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第三章 数 列


2007 年高考模拟试题分章节汇编 第三章
一、选择题
1. (2007 四川省广元中学预测卷)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 2 ? 10 , S 4 ? 36 , 则过点 P(n, an ) 和 Q(n ? 2, an?2 )(n ? N ? ) 的直线的斜率是( A. 1 B. 4 C. 2 D. )





1 4

解答 B 提示:由 S 2 ? 10 及 S 4 ? 36 求出公差 d ,再求出直线 PQ 的斜率. 2.(2007 四川石室中学) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为 n

数列 ?an ? 的“理想数” ,已知数列 a1 , a2 ?a501 的“理想数”为 2008 ,则数列 2 ,

a1 , a2 ?a501 的“理想数”为(C )
A.2002 B.2004 C.2006 3.如图,在杨辉三角形中,斜线 l 的上方,从 1 开始 箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,3,3,4, 6,5,10,?,记其前 n 项和为 Sn,则 S19 等于( D ) A.129 B.172 C.228 D.283 4. (成都市 2007 届高中毕业班第二次诊断性检测题)数列{ an } 中,若 a1 ? D.2008



D )

1 1 (n≥2, n∈N),则 a2007 的值为 , an ? 2 1 ? an?1
B.

A.-1 解答 A. a1=

1 2

C.1

D.2

1 1 , a2 ? 2, a3 ? ?1, a4 ? ,?,可推测数列{an}以 3 为周期,∵2007=3×639, 2 2

∴a2007=a3=-1.也可直接推出 an+3=an. 5. ( 四 川 省 乐 山 市 高 中 2007 届 第 二 次 调 研 考 试 数 学 试 题 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足

an?2 ? an?1 ? an ,若 a1 ? 1, a5 ? 8 ,则 a3 =( A )
A.3; B.2; C.1; D.-1; 6. (南充市高 2007 届第二次高考适应性考试数学文科试题) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 3,a2 ? 6 , 且 an?2 ? an?1 ? an ,前 n 项的和为 Sn ,则 S2008 ? ( A )

A.9

B.3

C.2008

D. 以上均不对

7. (四川省眉山市高中 2007 届第二次诊断考试数学试题)数列 ?an ? : an ? n2 ? ?n(n ? N * ) 是 一个单调递增数列,则实数 ? 的取值范围是( A ) (A) ? ?3, ?? ?

? 5 ? (B) ? ? , ?? ? ? 2 ?

(C) ? ?2, ?? ?

(D) ? 0, ?? ?

8. ( 四川 省 绵阳 市 高中 2007 级第 一 次诊 断性 考 试 )已 知 数列 { an } 的 通 项公 式 为

an ?

2 n ? 4n ? 5
2

则{an}的最大项是 B.a2 C.a3 D.a4

A.a1 解答. B 因为 an ?

2 2 2 ? , 所以, 当 n ? 2 时, 分母 n ? 4n ? 5 最小, 2 n ? 4n ? 5 (n ? 2) ? 1
2

从而 an 最大为 2,选 B。 9. (四川省成都市高中 2007 级第一次诊断性考试)已知无穷等比数列

{an }的公比为( q | q |? 1, q ? R), Sn为其前n项的和(n ? N* ), 又
7 1 a1 ? a2 ? a8 ? , a1 ? a2 ? a8 ? , 则 linSn 的值是 ( ) 8 64 n ???
A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 8

D.1

答案 D. 10.(2007 年高考四川省成都名师联盟模拟试卷)已知 a, b, a ? b 成等差数列, a, b, ab 成 等比数列,且 0 ? logm (ab) ? 1 ,则 m 的取值范围是 A. m ? 1 B. 1 ? m ? 8 C. m ? 8 ( C )

D. 0 ? m ? 1或m ? 8

11. ( 四 川 省 内 江 市 2007 届 高 中 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 ) 数 列 ?an ? 中 ,

a1 ? 1,a 2 ? 2a ,n? 2 ? an ? p ? n ? N? p为常数 , ? ,则必有 S6 ? ( D )
A、 6 ? 15 p B、 12 ? 15 p C、 21 p D、 9 ? 6 p

12. (四川省成都四、七、九中高 07 级联考试卷数学)各项均不为零的等差数列{an}中,若
2 an ?1 ? an ? an ?1 ? 0(n ? 2) 则 S 2006 ? 2006 ?

