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江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校2014-2015学年高一下学期第二次质检数学试卷 Word版含解析


江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校 2014-2015 学年高一下学期 第二次质检数学试卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1.不等式 的解集是.

2.已知直线 l:3x+4y﹣12=0,则过点(﹣1,3)且与直线 l 的斜率相同的直线方程为.

3.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值是.

4.如图,给出一个算法的伪代码,则 f(﹣2)+f(3)=.

5.如图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是.

6.若等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,且 a2+a10=4,则 S11=. 7.已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 的最小值为.

8.在△ ABC 中,已知 b=6,c=5

,A=30°,则 a=.

9.若{an}是等比数列,a4?a5=﹣27,a3+a6=26,且公比 q 为整数,则 q=. 10.若对任意 x>0, ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是.

11.已知关于 x 的不等式 2ax ﹣2x+3<0 的解集为(2,b) ,则 3x +2x+2a<0 的解集为. 12.直线过点(﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,则这条直线方程为. 13.数列{an}的通项 ,第 2 项是最小项,则 的取值范围是.

2

2

14.已知 x,y 为正数,则

的最大值为.

二.解答题 (本大题共 6 小题, 共 90 分. 请在答题卡指定区域作答, 解题时应写出文字说明、 解题步骤或证明过程.) 15.已知三角形的顶点为 A(2,4) ,B(1,﹣2) ,C(﹣2,3) ,求 BC 边上的高 AD 所在 直线的方程. 16.如图,△ ABC 中,D 在边 BC 上,BD=2,CD=1,AD= (1)AB 的长; (2)AC 的长; (3)△ ABC 的面积. ,B=60°,求:

17.已知函数 f(x)=ax +bx+1 (1)若 f(x)>0 的解集是{x|x<3 或 x>4},求实数 a,b 的值. (2)若 f(﹣1)=1 且 f(x)<2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2

18.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 (1)求{an}的通项公式 an; (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.





19.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维 修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m) ,修建此 矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元) . (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x ﹣anx﹣an=0 有一个根为 Sn﹣1,n=1,2,3,…. (1)证明:数列 是等差数列;
2

2

(2)设方程 x ﹣anx﹣an=0 的另一个根为 xn,数列

2

的前 n 项和为 Tn,求 2

2013

(2

﹣T2013)的值; (3)是否存在不同的正整数 p,q,使得 S1,Sp,Sq 成等比数列,若存在,求出满足条件的 p,q,若不存在,请说明理由.

江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校 2014-2015 学年高 一下学期第二次质检数学试卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1.不等式 的解集是(﹣3,1) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由不等式 式的解集. 解答: 解:由不等式 可得 (x+3) (x﹣1)<0,解得﹣3<x<1, 可得 (x+3) (x﹣1)<0,解此一元二次不等式,求得原不等

故答案为 (﹣3,1) . 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.

2.已知直线 l:3x+4y﹣12=0,则过点(﹣1,3)且与直线 l 的斜率相同的直线方程为 3x+4y ﹣9=0. 考点: 直线的点斜式方程;直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 利用已知条件求出所求直线的斜率,利用点斜式方程求出直线方程即可. 解答: 解:直线 l:3x+4y﹣12=0 的斜率为:﹣ ,过点(﹣1,3)且斜率﹣ 的直线方程 为:y﹣3=﹣ (x+1) , 即 3x+4y﹣9=0, 故答案为:3x+4y﹣9=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,点斜式方程的求法,是基础题.

3.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值是 3.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域, 得如图的△ ABC 及其内部, 再将目标函数 z=2x ﹣y 对应的直线进行平移,可得当 x=2 且 y=1 时,z=2x+y 取得最大值 3. 解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(0,2) ,B(0,5) ,C(2,1) 设 z=F(x,y)=2x﹣y,将直线 l:z=2x﹣y 进行平移, 当 l 经过点 C 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(2,1)=2×2﹣1=3 故答案为:3

点评: 本题给出二元一次不等式组, 求目标函数 z=2x﹣y 的最大值, 着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.

4.如图,给出一个算法的伪代码,则 f(﹣2)+f(3)=﹣1.

