的取值.

参考答案
5

一、 选择题 1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.

1.逐个元素考虑归属的选择. 元素 1 必须同时属于 A 和 B. 元素 2 必须至少属于 A、B 中之一个,但不能同时属于

A 和 B,有 2 种选择:属于 A 但不属于 B,属于 B 但不属于 A.
同理,元素 3 和 4 也有 2 种选择. 但元素 2,3,4 不能同时不属于 A,也不能同时不属于 B. 所以 4 个元素满足条件的选择共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 种.换句 话说, “好集对”一共有 6 个. 2.令 y ? lg( 10
? x ? lg( 10 x ? ? lg( 10
y ?x

答:C.
?x

? 1)

,则 y ? 0 ,且 10

? 1 ? 10

y

, 10

?x

? 10

y

?1



? 1) ? 1)

, .从而 f
?1

y

( x ) ? ? lg( 10

x

? 1)

.
?1

令2 即 故 解得

x

? t
t

,则题设方程为
t

f (?t ) ? f

(t )



lg( 10 ? 1) ? ? lg( 10 ? 1) lg[( 10 ? 1)( 10 ? 1)] ? 0
t t


t

, (10 从而

? 1)( 10 ? 1) ? 1
t

, 10

2t

? 2



2 t ? lg 2



2

x

? t ?

1 2

lg 2

.

x ? log 2 (

1 2

lg 2 ) ? log 2 (lg 2 ) ? 1

.

答:A. 3. 注意
126 ? 2 ? 7 ? 9

,2,7 和 9 两两互质.

因为

A ? 0

(mod2),
A ? 1 ? 0 ? 0)(1 ? 0 ? 1)(1 ? 0 ? 2) ? ? 4 ? 9 ? 9)(5 ? 0 ? 0) ( ? ? ? ( ? ? 100 ? 101 ? 102 ? ? ? 500 ? 100 ? 500 ) 401 ? 2 ( ? ? 120300 ? 6

6

(mod9),
所以 又因为 10
3

A ? 6

(mod18).
3n

(1)

? ?1

, 10

? ( ? 1)
400

n

(mod7),
? i ) ? ? 1) (
i

所以 A ? ? ( 500
400 i?0

? i ) ? 10

3i

?

? ( 500
i?0

? ( 500 ? 499 ) ? ( 498 ? 497 ) ? ( 496 ? 495 ) ? ? ? (102 ? 101 ) ? 100

? 300 ? 6

(mod7).
答:C. 另解:126
n ? 1, 2 , 3 , ?

(2)

由(1)(2)两式以及 7 和 18 互质,知 A ? 6 (mod126). ,

? 2 ? 63

,63 999999 ,999999

? 10

6

?1

( , 10

6

? 1) 10 (

6n

? 1)



.

所以
A ? 100 ? 10 ? 100 ? 10 (
1200

? 101102 ? 10

1194

? 103104 ? 10
1194

1188

? ? ? 497498 ? 10
1188

6

? 499500
6

1200

? 1) 101102 ? 10 ? (

? 1) 103104 ? 10 ? (

? 1) ? ? 497498 ? 10 ? (

? 1) ?

(100 ? 101102 ? 103104 ? ? ? 497498 ? 499500 )
? 999999 B ? 100 ? 101102 ? 499500 ) 200 ? 2 ? 999999 B ? 100 ? 60060200 ( ? ? 999999 B ? 60060300 ? 999999 C ? 60360


? 63 E ? 6

其中 B,C 为整数.从而 A ? 63 D ? 60360

,其中 D,E 为

整数.所以 A 除以 63 的余数为 6.因为 A 是偶数,所以 A 除 以 126 的余数也为 6. 4.易见 CD
a ( a ? 1) ? 1
2

答:C. , ( a ? b) 即
2

? AD ? BD

? ab
2

, 又已知 a ? b ? 1 , ab 故 .