A.0

B.?2006

C.2006

D.4012

2 ? 0 ? an ? 2 ? S2006 ? 2006 ? 2006 解:选 C 设公差为 d,则 an+1=an+d, an?1=an?d,∴ 2an ? an

13. (四川省成都四、七、九中高 07 级联考试卷数学){an}为等差数列,若 前 n 项和 Sn 有最小值,那么当 Sn 取得最小正值时,n= A.11 解:选 C B.17 ∵Sn 有最小值,∴d<0 则 a10>a11,又 C.19

a11 ? ?1 ,且它的 a10

D.21

a11 ? ?1 ,∴a11<0<a10 ∴a10+a11<0, a10

S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0, S19=19a10>0 又 a1>a2>?>a10>0>a11>a12>? ∴S10>S9>?>S2>S1>0, S10>S11>?>S19>0>S20>S21>? 又∵S19?S1=a2+a3+?+a19=9(a10+a11)<0 ∴S19 为最小正值

二、填空题
1. (2007 四川石室中学) 数列{an}中, a n ?

1? 2 ? 3 ??? n 1 的前 n 项和为 , bn ? n a n a n?1

_______________.答案

2n n?2

2. (成都市 2007 届高中毕业班第二次诊断性检测题文科)如图, “杨辉
三角”中从上行为表现下数共有 n(n>7,n∈N)行,设其第 k(k≤n,k∈N*)行中不是 1 的数字之和为 ak ,由a1,a2 , a3 ,? 组成的数 列{ an }的前 n 项和是 S n .现有下面四个结论:① a8 ? 245; ② an = an?1 ? 2n ;③ S3 ? 22 ;④ S n = 2
n ?1

? 2 ? 2n.

其中正确结论的序号是__________________ (写出所有你认为正确的结论的符号) 解答①④. an ? 2 ? 2,S N ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2n ?
n 1 2 3 n

2(1 ? 2 n ) ? 2n ? 2 n?1 ? 2 ? 2n 1? 2 .

3.(07 年四川省南充市白塔中学) 给出下列命题: (1)首项为 a1,公比为 q 的等比数
列 {an } 的前 n 项和 S n ?
a1 (1 ? q n ) ; 1? q

(2)若 a, b, c 成等比数列,则函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴有两个不同的交点; (3)定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,则 f(6)=0; (4)函数 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ? | x ? 3 | 的最小值是 2. 其中真命题为 (填上所有正确命题的序号) .

答案 (3) (4) 4. 已知等比数列 {an } 的首项为 8, Sn 是其前 n 项的和,某同学经计算得 S2 ? 20, S3 ? 36,

S4 ? 65 ,后来该同学发现其中的一个算错了,则该数是 答案 S3 .
5.(成都四中第三轮复习试题)在公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,

则有

T 20 T T , 30 , 40 也成等比数列且公比为 4100; 类比上述结论,相应地在公差为 3 的等 T10 T 20 T30
也成等差数列,且公

差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,则数列 差为 (第一个空 3 分,第二个空 2 分) 答案 S20?S10,S30?S20,S40?S30;300

三、解答题
1. (2007 四川石室中学)设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn。 (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? 6, a11 ? 0, S14 ? 77,求所有可能的数列{an}的通项公式。
2

解答:① ?

?a1 ? 10 d ? 0 ? d ? ?2 ?2a1 ? 13d ? 14

a1 ? 20 ∴ an ? ?2n ? 22
0 0 7

?a1 ? 6 ? ② ?a1 ? 10d ? 0 ?2a ? 13d ? 11 ? 1

3 ?由②③ ∴ d ? ? 5

0

3

1

6

? 2a1 ? 20d ? 0 ②′
②′与③ ? ?7 d ? 11 ∴? ∴d ? ?