考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 f(x)= 值,可得答案. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 f(x)= ∴f(﹣2)=﹣2×4﹣1=﹣9; f(3)=2 =8; ∴f(﹣2)+f(3)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了选择结构的程序语句,根据语句判断算法的功能是关键. 5.如图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是 26.
3

的值,分别求得 f(﹣2)和 f(3)的

的值,

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件 a<10,跳出循环,计算输出 a 的 值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 a=1+1=2; 2 第二次循环 a=2 +1=5; 2 第三次循环 a=5 +1=26, 不满足条件 a<10,跳出循环,输出 a=26. 故答案为:26. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图, 根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问 题的常用方法. 6.若等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,且 a2+a10=4,则 S11=22. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式可得 S11 = (a2+a10) ,运算求得结果. 解答: 解:∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a2+a10=4, ∴S11 = (a1+a11)= (a2+a10)=22, (a1+a11)=

故答案为:22. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质, 等差数列的前 n 项和公式的应用, 属于中档 题.

7.已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则

的最小值为



考点: 专题: 分析: 解答: ∴ =

基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用乘“1”法,再使用基本不等式即可求出. 解:∵正数 x,y 满足 x+2y=1, =3 , . = 时取等号. ,当且仅当 ,

x+2y=1,x>0,y>0 即 因此 的最小值为

故答案为 . 点评: 熟练掌握变形应用基本不等式的性质是解题的关键. 8.在△ ABC 中,已知 b=6,c=5 ,A=30°,则 a= .

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA, 将题中数据代入算出 a =21, 再开方即可得到边 a 的大小. 解答: 解:∵在△ ABC 中, ∴由余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA=6 +(5
2 2 2 2 2 2 2 2


2

) ﹣2×6×5

×

=21

因此,a= 故答案为: 点评: 本题给出三角形两边和其夹角的大小, 求第三边之长, 着重考查了利用余弦定理解 三角形的知识,属于基础题. 9.若{an}是等比数列,a4?a5=﹣27,a3+a6=26,且公比 q 为整数,则 q=﹣3. 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可得 a3?a6=a4?a5=﹣27, 进而可得 a3, a6 是方程 x ﹣26x﹣27=0 的实根, 解之讨论, 满足公比 q 为整数的即可. 解答: 解:由等比数列的性质可得 a3?a6=a4?a5=﹣27, 2 又因为 a3+a6=26,所以 a3,a6 是方程 x ﹣26x﹣27=0 的实根, 解之可得两实根为﹣1,27, 当 时,q =
3 2

=﹣27,解之可得 q=﹣3,为整数,满足题意,



时,q =

3

=

,解之可得 q=

,不合题意.

故答案为:﹣3 点评: 本题考查等比数列的通项公式,涉及一元二次方程根的求解,属基础题. 10.若对任意 x>0, ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 a≥ .

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据 x+ ≥2 代入 解答: 解:∵x>0, ∴x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号) , ∴ = ≤ = ,即 的最大值为 , 中求得 的最大值为 进而 a 的范围可得.

故答案为:a≥ 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题. 11.已知关于 x 的不等式 2ax ﹣2x+3<0 的解集为(2,b) ,则 3x +2x+2a<0 的解集为{x| ﹣ <x<﹣ }.
2 2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 依题意, 由 2 是方程 2ax ﹣2x+3=0 的根可求得 a, 从而可求 3x +2x+2a<0 的解集. 2 解答: 解:∵关于 x 的不等式 2ax ﹣2x+3<0 的解集为(2,b) , 2 ∴2 是方程 2ax ﹣2x+3=0 的根, ∴8a﹣4+3=0, ∴a= . ∴3x +2x+2× <0?12x +8x+1<0, 解得:﹣ <x<﹣ . ∴所求不等式的解集为{x|﹣ <x<﹣ }. 故答案为:{x|﹣ <x<﹣ }. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,求得 a 的值是关键,属于基础题. 12.直线过点(﹣3,﹣2)且在两坐标轴上的截距相等,则这条直线方程为 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 考点: 直线的一般式方程;直线的截距式方程. 分析: 当直线过原点时,求出斜率,斜截式写出直线方程,并化为一般式.当直线不过原 点时,设直线的方程为 x+y+m=0,把(﹣3,﹣2)代入直线的方程,求出 m 值,可得直线 方程. 解答: 解:当直线过原点时,斜率 k= = ,故直线的方程为 y= x 即 2x﹣3y=0.
2 2

当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y+m=0,把(﹣3,﹣2)代入直线的方程得 m=5, 故求得的直线方程为 x+y+5=0, 综上,满足条件的直线方程为 2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 故答案为:2x﹣3y=0 或 x+y+5=0. 点评: 本题考查求直线方程的方法, 待定系数法求直线的方程是一种常用的方法, 体现了 分类讨论的数学思想. ,第 2 项是最小项,则 的取值范围是[2,6].

