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27届决赛试题


第 27 届北京市力学竞赛决赛试题
一、填空题(6 小题、每小题 8 分,共 48 分) 1. 如图 1 所示,铁球上对称固定两根同样的细线 A、B,A 的一端固定于桌面,缓慢竖直提起 B 线的另一端,则先断开的 细 线 是 , 理 由 是 。快速竖直提起 B 线的另一端,当 A,B 线都绷直的瞬间,则先断的细线 是 ,理由是 。
B

A

图1

2. 运动员推出铅球,不计空气阻力,当铅球运动速度为 vm/s,方向与水平成 ? =30 ° 时, kg , 理 由 铅 球 动 能 的 变 化 率 为 k=-0.6J/s , 则 铅 球 的 质 量 m= 是 。 3. 水平地面上放置一箱子,甲同学以水平拉力 F 拉箱子匀速前进,速度为 v,如果把箱 子和地面看成一个系统,则人对系统作用力的合力为 ,理由 是 。人对系统做功的总功率为 , 理由是 。 4. 如图 2 所示,系住球 m 的细线长 L,线的另一端固定于 O 点。把球拉至细线水平时释 放,线竖直时距右端竖直墙的距离为 L/2,球将与墙发生完全弹性碰撞,墙壁是光滑的,则碰 撞后球距 O 点最近距离为 。
m A L v B

图 3 图2

C

5. 如图 3 所示,长为 L 的轻杆两端连接完全相同的小球 A 和 B,小球位于光滑水平桌面 上。另一个完全相同的小球 C,沿桌面以垂直于杆的速度 v 与球 B 发生完全弹性正碰,则碰 后 瞬 间 三 球 的 速 度 是 vA= , vB= , vC= 。理由 是 。 6. 一只质量为 m 的大鸟在高空飞翔,两翅翼展开的总长度为 L,面积为 S,大鸟保持水 平飞行状态,空气密度为 ? ,为估算大鸟翅翼扑动的频率 f(单位时间内扑动的次数) ,我们 建立的方程是 ,解得 f= 。

二、计算题(共 102 分) 7. (16 分)两百多年前,法国科学家拉普拉斯语言:有一种天体,由于引力作用很强,
1

其上的物体(包括光线)都不能离开;我们看不到这样的天体。现在把这样的天体命名为“黑 洞” 。地球半径 R ? 6.4 ?103 km ,设想地球质量不变,在引力作用下塌缩成一小球,引力将 增加很大。试根据万有引力定律和你具有的知识,按经典力学规律,估算物体脱离地球的速 度是第二宇宙速度 2 倍时,地球的半径 rs?(提示:物体的引力势能公式 EP ? ?G 是天体质量,r 是物体到天体中心的距离)

Mm ,M r

8. (16 分)质量为 m 的汽车在水平路面上行驶,前后轮相距 L,与地面的摩擦因素为μ 。 汽车质心离地面高度为 h,与前轮轴水平距离为 l( l ? L / 2 ) 。求当汽车加速度 aC 为何值时 前后车轮对地面的压力相等。

9.(20 分)如图所示,由一光滑细管构成一半径为 R 的圆环,放在水平光滑桌面上。管 内 A1、A2 处有两个质量为 m 的小球,圆形管道的质量是 γm,开始时管道静止,两小球向右以 等大的速度开始运动,细管上 P1、P2 处有两个缺口(φ 已知),小球自小孔中穿出后,将在 平面上某处相遇,求:
2

(1)相遇时两球与管道中心 O 的距离 l; (2)从小球穿出缺口直到小球相遇的过程中,管道在平面上移动的路程 s。
A1 v R P1

φ

Oφ P2 A2 v

10. (25 分)一块质量为 M 的物体静止在光滑水平面上,物体内有一如图 5 所示的光滑 管道,l、α 已知,有一质量为 m 的滑块从左端口滑下,求 m 自滑下到返回左端口的总时间。 (可取 α=60°)
m L

α

α

11. (25 份)如图所示,一块长为 L ? 1.00m 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端,弹簧 的下端与地面固定连接。 平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间 (图中未画出竖直导轨) , 从而只能竖直方向运动。 平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 T ? 2.00s 。一小球 B 放在光 滑的水平台面上,台面的右侧边缘正好在平板 P 端的正上方,到 P 端的距离为 h ? 9.80m 。 平板静止在其平衡位置。水球 B 与平板 PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度 v0 ,使
3

它从水平台面抛出。已知小球 B 与平板发生弹性碰撞,碰撞时间极短,且碰撞过程中重力可 以忽略不计。要使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞, v0 的值应在什么范围 内?取 g ? 9.8m/s2 ( 取 g=9.8m/s2 , 当 a ? 0 , b ? 0 时 , 是 超 越 方 程

a x2 ? b c o s? ( x ?

?
2

) 一般没有解析解,只有数值解,数值

B h

v0

解与 a、b 的关系如表 1 所示)

P

Q

a b 4.2 4.41 5

4.8 0.766 0.7739 0.7934

4.90 0.7926 0.771 0.7903

6 0.7273 0.7361 0.7579

4


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