11 7

d??

1 13

11 1 ?d ?? 7 13

∵d ?Z

∴d=-1

∵ 10 ? a1 ? 12

∴ a1 ? 11或 a1=12

∴ an ? ?n ? 12或an ? ?n ? 13 2. (成都市 2007 届高中毕业班第二次诊断性检测题理科)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =1,S n?1 =2S n +3n+1(n∈N*). (Ⅰ)证明:数列{ a n +3}是等比数列; (Ⅱ)对 k∈N*,设 f(n)= ? 最小值. 解答:(Ⅰ)∵a1=1,Sn+1=2Sn+3n+1, ∴S2=2S1+4=a1+a2.∴a2=5. 又当 n≥2 时,Sn=2Sn-1+3(n-1)+1, ∴Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+3,即得 an+1=2an+3.

?S n ? a n ? 3n, n ? 2k ? 1, 2 求使不等式 f(m)>f(2m )成立的自然数 m 的 ?log 2 (a n ? 3), n ? 2k .

可变形为 an+1+3=2(an+3),∴

an?1 ? 3 ? 2(n ? 2). an ? 3



a2 ? 3 8 ? ? 2, a1 ? 3 4

(Ⅱ)由(Ⅰ),知 an+3=4·2n-1. ∴an=2n+1-3,Sn=

4 1 ? 2n ? 3n ? 2 n? 2 ? 3n ? 4. 1? 2

?

?

∴f(n)= ?

?2 n ?1 ? 1, n ? 2k ? 1 ?n ? 1, n ? 2k

?k ? N *? .

(1)当 m 为偶数时,∵f(m)>m+1,f(2m2)=2m2+1, ∴不存在自然数 m,使 f(m)>f(2m2)恒成立. (2)当 m 为奇数时,f(m)=2m+1-1,f(2m2)=2m2+1,而 f(m)>f(2m2), 当 m=1 时,f(m)=21+1-1=3=f(2m2)=3; 当 m=3 时,f(m)=23+1-1=15<f(2m2)=19; 当 m=5 时,f(m)=25+1-1=63>f(2m2)=51;
2 m?2 m?1 m 又当 m≥5 时,f(m)=2m+1-1=2·2m-1=2(1+C 1 )-1 ? Cm ? Cm k ?Cm ? ?? Cm

≥2m2+2m+3>2m2+1=f(2m2). 即当≥5 且为奇数时,f(m)为奇数时,f(m)>f(2m2)成立,此时 m 的最小值为 5. (也可用数学归纳法证明上述结果) 综上可知,使 f(m)>f(2m2)成立的自然数 m 的最小值为 5. 3. (成都市 2007 届高中毕业班第二次诊断性检测题文科)对 a,b∈R,已知等差数列{ an } 的首项为 a,公差为 b,前 n 项和 S n ? 等比数列{ bn }的首项为 b,公比为 a. (Ⅰ)求数列{ an }、{ bn }的通项公式 an 、 bn ;

5 2 1 n ? n(n ? N*); 2 2

?an ? 4n ? 2, n ? 2k ? 1, ? (Ⅱ)对 k∈N*,设 f(n)= ? 若存在正整数 m 使 f(m+11)=2f(m)成立,求 bn log ? n , n ? 2 k . 2 ? 5 ?
数列{f(n)}的前 10m 项的和.

解答:(Ⅰ) Sn

5 2 1 n ? n, 2 2

∴ a ? a1 ? S1 ? 2, a2 ? S 2 ? S1 ? 7, b ? a2 ? a` ? 5 . ∴ an ? 5n ? 3(n ? N*) ,

bn ? 5· 2n?1 (n ? N*) ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(n)= ?

?n ? 1,n ? 2k ? 1 (k ? N*) ?2n ? 1, n ? 2k.

