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用三角法解平面几何竞赛题(1)


年第



用 三三 浦 亏去 解 平 冠疗
谢稚 礼
福 建 省永 春 县 玉 斗 中学

七 可

竞 赛题

,

本讲 适 合 高 中
用 正 余 弦 定 理 面 积公 式 三 角 函 数公 式
、 、

>



’一



旦卫 旦


等 来解平 面 几 何 竞 赛 题 常 可 使 题 中 量 之 间
,

的关 系 变 得 简 单 明 了 把 几 何 变 换 和 复 杂 的
,

由正 弦 定 理 有
,

演绎 推 理 转 化 为 三 角 函 数 的 运 算 方 法 简 单
,

,

思路清晰

当艺
、 、

,





,



证 明 角 的相 等 互 补 倍 分 问 题


早二


,



解得
,

,





证 明 唯 一 存在 三 边 长 为 连续 整


,

因此

,



,



不 能组成三角

数 且 有一 个 角 为另 一 个 角 的两 倍 的 三 角形



证 明 设 △八刀
为 自然 数

,



,

,



当艺






,







时 二二 鱼
,

三个角分别为

口 口






二 一







?

此 方程 无整 数解


?



,





,



里 百




本 文 的 收 稿 日期










,





‘解 ”

?

?



△月五〔 的 三 边








满足


,



,


,

试问 △

五 犯

是 什 么 三 角 形 按 边 分类

江 苏 省 初 中数 学竞 赛
,

并证 明你 的 结 论

若扩
二次式 二

,


十 十

,





闷 灰众 即

,

求证

第 五 届 绪 云 杯 初 中数 学 邀 请 赛
确定 最 大 的 实 数
,
,

为一 完 全

使得



平方
,



,






为实数
,

黑 龙 江 省 高 中 数 学竞 赛
,

第 十 届 加拿 大 中 学 生 数 学 竞 赛 若

、 、

已 知 △凡熨
西



,

都是 非 零 实数 且
,


月刀
五灯
,

边 上任 意一 点

,



,

,













上 来初

子一








交于
的边



平行 在直


四边形

厂 写
,

,

广 东 省 高 中数 学 竞 赛
、 、

线


上 设

实数 证
一 。
,



满足




求证 平行 四 边 形
不大于 △
,

曰屯

的面 积


五 〔

的面 积



的一 半

祖 冲之 杯 初 中 数 学 竞赛 扩
,

沈 阳 市 初 中数 学竞 赛

求 满 足方 程 护

的所 有 整 数

中等 数 学

因此

,



,

,






?

尸乙


?

印少
?

下 面证 明 由余 弦 定 理 得

不,
,





杏 气
丫 代二岁 气犷一一一七之
,






二二 二 二

?

月 二二二 二

人 〔气 曰

毛 刀
之 一丁

口曰








七 一

钻 刁 一 丁一气二 二下



匕…



一 万 又 下二万









拜乃















乙 艺
,












厂〔




故匕





。八 。












、“ “









尤〔





证 明 线 段 比例 式 或 等 积 式


一 十


一 一




例 的边 土
,

为。 上一点
, ,

匕 艺







内 接 四 边 形 月刀


,
















土 〔 刃
尸尺



八 寸记 土


?


叼片



求 证 月刊
讯理




匕 艺 设




匕 匕
,





证 明 设匕

乙 月切 服 月匕 中



,


是 △






,


,


匕 尸八






点 求证

在 △尸叼

不万 二

刀以 和 △了
,

侣 艺了

艺尸



中至少 有 一个 不 大

厂」 城







,

力义


,



型 脚
同理

八 理
,

卫 幽旦 亘 夕


证 明 设 匕 尸八召
刀 艺万

召 匕尸
,
、 、




了 尸
,

到 八召 召
,


今的


距离 分 别 为

几工气二 尺


弘 龙么 了 七硬







分别表示


故 尸

爪理

办 匕 〔气



艺八









,

证明不等关 系
、 月 勺 ‘

“ 二

,

一 一



,

月二 代


,



,



,

中 角
,

,




,



且 与直径
?