13.数列{an}的通项

考点: 基本不等式;数列的函数特性. 专题: 导数的概念及应用;不等式的解法及应用. 分析: 利用导数判断函数 f(x)=cx 得出. 解答: 解:∵c>0,d>0,令 f(x)=cx (x>0) ,则 (x>0)的单调性,再利用已知条件及不等式即可

= ∴ 单调递减. ∵数列{an}的通项 在 n≥2 时单调递增.


, 时,f (x)≤0,函数 f(x)


,f (x)≥0,函数 f(x)单调递增;当

, 第 2 项是最小项, ∴





,即

,解得



则 的取值范围是[2,6]. 故答案为[2,6]. 点评: 熟练掌握利用导数判断函数 f(x)=cx 的关键. (x>0)的单调性、不等式的性质设解题

14.已知 x,y 为正数,则

的最大值为 .

考点: 基本不等式. 专题: 计算题.

分析: 令 2x+y=a,x+2y=b,则

且 a>0,b>0,从而有

=

=

,利用基本不等式可求

解答: 解:令 2x+y=a,x+2y=b,则

且 a>0,b>0

∴ 当且仅当 故答案为:

=

= 即 a=b 时取等号即最大值为

点评: 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用, 解题的关键是利用换元法配凑基 本不等式的应用条件 二.解答题 (本大题共 6 小题, 共 90 分. 请在答题卡指定区域作答, 解题时应写出文字说明、 解题步骤或证明过程.) 15.已知三角形的顶点为 A(2,4) ,B(1,﹣2) ,C(﹣2,3) ,求 BC 边上的高 AD 所在 直线的方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出 BC 的斜率,可得 BC 边上的高的斜率,利用点斜式,可求 BC 边上的高所在 直线的方程. 解答: 解:∵B(1,﹣2) 、C(﹣2,3) , ∴BC 的斜率是 ∴BC 边上的高的斜率为 , 又∵BC 边上的高过 A(2,4)点, ∴BC 边上的高所在直线的方程为 y﹣4= (x﹣2) , 即 3x﹣5y+14=0. 点评: 本题考查直线方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 16.如图,△ ABC 中,D 在边 BC 上,BD=2,CD=1,AD= (1)AB 的长; (2)AC 的长; (3)△ ABC 的面积. ,B=60°,求: =﹣ ,

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理和已知条件求得 AB. (2)由余弦定理公式求得 AC. (3)根据三角形面积公式求得三角形 ABC 的面积.

解答: 解: (1)在△ ABD 中,设 AB=x, 由余弦定理得 AD =AB +BD =2AB?BD?cosB, 2 2 2 即( ) =x +2 ﹣4xcos60°, 解得 x=1, ∴AB=1. 2 2 2 (2)在△ ABC 中,由余弦定理得 AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB, 即 AC= = . = .
2 2 2

(3)S△ ABC= AB?BC?sinB= ×1×3×

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用, 三角形面积公式的应用. 考查了学生对基础知识 的记忆. 17.已知函数 f(x)=ax +bx+1 (1)若 f(x)>0 的解集是{x|x<3 或 x>4},求实数 a,b 的值. (2)若 f(﹣1)=1 且 f(x)<2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: (1)由题意得:a>0 且 3,4 是方程 ax +bx+1=0 的两个根.利用根与系数的关系 解出即可. 2 (2)由 f(﹣1)=1,解得 a=b.而 f(x)<2 恒成立,即:ax +bx﹣1<0 恒成立.所以 a 2 <0 且△ =b +4a<0,解出即可. 2 解答: 解 (1)由题意得:a>0 且 3,4 是方程 ax +bx+1=0 的两个根.
2

所以

,解得





(2)由 f(﹣1)=1,解得 a=b, 2 而 f(x)<2 恒成立,即:ax +bx﹣1<0 恒成立. 当 a=0 时,显然恒成立. 2 2 当 a≠0 时,必须 a<0 且△ =b +4a<0,即 a +4a<0,解得﹣4<a<0, 故所求的 a 的取值范围是(﹣4,0]. 点评: 熟练掌握一元二次不等式的解法与判别式的关系、根与系数的关系是解题的关键.