(1)当 m 为正偶数,则 m+11 是正奇数,故 f(m+11)=m+10,f(m)=2m-1. 代入 f(m+11)=2f(m)中,得 m+10=2(2m-1),解得 m=4; (2)若 m 为正奇数时,则 m+11 是正偶数,则 f (m +11)=2(m +11)-1=2 m -21,f (m)=m-1. 代入 f(m +11)=2f(m)中,得 2 m -21=2(m -1),解得 19=0,显然不成立,此是 m 不存在. 故所求 m=4. 设{f(n)}的前 n 项和为 S n ,则 S10 m ? S 40 ? (0 ? 2 ? 4 ? ?? 38) ? (3 ? 7 ? 11? ?? 79) =

20(0 ? 38) 20(3 ? 79) ? ? 1200 . 2 2

4.(南充市高 2007 届第二次高考适应性考试数学文科试题)设等差数列 ?an ? , a5 ? 6 ,

①当 a3 ? 3 时,求 m 的值使得 a3 , a5 , am 成等比数列,②当 a3 ? 2 时,若自然数
n1 , n2 , nt , ? t ? N ? ? , 满足5 ? n1 ? n2 ?

? nt

, 使得a3,a5,an1 , an2 ,

ant

,

成等比数列,试 求数列?nt ? 的通项公式(用含 t 的式子表示)

5. (四川省乐山市高中 2007 届第二次调研考试数学(理))已知 f ( x ?1) ? x 2 ? 4 ,等差数列

, a ? f ( x) ; ?an ? 中, a1 ? f ( x ?1), a2 ? ? 3 2 3
项公式;③求 a2 ? a5 ? a8 ? 答案 ① x ? 0或x ? 3 ;

①求实数 x 的值;②求数列 ?an ? 的通

? a26 的值;
② an ? ? 3 (n ? 1)或an ? 3 (n ? 3) ;

2

2

③当 an ? ? 3 (n ? 1) 时,原式= ? 351 ;

2

2

当 an ? 3 (n ? 3) 时,原式= 297 .

2

2

6. (四川省眉山市高中 2007 届第二次诊断考试数学理科试题) 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项 和, a1 ? , a2 ? 2 ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ,其中 n ? 2, n ? N * . ① 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ② 计算 lim

3 2

x ??

Sn ? n 的值. an

解答①

Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 1

? an?1 ? 2an ? 1(n ? 2) .............................................2’
又 a1 ? , a2 ? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * )

3 2

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? N * )

1 ?数列 ?an ? 1? 是公比为 2,首项为 a1 ? 1 ? 的等比数列..................4’ 2 1 n?1 an ? 1 ? ? 2 ? 2n?2 ? an ? 2n?2 ? 1 ......................6’ 2
② Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2?1 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? ... ? 2n?2 ? 1

?

? ?

? ?

?

?

?

? ? 2?1 ? 20 ? 21 ? ...2n?2 ? ? n

?

2n ? 1 ? n ...........................9’ 2

1 1? n Sn ? n 2n ? 1 2 ? 2 ........................12’ 于是 lim ? lim n ?1 ? lim x ?? x ?? 2 an ? 2 x ?? 1 ? 2 2 2n
7. (四川省眉山市高中 2007 届第二次诊断考试数学文科试题)已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项 和, a1 ? , a2 ? 2 ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ,其中 n ? 2, n ? N * . ① 求证数列 ?an ? 1? 是等比数列; ② 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 解答:①

3 2

Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 1

? an?1 ? 2an ? 1(n ? 2) ........................................3’
又 a1 ? , a2 ? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * )

3 2

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? N * )
1 ?数列 ?an ? 1? 是公比为 2,首项为 a1 ? 1 ? 的等比数列.......................6’ 2 1 ②由①, an ? 1 ? ? 2n?1 ? 2n?2 ? an ? 2n?2 ? 1 ................................8’ 2
于是 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2?1 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? ... ? 2n?2 ? 1

?

? ?

? ?

?

?

?

? ? 2?1 ? 20 ? 21 ? ...2n?2 ? ? n ?

2n ? 1 ? n ................12’ 2

8. (四川省广安市高 2007 级“二诊”试题(文) )过曲线 y ?