?1



,a
k

2

? a ?1 ? 0

; b ( b ? 1) ? 1 , b
k

? b ?1? 0

显然 u 是首项为 a ,公比为 q ? ? b 的等比数列的前 k ? 1 项
a

和.故
7

uk ?

a (1 ? q
k

k ?1

)

1? q

?

a

k ?1

? (?b) a?b

k ?1



k ? 1, 2 ,3 ?

.

从而
u k ? u k ?1 ? a
k ?1

? (?b) a?b

k ?1

?

a

k?2

? (?b) a?b

k?2

?

1 a?b

[a

k?2

?a

k ?1

? (?b)

k?2

? (?b)

k ?1

]

?

1 a?b

[a

k ?1

( a ? 1) ? ( ? b )

k ?1

( ? b ? 1)]

?

1 a?b

[a

k ?1

?a

2

? (?b)

k ?1

?b ]
2

?

1 a?b

[a

k ?3

? (?b)

k ?3

] ? u k?2



k ? 1, 2 ,3 ?

.

故答案为 A.(易知其余答案均不成立) 另解:易见 CD 故 ab
a ?
?1
2

? AD ? BD
2

( ,即 a ? b )
2

? ab

,又已知 a ? b ? 1 ,
5

, (a ? b)
2

? ( a ? b ) ? 4 ab ? 1 ? 4 ? 1 ? 5
2

,a ? b ?

.解得

5 ?1 2



b ?

5 ?1 2

.

显然 u 是首项为 a ,公比为 q ? ? b 的等比数列的前 k ? 1 项和,
k
k

a


uk ? a (1 ? q
k k ?1

)

1? q

?

a

k ?1

? (?b) a?b

k ?1

?

1 5

[(

1? 2

5

)

k ?1

?(

1? 2

5

)

k ?1

]



k ? 1, 2 , 3 , ?

.
k

于是数列 ?u ? 就是斐波那契数列 1,2,3,5,8,13,21,…, 它满足递推关系
n

u k ? 2 ? u k ?1 ? u k ,

k ? 1, 2 , 3 , ?

.

所以答案为 A.

5. ?a ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,… 中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后,把余下的各项按 从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理, 2, 4, 1, 3, …,
m

中不能被 2,5 或 11 整除的项的个数为
8

?m ? ?m ? ?m ? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? xm ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? 2 ? ? 5 ? ? 11 ? ? 55 ? ? 22 ? ? 10 ? ? 110 ?



其中 ? a ? 不表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分. 估值:设
2007 ? x m ? m ?
1 2 4 5 10 11
4 11

m 2

?

m 5

?

m 11

?

m 55

?

m 22

?
11 4

m 10

?

m 110

? m ? (1 ?

1 2

)( 1 ?

1 5

)( 1 ?

1 11

)

? m?

?

?

?

m

,故

m ? 2007 ?

? 5519

.

又因为
? 5519 ? ? 5519 ? ? 5519 ? ? 5519 ? ? 5519 ? ? 5519 ? ? 5519 ? x 5519 ? 5519 ? ? ??? ??? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? 2 ? ? 5 ? ? 11 ? ? 55 ? ? 22 ? ? 10 ? ? 110 ?

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007, 并且 5519 不是 2,5,11 的倍数,从而知 a
n 2007

? 5519

.答:B.

? 又解: a ? 可看成是在正整数数列 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, …

中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之后,把余下的各项 按从小至大顺序排成的数列.因为 2,5,11 是质数,它们的 最小公倍数为 110.易见,-54,-53,…,0,1,2,3,…,
? ? ? ? ? ? 55 中不能被 2,5,11 整除的数为 ? 1, 3, 7, 9; 13 , 17 ,? 19 ; 21, ? 23 , 27 , 29 ; 31, 37 , 39 ; 41, 43 , 47 , 49 ; 51, 53 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

,共 40 个.(或

由欧拉公式,1,2,3,…,110 中不能被 2,5,11 整除的 数的个数,等于 1,2,3,…,110 中与 110 互质的数的个 数,等于 ? (110 )? 110
? 1? ( 1 2 )(1 ? ? 1 5 )(1 ? ? 1 11 )? 40

.)

