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高中数学必修2第二章测试题


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题 1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? ,有如下的 两个命题:①若??∥?,则 l∥m;②若 l⊥m,则??⊥?.那么( A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题 ).

B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 ).

>
2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; 其中真命题的序号是( A.①② ). B.③④ C.①④

(第 2 题)

②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则 m⊥n; ④m∥?,n⊥??且??⊥?,则 m∥n.

D.②③

4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是( . A.1 ). B.2 ). C.3 D.4

5.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个点不在平面???内,则 l∥? ②若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行
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④若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都没有公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ). D.只有两个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体积最 大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A.90° B.60° ). ). C.45° D.30°

8.下列说法中不正确的是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条 直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 ). B.3 C.2 D.1 ).

10. 异面直线 a, 所成的角 60° 直线 a⊥c, b , 则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] 二、填空题 B.[60°,90°] C.[30°,60°]

D.[30°,120°]

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分 别为 S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为 .

12.P 是△ ABC 所在平面???外一点,过 P 作 PO⊥平面??,垂足是 O,连 PA,PB,PC. (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的 (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 心; 心; 心;

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(4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边 的中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的中点,将 △ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角 的度数为 .

点; 线上.

J

(第 13 题)

14.直线 l 与平面 ??所成角为 30°,l∩?=A,直线 m∈?,则 m 与 l 所成角的取值范围 是 . 15. 棱长为 1 的正四面体内有一点 P, 由点 P 向各面引垂线, 垂线段长度分别为 d1, 2, d d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为 .

16.直二面角??-l-??的棱上有一点 A,在平面??,??内各有一条射线 AB,AC 与 l 成 45°,AB ? ?,AC ? ?,则∠BAC= 三、解答题 17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A -BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?,猜想 ??为何值 时,四面体 A-BCD 的体积最大.(不要求证明) .

(第 17 题)

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB



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2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点,连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;? (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)
1 2



(第 19 题)

第 4 页 共 9 页

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱 柱的体积.(提示:在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

(第 20 题)

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第二章

点、直线、平面之间的位置关系
参考答案

A组 一、选择题 1.D 解析:命题②有反例,如图中平面??∩平面??=直线 n, l ? ?,m ? ?, 且 l∥n,m⊥n,则 m⊥l,显然平面???不垂直平面 ?,??????????????????(第 1 题) 故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D 解析:异面直线 AD 与 CB1 角为 45°. 3.D 解析:在①、④的条件下,m,n 的位置关系不确定. 4.D 解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案 D. 5.B 解析:学会用长方体模型分析问题,A1A 有无数点在平 面 ABCD 外,但 AA1 与平面 ABCD 相交,①不正确;A1B1∥ 平面 ABCD, 显然 A1B1 不平行于 BD, ②不正确; 1B1∥AB, A A1B1∥平面 ABCD,但 AB ? 平面 ABCD 内,③不正确;l 与 平面 α 平行,则 l 与???无公共点,l 与平面???内的所有直线 都没有公共点,④正确,应选 B. 6.B 解析:设平面 ??过 l1,且 l2∥?,则 l1 上一定点 P 与 l2 确定一平面 ??,??与 ??的交 线 l3∥l2,且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条,即 l3 有唯一性,所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7.C 解析:当三棱锥 D-ABC 体积最大时,平面 DAC⊥ABC,取 AC 的中点 O,则△DBO
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是等腰直角三角形,即∠DBO=45°. 8.D 解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了. 9.B 解析:因为①②④正确,故选 B. 10.A 解析:异面直线 a , b 所成的角为 60° ,直线 c ⊥ a ,过空间任一点 P,作直线 a’∥a, b’∥b, c’∥c. 若 a’,b’,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角,否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围 为(30° ,90° ],所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30° ,90° . ] 二、填空题 11.
1 3

2 S1S 2 S 3



解析:设三条侧棱长为 a,b,c. 则 ∴
1 2 1 8

ab=S1,

1 2

bc=S2,

1 2

ca=S3 三式相乘:

a2 b2 c2=S1S2S3,

∴ abc=2 2 S 1 S 2 S 3 . ∵ 三侧棱两两垂直, ∴ V= abc·
3 1 1 2



1 3

2 S1S 2 S 3



12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分. 解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心; (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点; (5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60° . 解析:将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 60°. 14.[30° ,90° ]. 解析:直线 l 与平面???所成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在???内适当旋转
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就可以得到 l⊥m,即 m 与 l 所成角的的最大值为 90°. 15.
6 3


1 3 4

解析:作等积变换: ?
3

×(d1+d2+d3+d4)= ?
3

1

3 4

·h,而 h=

6 3



16.60°或 120°. 解析:不妨固定 AB,则 AC 有两种可能. 三、解答题 17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD.
(第 17 题)

解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AOD=?,则过点 D 作 DE⊥AD,垂足为 E. ∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=
3 2

BD=2 3 ,
DE DO

在 Rt△DEO 中,sin?=



3 2


3 2

故二面角 A-BC-D 的正弦值为



(3)当 ?=90°时,四面体 ABCD 的体积最大. 18. 证明: (1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2, 1=BC=1, 为 D1C1 的中点. BB E ∴ △DD1E 为等腰直角三角形, 1ED=45°. ∠D 同理∠C1EC=45°. ? DEC ? 90 ? , DE⊥EC. ∴ 即 在长方体 ABCD- A1 B1C 1 D1 中,BC⊥平面 D1 DCC 1 ,又 DE ? 平面 D 1 DCC 1 , ∴BC⊥DE.又 EC ? BC ? C ,∴DE⊥平面 EBC.∵平面 DEB 过 DE,∴平面 DEB⊥ 平面 EBC. (2)解:如图,过 E 在平面 D1 DCC 1 中作 EO⊥DC

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于 O.在长方体 ABCD- A1 B1C 1 D1 中,∵面 ABCD⊥面 D1 DCC 1 ,∴EO⊥面 ABCD.过 O 在 平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F, 连结 EF, ∴EF⊥BD. ∠EFO 为二面角 E-DB-C 的平面角. 利 用平面几何知识可得 OF=
1 5



(第 18 题)

又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .
1+ 2 1 2

19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= ( BC + AD ) ? AB =
2

1

? 1=

3 4



∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V= ·SA·M 底面= ×1×
3 3

1

1

3 4



1 4



(2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影,? ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB= SA 2+ AB 2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB, ∴tan∠BSC=
BC SB = 2 2


2 2

(第 19 题)

即所求二面角的正切值为



20*.解:如图,设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 10,A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6,在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR,使 AA1⊥截面 PQR,AA1∥CC1,∴截面 PQR⊥侧 面 BB1C1C,过 P 作 PO⊥QR 于 O,则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 PO=6. ∴V 斜=S△PQR·AA1= = =
1 2 1 2 1 2

(第 20 题)

·QR·PO·AA1

·PO·QR·BB1 ×10×6

=30.
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