1 3 3 2 x ? x ? 19 上任意一点 3 2

* P( x, y) 的切线的斜率为 k ? f ( x) , 对任意 n ? N , 点M( n,S ) n 都在曲线 y ? f ( x ) 上,Sn

是数列 ?an ? 前 n 项的和。 (1)求证:数列 ?an ? 是等差数列;

(2)若 bn ?

4 , Tn 是数列 ?bn ? 的前项的和,求 Tn ; (an ? 2)an

(3)求 Tn 的最值。 解答(1)证明:∵ y ?

1 3 3 2 x ? x ? 19 ,∴ k ? f ( x) ? y? ? x2 ? 3x 3 2

由题意, Sn ? n2 ? 3n 当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 3n) ? [(n ?1)2 ? 3(n ?1)] ? 2n ? 2 ,
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 也满足上式,从而对任意 n ? N ,都有
*

an ? 2n ? 2 ,
这时,对于任意 n ? 2 (n ? N ) ,都有

an ? an?1 ? (2n ? 2) ? [2(n ?1) ? 2] ? 2
故数列 ?an ? 是等差数列。 (2)由(1)知, an ? 2n ? 2 ,则

bn ?

4 1 1 1 ? ? ? (an ? 2)an n(n ? 1) n n ? 1
1 2 1 1 2 3 1 1 3 4 1 1 1 ?( ? ) ? 1? n n ?1 n ?1

∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?

(3)由复合函数的性质可以知道, Tn 随着 n 的增大而增大; ∴当 n ? 1 时, Tn 有最小值

1 ;但无最大值 2

9. (四川省成都市高 2007 级“一诊”试题)

10. (2007 年高考四川省成都名师联盟模拟试卷理科) 已知数列{ an }中,a n ? 2 ?

1 (n an?1

≥2, n ? N ? ) ,

(1)若 a1 ? (2)若 a1 ?

3 ,数列 {bn } 满足 bn ? 1 ( n ? N ? ) ,求证数列{ bn } 5 an ? 1

是等差数列;

3 ,求数列{ an }中的最大项与最小项,并说明理由; (3)若 5

1 ? a1 ? 2 ,试证明: 1 ? an?1 ? an ? 2 .
解答(1)
bn ? 1 ? an ? 1

,而 bn?1 ? 1 , a 1 ? n ?1 an ?1 ? 1 1 an ?1 ? 1 2? ?1 an ?1

∴ bn ? bn?1 ? an?1 ? 1 ? 1 . (n ? N ? ) an?1 ? 1 an?1 ? 1 ∴{ bn }是首项为 b1 ?

1 5 ? ? ,公差为 1 的等差数列. a1 ? 1 2 5 (2)依题意有 an ? 1 ? 1 ,而 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3.5 , ∴ an ? 1 ? 1 . 2 n ? 3.5 bn
1 ,在 x>3.5 时,y>0, 1 y' ? ? ? 0 ,在(3.5, ? ? )上为减函数. x ? 3.5 ( x ? 3.5) 2

对于函数 y ?

故当 n=4 时, an ? 1 ?

1 1 取最大值 3. 而函数 在 x<3.5 时,y<0, y? x ? 3.5 n ? 3.5

y' ? ?

1 ? 0 ,在( ? ? ,3.5)上也为减函数.故当 n=3 时,取最小值, a3 =-1. ( x ? 3.5) 2

(3)先用数学归纳法证明 1 ? an ? 2 ,再证明 an?1 ? an . ①当 n ? 1 时, 1 ? a1 ? 2 成立; ②假设当 n ? k 时命题成立,即 1 ? ak ? 2 ,当 n ? k ? 1 时,
1 1 1 3 ? ? 1 ? ak ?1 ? 2 ? ? (1, ) 2 ak ak 2

? 1 ? ak ?1 ? 2 故当 n ? k ? 1 时也成立,

综合①②有,命题对任意 n ? N ? 时成立,即 1 ? an ? 2 . (也可设 f ( x) ? 2 ? 故 1 ? f (1) ? a k ?1 下证:

1 1 ' (1≤ x ≤2) ,则 f ( x) ? 2 ? 0 , x x 3 ? f ( a k ) ? f ( 2 ) ? ? 2 ). 2

an?1 ? an
1 1 ) ? 2 ? 2 ak ? ? 0 ? a n?1 ? a n . ak ak

an?1 ? a n ? 2 ? (ak ?