18.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 (1)求{an}的通项公式 an; (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.





考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1) 设{an}的首项为 a1, 公比为 q, 分 q=1 与 q≠1 讨论, 列方程组计算即可求得 q, 从而可求{an}的通项公式 an;

(2)由 an=2 ,bn=log2an,可求得 bn=n﹣3,从而可求得 b1,利用等差数列的前 n 项和公 式即可求得 Tn. 解答: 解: (1)设{an}的首项为 a1,公比为 q 当 q=1 时,S3=3a1,S6=6a1,则 S6=2S3,不合题意; …

n﹣3

当 q≠1 时,

,两式相除得 1+q =9,

3

∴q=2, ∴ ∴an=a1q …
n﹣1

= ×2

n﹣1

=2

n﹣3



(2)bn=log2an=log22 ∴b1=﹣2, ∴Tn=

n﹣3

=n﹣3,…11 分

=

=

…14 分

点评: 本题考查数列的求和, 突出考查等比数列与等差数列的通项公式及求和公式, 属于 中档题. 19.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维 修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m) ,修建此 矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元) . (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 考点: 函数模型的选择与应用;函数的值域;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;应用题. 2 分析: (I)设矩形的另一边长为 am,则根据围建的矩形场地的面积为 360m ,易得 ,此时再根据旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,我们即可得到修 建围墙的总费用 y 表示成 x 的函数的解析式; (II)根据(I)中所得函数的解析式,利用基本不等式,我们易求出修建此矩形场地围墙的 总费用最小值,及相应的 x 值. 解答: 解: (Ⅰ)设矩形的另一边长为 am, 则 y=45x+180(x﹣2)+180?2a=225x+360a﹣360. 由已知 ax=360,得 所以 , .
2

(II)因为 x>0,所以 所以 ,当且仅当

, 时,等号成立.

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.

点评: 函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注 意实际情况对自变量 x 取值范围的限制, 解模时也要实际问题实际考虑. 将实际的最大 (小) 化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一. 20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x ﹣anx﹣an=0 有一个根为 Sn﹣1,n=1,2,3,…. (1)证明:数列 是等差数列;
2

(2)设方程 x ﹣anx﹣an=0 的另一个根为 xn,数列

2

的前 n 项和为 Tn,求 2

2013

(2

﹣T2013)的值; (3)是否存在不同的正整数 p,q,使得 S1,Sp,Sq 成等比数列,若存在,求出满足条件的 p,q,若不存在,请说明理由. 考点: 等差数列与等比数列的综合;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 2 分析: (1)由 Sn﹣1 是方程 x ﹣anx﹣an=0 的根,代入可得 sn 与 an 的递推关系,令 n=1 可求 a1,n≥2,利用 an=Sn﹣Sn﹣1,化简得 SnSn﹣1﹣2Sn+1=0,构造即可证明 (2)由(1)可求 ,带入方程可求 an,进而可求 xn,代入利用错位相减可求 Tn,进

而可求 (3)由(1)可求 Sn,假设存在不同的正整数 p,q 使得 S1,Sp,Sq 成等比数列,结合等比 数列的性质代入可求满足条件的 p,q 2 解答: 解: (1)证明∵Sn﹣1 是方程 x ﹣anx﹣an=0 的根,n=1,2,3,… ∴ 当 n=1 时,a1=S1, ∴ 解得 , ,





当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, ∴ 化简得 SnSn﹣1﹣2Sn+1=0, ∴ ,







,又



∴数列

是以﹣2 为首项,﹣1 为公差的等差数列



(2)由(1)得,

∴ ∴ ∴原方程为 ∴ ∴ ,

,带入方程得, , ,





∴ ① ①﹣②得 ②

= ∴2
2013

= (2﹣T2013)=2015…





(3)由(1)可得 Sn= 假设存在不同的正整数 p,q 使得 S1,Sp,Sq 成等比数列

则 即 ∵ ∴ 化简可得,p ﹣2p﹣1<0 ∴ * ∵p∈N 且 p>1 ∴p=2 ∴ ∴q=8 ∴存在不同的正整数 p=2,q=8 使得 S1,Sp,Sq 成等比数列(16 分) 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的错位相减求和 方法的应用,等比数列的性质的综合应用.
2


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