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坐标系与参数方程 配套资料教师用书 课后限时自测65


课后限时自测(六十五)
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1.一个圆的两弦相交,一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段,另 一弦被分为 3∶8,则另一弦的长为________. [解析] 设另一弦被分的两段长分别为 3k,8k(k>0),由相交弦定

理得 3k· 8k=12×18,得 k=3,所求弦长为 3k+8k=33(cm) [答案] 33 cm 2.(南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试)如图 39,AB, CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,若 PC= 9 1 , OP = 8 2,则 PD=________.

图 39 3 [解析] ∵P 为 AB 中点,∴OP⊥AB,∴PB= r2-OP2= 2 , 3 9 2 又∵PC· PD=PA· PB=PB2=4,由 PC=8,得 PD=3. 2 [答案] 3 3.(2014· 陕西高考)如图 40,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的 半圆分别交 AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF=________.

图 40 [解析] ∵B,C,F,E 四点在同一个圆上, ∴∠AEF=∠ACB,又∠A=∠A AE EF 1 EF ∴△AEF∽△ACB,∴AC=BC,即2= 6 ,EF=3. [答案] 3 4.(2014· 江南十校联考)如图 41,在圆的内接四边形 ABCD 中, ∠ABC=90° , ∠ABD=30° , ∠BDC=45° , AD=1, 则 BC=________.

图 41 [解析] 连结 AC, ∵∠ABC=90° , ∴AC 为圆的直径, 又∵∠ACD=∠ABD=30° ,∴AC=2AD=2. 又∠BAC=∠BDC=45° .故 BC= 2. [答案] 2

5.如图 42 所示,AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点, 过 P 作⊙O 的切线,切点为 C,PC=2 3,若∠CAP=30° ,则⊙O 的直径 AB 等于________.

图 42 [解析] 连结 OC,则由 PC 是切线知 OC⊥PC. 由∠CAP=30° ,知∠COP=60° , 故∠CPA=30° . ∵PC=2 3. ∴OC=2,∴AB=4. [答案] 4 6.(2014· 湖北高考)如图 43,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两 条切线,切点分别为 A,B.过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两 点,若 QC=1,CD=3,则 PB=________.

图 43 [解析] 由切割线定理得 QA2=QC· QD=4,∴QA=2 则 PB=PA=2QA=4. [答案] 4 7.(2013· 重庆高考)如图 44, 在△ABC 中, ∠ACB=90° , ∠A=60° , AB=20,过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥CD,BD 与外接 圆交于点 E,则 DE 的长为________.

图 44

[解析] 在 Rt△ACB 中,∠ACB=90° ,∠A=60° , ∴∠ABC=30° . ∵AB=20,∴AC=10,BC=10 3. ∵CD 为切线,∴∠BCD=∠A=60° . ∵∠BDC=90° , ∴BD=15,CD=5 3. 由切割线定理得 DC2=DE· DB,即(5 3)2=15DE,∴DE=5. [答案] 5 8.(2013· 广东高考)如图 45, AB 是圆 O 的直径, 点 C 在圆 O 上. 延 长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2,则 BC=________.

图 45 [解析] 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AC⊥BC. 又 BC=CD,所以△ABD 是等腰三角形, 所以 AD=AB=6,∠DAC=∠BAC. 因为 CE 切圆 O 于点 C,所以∠ECA=∠ABC.又因 为∠BAC+∠ABC=90° ,所以∠DAC+∠ECA=90° ,故 CE⊥AD. 故 CD2=DE· DA=2×6=12,所以 BC=CD=2 3. [答案] 2 3 二、解答题 9.(2014· 苏、锡、常、镇四市调研)如图 46,⊙O 为四边形 ABCD

的外接圆,且 AB=AD,E 是 CB 延长线上一点,直线 EA 与圆 O 相 切.

图 46 CD AB 求证: AB =BE. [解] 证明:连结 AC.∵EA 是圆 O 的切线,∴∠EAB=∠ACB. ∵AB=AD,∴∠ACD=∠ACB.∴∠ACD=∠EAB. ∵圆 O 是四边形 ABCD 的外接圆,∴∠D=∠ABE. ∴△CDA∽△ABE. CD DA CD AB ∴ AB = BE ,∵AB=AD,∴ AB =BE. 10.(苏州市 2014 届高三调研测试)如图 47,MN 为两圆的公共 弦,一条直线与两圆及公共弦依次交于 A,B,C,D,E,

图 47 求证:AB· CD=BC· DE. [证明] 由相交弦定理,得 AC· CD=MC· NC, BC· CE=MC· NC, ∴AC· CD=BC· CE, 即(AB+BC)· CD=BC· (CD+DE),

即 AB· CD+BC· CD=BC· CD+DC· DE. ∴AB· CD=BC· DE. [B 级 能力提升练] 一、填空题 1.如图 48 所示,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=________.

图 48 [解析] 由弦切角定理得∠PAB=∠ACB,又∵∠BAC=∠APB, AB PB ∴△PAB∽△ACB,∴BC=AB,将 PB=7,BC=5, 代入得 AB= 35. [答案] 35

2.(2014· 天津高考)如图 49,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延 长线交于点 F,在上述条件下,给出下列四个结论:

图 49

①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD· FA; ③AE· CE=BE· DE; ④AF· BD =AB· BF. 则所有正确结论的序号是___________________________. [解析] ∵∠BAD=∠FBD= BD ,∠DBC=∠DAC= CD , 又 AE 平分∠CBF ∴∠BAD=∠DAC,∴∠FBD=∠DBC,∴BD 平分∠CBF.结论 AB BD ①正确;易证△ABF∽△BDF,∴AF= BF ,∴AB· BF=AF· BD,结论 AF BF ④正确;由BF=DF,得 BF2=AF· DF,结论②正确. [答案] ①②④ 二、解答题 3.(2013· 课标全国卷Ⅰ)如图 50, 直线 AB 为圆的切线, 切点为 B, 点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆 于点 D.

图 50 (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. [解] (1)如图,连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE, 又∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,所以 BE=CE.

又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为圆的直径,∠DCE=90° . 由勾股定理可得 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 3 故 DG 是 BC 边的中垂线,所以 BG= 2 . 设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60° , 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° ,所以 CF⊥BF. 3 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 2 .


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