显然 1,2,3,…中每连续 110 个整数,不能被 2,5, 11 整除的数都有 40 个.所以,1,2,3,…,110 ? 50 不能被 2, 11 整除的数有 40 ? 50 5,
9

? 5500

中,

? 2000

个.大于 5500 中的数

不能被 2,5,11 整除的,是 5500+1,5500+3,5500+7, 5500+9,5500+13,5500+17,5500+19,….所以 5519 是 第 2007 个不能被 2, 11 整除的数, 5, 亦即所求的 a 答:B . 6.显然
A 2
?

2007

? 5519

.

?

1 ? cos 3 2
?

?

?

1 ? cos 7 2
?

?

?? ?

1 ? cos 87 2
?

?

? cos 1 . 5 ? cos 3 . 5 ? cos 5 . 5 ? ? ? cos 43 . 5


1 ? cos 87 2
?

B 2
?

?

1 ? cos 3 2
?

?

?

1 ? cos 7 2
?

?

?? ?

? sin 1 . 5 ? sin 3 . 5 ? sin 5 . 5 ? ? ? sin 43 . 5

?

.

注意到
2 cos ? sin 1 ? sin( ? ? 1 ) ? sin( ? ? 1 )
? ? ?

, ,

2 sin ? sin 1 ? cos( ? ? 1 ) ? cos( ? ? 1 )
? ? ?

所以
2 sin 1 ?
?

A 2

? (sin 2 . 5 ? sin 0 . 5 ) ? (sin 4 . 5 ? sin 2 . 5 ) ? (sin 6 . 5 ? sin 4 . 5 ) ? ?

?

?

?

?

?

?

? (sin 44 . 5 ? sin 42 . 5 )

?

?

? sin 44 . 5 ? sin 0 . 5 ? 2 cos 22 . 5 sin 22

?

?

?

?



2 sin 1 ?

?

B 2

? (cos 0 . 5 ? cos 2 . 5 ) ? (cos 2 . 5 ? cos 4 . 5 ) ? (cos 4 . 5 ? cos 6 . 5 ) ? ?

?

?

?

?

?

?

? (cos 42 . 5 ? cos 44 . 5 ) ? cos 0 . 5 ? cos 44 . 5 ? 2 sin 22 . 5 sin 22

?

?

?

?

?

?

.


A : B ? ( 2 sin 1 ?
?

A 2

) : ( 2 sin 1 ?

?

B 2

) ? ( 2 cos 22 . 5 sin 22 ) : ( 2 sin 22 . 5 sin 22 ) ? cot 22 . 5

?

?

?

?

?

?

2 ?1

.

答:D.
10

另解:

A 2 B 2

? cos 1 . 5 ? cos 3 . 5 ? cos 5 . 5 ? ? ? ? cos 43 . 5
0 0 0

0



? sin 1 . 5 ? sin 3 . 5 ? sin 5 . 5 ? ? ? sin 43 . 5

?

?

?

?



A 2

?i

B 2

? (cos 1 . 5 ? i sin 1 . 5 ) ? (cos 3 . 5 ? i sin 3 . 5 ) ? ? ? (cos 43 . 5 ? i sin 43 . 5 )

?

?

?

?

?

?

? (cos 1 . 5 ? i sin 1 . 5 ) ? (cos 2 ? i sin 2 )
? ? ? ? k ?0 ? ?

21

k

? (cos 1 . 5 ? i sin 1 . 5 )

?

?

1 ? (cos 2 ? i sin 2 )
? ?

22

1 ? (cos 2 ? i sin 2 ) 1 ? (cos 44 ? i sin 44 ) 1 ? (cos 2 ? i sin 2 )
2 sin
2
? ? ? ?

? (cos 1 . 5 ? i sin 1 . 5 )

?

?

? (cos 1 . 5 ? i sin 1 . 5 )

?