交成 的半 径 为
,




求 证 汉叭




?




。二

全 国 高 中联 赛
、 、



在 「 司 内的凸性及
,

的单

证明 连 结 〔 叭


则艺




调不减性 有 矛 。 才夕







,


,









,

























?



年第





、 “




上塑匕 二卫丝上 色卫 止 二 丝

边 形 求证 其 面 积

丫五 刃 获

,

证明




匕 少






,






?

,




,



,

扩 故







因此



?

中至 少 有 一 个 不 大
贝”? 毛


一 不妨设







?








一 一


若 例





,

则 月 了均小于
中 匕
,










不 一一二一下气二二 一 乙 十 乙



一 一 。 ‘十 冷 。

在 △


求证

丫 占














镇 尺

为 △ 月
一 一

外 接 圆半 径



占 了 乙 了 乡 女 动
,



证明

’二





了 轰 厄 硬 〔二五 开 石

,
,




,

,






,

,



乙戈
,

十 口‘




,



资 】以










,

,

毛 呸 刀
?






倪以 十







几而







一 。



,






百 了 月







尺“

尺“




中 艺

, ,

的平 分 交外接


必 幸 邪

线交
圆于
汪二 土



土 八召 于 于















四边形

奥二




? ‘



?






显然




证明 连结


闪 二
,

。、

驾 于瓮

,





垂 直平 分


,


四 边 形产仆






?









因此


,







泛万

舀 几 石入万
匕且

四 点共 圆且

为 直径






,







? ’
?

丑八


,


,





,

四边

因此 丫



‘ ‘ ’







‘艺
,










,

匕刀 二 厂八
△月

证 明 有 关 面 积 问题

△八 召



、 、

四边分别 为




泌 的 圆 内接 四 边



?


,

勺气 乙

, 、




也是 圆外切 四



?

’ ?



四 边 形八“



万 八 。 八七







中等 数 学






交于



,

? ? ‘


,







解 决 最 值 问题 例 直线 交
最大


由 余 弦 定理 得



,




?











,

使 尸八



十 圣



一粤 一粤
一州


’,


’,



?








十 ‘

分析 如 图
尸八 二


,


,

…十

,



尸旧




,

,






?

二 十

叭 尸




?






迎 黝



,
?

?












为定值 则



?

夕为 定 值
最大 土
,




,



…当



时 土

,


,

十 孟
,
,



叭三


这时
延长

,



夕作

,


,





不二

儿口





几气




任叭



,








夕 艺 艺


’ ? ’






,
,


,




因 此 八尸 应 为 △

的外 角平分







?

二 十





,

线 作法 略



,

,

证 明 定 值 问题 例

,


二 勺



二 气 厂冷


,






。?

, 一

气 ’ 今
,

求证 半径为
外接 到各 顶 点

的正


边形





?



,

上 任一 点 尸
,



,

,

?



于 叭

,





,







,
,

的距 离 的 平 方 之 和 为

宜 了飞

,

二 , 二,

,石,

定值 并 求 出此 定 值
证明 不妨设 尸
上 为瓦沐认 一 点 正
,


?? ‘

竿






乙 找 ”,





边 形 的边 长 为

,

面积为



日 、 俨 了 少






力口

’ ,



,

““‘






军万

一 ,



粤 时 塑
定值

十 下



?

矛 、 、







人以

年第





与某 顶 点 重 合 时 结 论 同样 成 立
,

,

?

,

。。



为偶 数 时 可 用 勾 股 定 理 解 之

?



