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一元二次不等式及其解法(1)


§3.2 一元二次不等式及其解法(第 1 课时)
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【使用说明与学法指导】 1. 在自习或自主时间通过阅读课本 76 页-78 页用 20 分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自 习或自主时间完成。 2. 重点预习:一元二次不等式的解法 3. 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问处” 。 【学习目标】 1.理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的解法。 2.通过观察具体的二次函数图像及与其相应的一元二次方程根的关系,推广得出解一般的一元二次不等 式的方法。 3.围绕一元二次不等式的解法展开,理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系, 培养数形结合的能力和抽象概括能力,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【学习重点】一元二次不等式的解法 【学习难点】一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系 【知识链接】 1. 已知一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ? (1)该一元二次方程的根的判别式 = (2)用根的判别式判别一元二次方程根的情况: ? ? 0 时, ? ? 0 时 ? ? 0 时
2

2. 二次函数 y ?

ax 2 ? bx ? c(a ? 0),

(1) 当 a ? 0 时,开口,当 a ? 0 时,开口, (2) 二次函数 y ?

ax 2 ? bx ? c(a ? 0),它与 x 轴的交点个数怎样判断?

【预习案】
预习一:教材 P76 互联网的收费问题,公司 B 在第一小时,第二小时, ? ? 收取的费用分别为, , , ? ? 它们可构成一个数列,一次上网 x 小时,公司 B 收取的费用就是这个数列前 项的。选择公式 ,可求出一次上网 x 小时,公司 B 收取的费用为 。 预习二:一元二次不等式的定义: 。 一元二次不等式的一般形式: 或(其中 a ,b ,c ,为常数且 a ? 0 ) 预习三:1.求出方程 x
2

2 ? 5x ? 0 两个根, ;画出函数 y ? x ? 5x 的图像

1

2.你能说出二次函数 y ?

x 2 ? 5x 的零点与相应方程 x 2 ? 5x ? 0 的根之间是什么关系吗?
【预习自测】

1.求出方程 x 2 ? 4 ? 0 的两个根, ;画出函数 y ?

x 2 ? 4 的图像

2.二次函数 y ?

x 2 ? 4 的零点与相应方程 x 2 ? 4 ? 0 的根之间是什么关系?方程 x 2 ? 4 ? 0
x 2 ? 4 的图像有什么关系?

的根与二次函数 y ?

【探究案】
2 探究一:一元二次不等式 x ? 5x ? 0 的解集

(1)二次方程 2 ? 5 = 0的根与二次函数 y ? x ? 5x 的零点的关系:
2

二次方程 2 ? 5 = 0有两个实数根: 于是,我们得到: (2)观察图象,获得解集

, ;二次函数 y ? x ? 5x 有两个零点: , 。
2

观察你所画出的二次函数 y ? x ? 5x 的图象,可知:
2
2 2 当 x 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x ? 5x ? 0 ;所以不等式 x ? 5x ? 0 的解集为:

2 2 当 x 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5x ? 0 ;所以不等式 x ? 5x ? 0 的解集为:

2 (3)总结提升:上面求一元二次不等式 x ? 5x ? 0 的解集的方法可概括为:

。 探究二:求一般的一元二次不等式的解集:

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

2

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
典型例题:

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

例:求下列不等式的解集.
2 (1) x2 ? 2 x ? 3 ? 0 (2) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 (3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0

总结提升:解一元二次不等式的步骤: 。 练习:求下列不等式的解集:
2 2 (1) 4 x 2 ? 4 x ? 15 (2) ? 2x ? x ? 5 ? 0 (3) ? x ? 4x ? 4 ? 0

3

(4) x

2

?x ?

1 ? 0 (5) ? 2x 2 ? x ? ?3 4

【课堂小结】 我的疑问: (至少提出一个有价值的问题)

今天我学会了什么?

【训练案】 (时间:25 分钟分值:30 分成绩:)
1.求下列不等式的解集:(15 分) (1) x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ;(2) 13 ? 4x 2 ? 0 .(3) x(9 ? x ) ? 0

2. 在下列不等式中,解集是 ? 的是().(5 分) A. 2 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 B. x2 ? 4 x ? 4 ? 0 C. 4 ? 4 x ? x2 ? 0 3.求下列函数的定义域:(10 分) (1) y ?

D. ?2 ? 3x ? 2 x 2 ? 0

x 2 ? 4x ? 9 (2) y ?

?2x2 ? 12x ? 18

4

5


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