?

22
2

? ?

? 2 i sin 22 cos 22
? ?

?

?

2 sin 1 ? 2 i sin 1 cos 1
? ?

?

(cos 1 . 5 ? i sin 1 . 5 )( ? 2 i sin 22 )(cos 22 ( ? 2 i sin 1 )(cos 1 ? i sin 1 )
sin 22 sin 1 B 2
?
? ?
? ? ?

?

?

? i sin 22 )

?

= 因 为
B 2 ?

(cos 22 . 5 ? i sin 22 . 5 )

?

?

.
A 2 ? sin 22 cos 22 . 5 sin 1
? ? ?

A 2



是 实 数 , 所 以



sin 22 sin 22 . 5 sin 1
?

?

,
1? ? 2 2 2 2 ? 2? 2 2 ? 2 ?1

A:B ?

A 2

:

B 2

?

cos 22 . 5 sin 22 . 5

? ?

?

2 cos

2 ?

22 . 5

? ?

?

1 ? cos 45 sin 45
?

?

2 sin 22 . 5 cos 22 . 5

答:D.

二、 填空题(满分 54 分,每小题 9 分)
11

7.解: ABC 三边长 a , b , c 为整数,a ? b ? c ? 60 , a ? b ? c , a , b , c 设△ 成等差数列, ? A 为钝角,则必有 2 b ? a ? c , b 易 解 得
b
2 2

?c

2

? a

2

. ;

60 ? a ? b ? c ? b ? ( a ? c ) ? b ? 2 b ? 3 b



b ? 20 , a ? c ? 40

? a

2

?c

2

? ( a ? c )( a ? c )

,即 20

2

? 40 ( a ? c ),10 ? a ? c

.

因此 50
a ? 26

? ( a ? c ) ? ( a ? c ) ? 2 a , 25 ? a

,即 .易检验

. 另 外 , b ? c ? a ,60

? a ? b ? c ? a ? a ? 2 a , a ? 30 , a ? 29

(a, b, c) ? ( 26 , 20 ,14 ), ( 27 , 20 ,13 ), ( 28 , 20 ,12 ), ( 29 , 20 ,11 )

都是钝角三角形.答:4.

8.
x ? y
2 2




2 ) ? (2 ?


2) ? 4

x ?

2?

2



y ?

2?

2





? (2 ?

, x , y ? 0 ,故可令 x ? 2 cos ? , y ? 2 sin ? ,
2

0?? ?

?
2

. 从 而
2

4 cos

? ? 2?

2

, -

2 ? 4 cos

2

? ?2



-

2 2

? 2 cos

? ? 1 ? cos

3? 4

? cos 2?


3? 8 3n? 8 ) ? cos
n

故?
i sin 3n? 8

?

3? 8

,a

n

? (cos

3? 8

? i sin

3n? 8

+

.

an

取实数,当且仅当 sin
n ? 2007

? 0

,当且仅当 n ? 8 k ,k ? Z.
n

满足此条件且
a n ? a 2008 ? cos 3 x 2008 8

的最小正整数



2008

,此时

? ? cos 753 ? ? ? 1 .

答:-1.

12

9.易见奇异数有两类:第一类是质数的立方 p ( p 是质
3

数) 第二类是两个不同质数的乘积 p p ( p ;
1 2

1

, p2

为不同的质数) .

由定义可得
27 ? 3
3

是奇异数(第一类) ; 不是奇异数;

42 ? 2 ? 3 ? 7 69 ? 3 ? 23

是奇异数(第二类) ; 是奇异数(第二类) ;

111 ? 3 ? 37

125 ? 5
137

3

是奇异数(第一类) ;