,

证 明 其 它 有 关 问题 例
△八 召









设 将 △
,



的最小 内角 点 的外



接圆分成 两 段 弧 设
是 落在 不 含 上且 不 等 于 的那 段 弧



,



尺、


,

连结





则匕
在 △





,


交于

的 一 个点 线段
于 和





了 召







,



的 中垂 线 分 别 交 线 段





点 △
,

为 △ 月



的边

刀 上任


线




求证

了 拐

分 别 为 △


△拐



几了

, 的 内切 圆 半 径 尸 尸 沪 分 别 为 这 三


证明 艺






个 三 角 形 的 旁 切 圆半 径 在 匕 在线段
、 叭 华

。 内部



的 中垂 线 上
,

,

求证 全 全
尸, 尸



一 尸

是 △八 日
,

的最 小 内角 且




届 明

匕 讥





珊八 即
,

在 艺 八召


的 内部


匕 匕





同理


在匕
、 、

的 内部

下 面 用

分 别表 示 艺 扒
的 中垂 线 上 则
,








分别为



〔 洪











、 入





在 线段 艺
一 一

在 △ 尸。 中



,

二 义几撇 材





,







一 一

























丁十 万




召、







在 △刀
’ ‘



,



,

忿

甭之 石





,



利 用 旁 切 圆 及 内外 角 平 分 线 互 相 垂 直 的 性 质 同理 可 得
,







℃一
五 了 硬


月 只




























?





剖 欲







?


?

石入 舀互

”,

。 、 七 ,

,



。二
”, “

蜡 砖 号 引
?

。 馆











, 丁

、七



?‘

舌 号 粤



中 等 数 学
?

同理

,




一 、









法用
,



表示 五
△ 一

洁了









,











‘ 从 艺
?

?








同理


,




厂 」



























一‘








?



,

相减

枷 咨青
内一 点
,

在 四 边形 八 又
,


,

,





交于

,





八召

月义



〔 二 刃






求 四边形

又 〕的 面 积

练 习 题


提 示 在 △ 扒月 △
尸八 二 召



△〔 注 工



△仪 必 、 中

为 曰八


又】

毛 匕矛 召 求

分 别用 余 弦定 理 和 面 积 公式
切正 △

,



证 了月沪

艺厂 证 乃气

的边
,











提 示 在 已 知 的 四 个 三 角 形 中用 正 弦 定 理 列 出
今 式 子 再把 了 今 月
,

的半 径 为
尸日




为。

上任 一 点 求





月 消 去后 用 三 角公式处

犯 为定值
叭 、二 公
,



提 示 设 艺
内接 四 边

,



祖月



卜 几飞 理
,




,



飞 乃了二


,

于 了二 叨 叭








汪理





月 卫 〕两 对 边
弓延 长

瓜气



工 △尸八 气

△尸
,

中用 余 弦定 理 求 出



尹二


交于 尸

,



口 〕的 中点 口予才 交 八刀



△尸召
、 、


, ,

再求出 恤 △ 。尸



、 ”,

,

,

然 后 在 △〔 护




△ 。尸

中用 余 弦

求证


定 理求 出
了气 今




气 石


过匕


内一 定 点 尸 作 直 线 交 两 边 于

,

使

丽 丽



提 示 在 △尸
,



性 △老 爪了 △了 毛






儿走

最大一
八口

用 正 弦定 理 列 出式 子 消 去



后 用 割线定 理 即

提示 作






,



八口


,

△八 开

〕、

得 在 △八召


护 △ 〔 而积分 别为

,

△ 仪


而 积 为


,

中 艺


,



求证



告 一 合
提 示


, 于下

、 女引







,








?

扁 汾 合


一 万下妥丫 一一一下一 不

月之


,



而 万不 二



不 下下 亏

八 川

川户

只 要 证
,

合 舍
召二

?


,


喜 李


,

所 以 当 乃今上 叉二时 取 等号 所 求 值 最 大
, ,

为 △八召


的 内心
切 。
,

,


,,

叉 了

,

尼土

,

仆甘

戈、





注意



八召



了二
,

,


,

,



,

?

二 合

求证
,

’十 。




尸 鱼 所以
,

在梯 形

于 矛
,



了八
, ,



,

延长

提 示 汪二
四边形

玉气

?

,

使


刀尸 二
〕于





延 长 。了到
,

使

召石 二 八口




交 乃召



刃 四 边 形 八工 丫

四边形
四边
?

告二
,




同理 求 出

四边

义了 叼

的面 积分别 为



,

求证


,

它 们之 和 为



二 提示 设 川 〕



,




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