是质数,不是奇异数;
3

343 ? 7

是奇异数(第一类) ;
2

899 ? 900 ? 1 ? 30

? 1 ? 30 ? 1) 30 ? 1)? 31 ? 29 ( (
2 2 2

是奇异数 (第二类) ; 是奇异数(第二

3599 ? 3600 ? 1 ? 60

? 1 ? 60 ? 1) 60 ? 1)? 61 ? 59 ( (

类) ;
7999 ? 8000 ? 1 ? 20
3

? 1 ? ( 20 ? 1)( 20
3

2

? 20 ? 1) ? 19 ? 421

是奇异数(第

二类). 答:8.
c b AB AD 10. 解: 将向量 AA , , 分别记为 a , , . 则 a
1

? a ? 2



b ? b ? 3

,c
1

? c ? 4

,且易见 ,
A1 C ? ? a ? b ? c

AC

? a?b?c



BD 1 ? a ? b ? c



DB 1 ? a ? b ? c

.
2

所以 AC

2 1

? (a ? b ? c)

? a

2

? b ? c ? 2(a ? b ? b ? c ? c ? a )
0

2

2

? a

2

? b ? c ? 2 ( ab ? bc ? ca ) cos 60
2 2
2 2

? a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

? 2 ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 2 ? 55
2



13



AC

1

? 27
55

55

.
3 19

类似地,可算得, . ,
15

BD 1 ?

19



DB 1 ?

15



CA 1 ?

=3 ,

答:

,3

3

.

11.令 x ? 3 ? t ,易见 x ? t ? 3 ,
f
(2)

f ( x ) ? 2 x ? 3 ? 2 (t ? 3) ? 3 ? 2 t ? 3
n



( x ) ? 2 ( 2 t ? 3 ) ? 3 ? 2 t ? 3, ? , f
2

(n)

(x) ? 2 t ? 3

; y ?1? s, 令 易见 y ? s ? 1 ,
2

g ( y ) ? 3 y ? 2 ? 3 ( s ? 1) ? 2

? 3s ? 1



g

(2)

( y ) ? 3 ( 3 s ? 1) ? 2 ? 3 s ? 1, ?



g

(n)

( y) ? 3 s ? 1
n

, n ? 1, 2 ,3, ? .因此,题设方程组可化为
? 2 9 ( x ? 3 ) ? 3 ? 3 6 ( y ? 1) ? 1, (1) ? 9 6 ? 2 ( y ? 3 ) ? 3 ? 3 ( z ? 1) ? 1, ( 2 ) ? 9 6 ? 2 ( z ? 3 ) ? 3 ? 3 ( x ? 1) ? 1 .( 3 )

(1)-(2)(2)-(3)(3)-(1)得 , ,
? 2 9 ( x ? y ) ? 3 6 ( y ? z ), ( 4 ) ? 9 6 ? 2 ( y ? z ) ? 3 ( z ? x ), ( 5 ) ? 9 6 ? 2 ( z ? x ) ? 3 ( x ? y ).( 6 )

所以
x? y ? 3 2
6 9

( y ? z) ? (

3 2

6 9

) (z ? x) ? (
2

3 2

6 9

) (x ? y)
3

?

x? y ? 0? y? z ? 0

? x? y ? z

.

代入(1)得
2 ( x ? 3 ) ? 3 ? 3 ( x ? 1) ? 1
9 6

, 512 ( x ? 3 ) ? 3 ? 729 ( x ? 1) ? 1 , ,
323 31
? 31 x ? 323

512 x ? 1533 ? 729 x ? 728



? 217 x ? 2261

,

x ? ?

323 31

.

所以原方程组的解为 x ? 答: x ?
y ? z ? ? 323 31

y ? z ? ?

.

.
14

12.以 V 表示平面图形 T 绕直线 l 所得旋转体体积.
T ?l

记直线 AC 为 l ,作 BM 于 M , N .过 O 作 PQ
? l

, DN ? l

,交 l 于 E , F ,分别交 CD , AB

, 分别交 AB , CD 于 P , Q .由于 O 是 BD 的中点,

所以 P , Q 分别是 BN , DM 的中点.由对称性,易见所求旋转体体 积为
V ? V 平行四边形
ABCD ? l

? 2 (V ? ADN

?l

? V 平行四边形

NPQD ? l

)

.
?

由于 AB
AO ? AD
2

? 4, BD ? 2 3, AD ? 2
2

,易见 ? ADB
? 2 7

? 90 , ? DBA ? 30

?

, ,

? DO

?

4?3 ?

7

, AC

.显然 ? DAC

? ? DCA ? ? CAB

DF ? FN

.
2 S ? ADO AO ? AD ? DO AO 12 7
1 3 4 7 14 ? 4 7

且 DF
AF ?

?

?

2 3 7 16 7

?

2 7 4

21



AD

2

? DF

2

?

4?

?

?

.从而由圆锥体积公式得
?
3 ? 12 7 10 7 ? 4 7 ? 16 ? 7 7 ? 16 49 7?

7
? AF ?

V ? ADN

?l

? V ? ADF

?l

?

? ? ? DF

2

.

又 CF

? AC ? AF ? 2 7 ?

?

?

, CO

? AO ?

7



CF : CO ? DF : QO


10 7 ? 1 5 21

QO ?

CO ? DF CF

?

7?

2 7

21 ?

.从而由圆锥体积公式得
? V ? CQO
?l

V 平行四边形

NPQD ? l

? V 梯形 FOQD

?l

? V ? CDF

?l

?

1 3

? ? DF

2

? CF ?

1 3

? ? QO

2

? CO

?

? 12
( 3 7

?

10 7

?

21 25

?

7) ?

7? (

40 49

?

7 25

)?

7? ?

1000 ? 343 1225

?

657 1225

7?

.从而 .

V ? 2(

16 49

7? ?

657 1225

7? ) ? 2 7? (

16 49

?

657 1225
15

) ? 2 7? ?

1057 1225

?

302 175

7?

答:所求体积为 302

7?

175


?4

13.解:I)可设 l : x ? my
(3 m
y
2

,与 ? 联立得

? 4) y

2

? 24 my ? 36 ? 0

. 这是
2

的一元二次方程,由判别式 ? ? 0 解得 m ,则
y1 ? y 2 ? ? 24 m 3m
2

? 4

.记 A ( x

1

, y 1)



B ( x 2 , y 2)

?4

,y

1

y2 ?

36 3m
2

?4

.

由题设条件, OA ? OB 即 ( my 得
(m
2

? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0



1

? 4 )( my 2 ? 4 ) ? y 1 y 2 ? 0

, , ,
2

? 1) y 1 y 2 ? 4 m ( y 1 ? y 2 ) ? 16 ? 0

即 (m 即
( 1 m

2

? 1) ? 3m

36
2

?4

? 4m ?

? 24 m 3m
2

?4

? 16 ? 0

9(m

2

? 1) ? 24 m

2

? 4 (3 m

2

? 4) ? 0

.得 ? 3 m

? 25 ? 0



m

2

?

25 3



) ?
2

3 25

,?

3 5

? m ?

3 5

.
3 5 , 3 5 )

故 l 的斜率的取值范围为 ( ? 因为 F(1,0),所以 FA 从而
1

.
? x 2 ? 1, y 2) (

? x 1 ? 1, ? y 1) (

, FB



( x 1 ? 1) y 2 ? ( x 2 ? 1)( ? y 1 ) ? ( my 1 ? 3 ) y 2 ? ( my 2 ? 3 ) y 1
36 3m
2

? 2 my 1 y 2 ? 3 ( y 1 ? y 2 ) ? 2 m ?

?4

? 3?

? 24 m 3m
2

?4

? 0

.

? FA 1

与 FB 共线, 即 A 与 F、B 三点共线.
1

III)假设 q ? 4 ,过 Q ( q , 0 ) 的直线与 ? 交于 A、B,且 A 关于 长轴的对称点为 A , 如果 A 、 B 三点共线.我们另取点 P ( 4 ,0 ) . F、
1 1

16

设直线 AP 与 ? 交于 B ,那么如 II)的证明, A 、F、B 三点
1 1

必共线.故 B 与 B 重合,从而直线 AB 和 AB 重合,就是 AQ
1 1

与 AP 重合.所以 P 与 Q 重合,q ? 4 ,与假设矛盾.这就是说,
q ? 4

时,三点 A 、F、B 不能共线.
1

14.解:
1 x
2 n ?1

1 x n ?1

?

2xn ? 1 xn
2

2

? 2xn ?

1 xn



1 x
2 n ?1

? 4xn ? 4 ?

2

1 xn
2



?

1 x
2 n

? 4 ( x n ? 1)

, n ? 1, 2 ,3 ? . ,亦即 .
? 0

故 ?( 1 x
2006 n ?1

2 n ?1

?

1 xn
2

) ? 4 ? ( x n ? 1)
2 n ?1

2006

1 x
2 2007

?

1 x
2 1

? 4 ? x n ? 8024
2 n ?1

2006



由x

1

?1


? 1

1 x
2 2007

? 4 ? x n ? 8025
2 n ?1

2006

(*) , ?x ? 是递减数列, 故
n

由于 且x 故

x n ?1 xn

2 xn ? 1

2

?1

n , ? 1, 2 ,3, ? , 且显然 x

n

1
2

?

x1 2 x1 ? 1
2

?

1 3

,x

3

?

x2 2 x2 ? 1
2006

2

?

3 2 9 ?1

?

3 11


1 9 9 121

2006

?

xn

2

n ?1

1 2 ?1? ( ) ? 3

?

xn

2

?1?

1 9

2006

?

n?3

? ( 11 )
n?3

3

2

?1?

?

? 2004 ? 151



由(*)式得
8025 ? x 1
2 2007

? 4 ? 151 ? 8025 ? 8629


1 8025

1 8629

? x 2007 ?
2

1 8025

, lg

1 8629

? lg x 2007 ? lg
2


? ?3

? lg 8629 ? 2 lg x 2007 ? ? lg 8025

, ? 4 ? 2 lg x

2007

, ? 2 ? lg x

2007

? ?

3 2



? k ? ?lg x 2007

? ? ?2 .

17

15. 证 明: 因 为△ ABC 是 锐 角三 角 形 , 其 三边 a , b , c 满 足
a, b, c ? 0

,以及
2 2

b ? c ? b, c ? a ? b, a ? b ? c, b ? c

? a ,c ? a
2 2

2

? b ,a ? b
2 2

2

? c

2

.

因此,由平均不等式可知
(b ? c ? a ) x ? ( c ? a ? b ) y ? ( a ? b ? c ) z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

1 2

(b ? c ? a ) x (
2 2 2 2

y z

2 2

?

z y

2 2

)?

1 2

(c ? a
2

2

? b )y (
2 2

z x

2 2

?

x z

2 2

)?

1 2

(a

2

? b ? c )z (
2 2 2

x y

2 2

?

y x

2 2

)

?

a y z x
2

2

2

2

?

b z x y
2

2

2

2

?

c x y z
2

2

2

2

? (

ayz x

?

bzx y

?

cxy z

) ? 2 ( bcx
2

2

? cay

2

? abz

2

)



从而
[( b ? c ) ? a ] x ? [( c ? a ) ? b ] y
2 2 2 2 2 2

? [( a ? b ) ? c ] z
2 2

2

? (

ayz x

?

bzx y

?

cxy z

)

2

? P

2



亦即

(a ? b ? c)S ? P

2

,S

?

P

2

a?b?c

.
2

上式取等式当且仅当 x 求的 S 的最大值为
A B o l Q x o A1 F A B

2

? y

2

? z

,亦即 x ?

y ? z ?

P a?b?c

.因此所
P a?b?c

P

2

a?b?c

,当 S 取最大值时, x ?
B1 A1 D1 B C D A

y ? z ?

.

l Q x

C1

D F A N

Q O P

M E B

C

y

y

(第 13 题答图) (第 10 题答图) (第 12 题答图)

18

19


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