11.(2007 年高考四川省成都名师联盟模拟试卷文科)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若

a1 ? 2, n ? an?1 ? S n ? n?n ? 1? ,
(1)证明数列 ?an ? 为等差数列,并求其通项公式; (2) 令 Tn ?

Sn , ①当 n 为何正整数值时, ②若对一切正整数 n , 总有 Tn ? m . Tn ? Tn?1 : 2n

求 m 的取值范围。 解答(1)令 n ? 1 , 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 由?

?n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ??n ? 1? ? a n ? S n?1 ? n?n ? 1?

? n ? an?1 ? ?n ? 1?an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2?n ? 2?
∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an?1 ? an ? 2 n ? N * , 即数列 ?an ? 是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列, ∴ an ? 2n (2)① Tn ?

?

?

S n n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? ,即 ? ? Tn ?1 ? n ? 2 n? N* n n n ?1 2 2 2

?

?

②∵

T1 ?

S1 3 ? 1, T2 ? T3 ? ,又∵ n ? 2 时, Tn ? Tn?1 2 2
3 3 ,∵对一切正整数 n ,总有 Tn ? m 恒成立,因此 m ? 2 2

∴各项中数值最大为

12.(07 年四川省南充市白塔中学)对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R 使 f ( x0 ) ? x0 成立,则
x2 (a, b ? N ) 有且只有两个不动点为 0、2,且 b ax ? b <3. (1)求函数 f ( x) 的解析式并写出函数 f ( x) 的定义域;

称 x0 为 f ( x) 的不动点,如果函数 f ( x) ?

(2)已知各项不为零的数列 {an } 满足: 4 S n f (
Tn ? 1 1 1 ? ? ? S1 S 2 S3 ? 1 ,求 Tn . Sn

1 ) ? 1 ,且 Sn ? a1 ? a2 ? an

? an ,

解(1)依题意有

x2 ? x ,即关于 x 的方程 (a ? 1)2 ? bx ? 0 有且只有两解 0,2??1 分 ax ? b

若 a=1,b=0 时,则方程有无数多个解,不合题意, 若 a=1,b≠0 时,则方程只有一个解,也不合题意.??2 分 ∴a≠1,故 x1 ? 0 , x2 ? ∵ b ? 3, a, b ? N , 即 a=2,b=2. ∴ f ( x) ?
x2 ( x ? 1) .??5 分 2( x ? 1) 1 x2 ) ? 1, f ( x) ? , an ax ? b

b ?2, a ?1

(2)∵ 4Sn f (
(

1 2 ) an 2 ? 1 ,得 2Sn ? an ? an ∴ 4Sn ①( an ? 1 )??6 分 1 2( ? 1) an
2 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1 ??②

2 2 ? an ①-②得: 2an ? an ? an ?1 ? (an ?1 ) ,

即( an ? an ?1 ) (an ? an ?1 ? 1) =0, ∴ an ? ?an ?1 ,或 an ? an ?1 ? ?1 (常数)??7 分 在①中 n=1 得: 2a1 ? a1 ? a12 ,a1=0(舍去)或 a1 ? ?1 , 若 a1 ? ?an ?1 ,则 a2 ? ?a1 ? 1 与 an ? 1 矛盾,∴ an ? an ?1 ? ?1 (常数) . ∴ {an } 是以-1 为首项,-1 为公差的等差数列.∴ an ? ?n .??9 分
n(n ? 1) , 2 1 2 1 1 ? 2( ? ), ∴ ?? Sn n(n ? 1) n ?1 n

∴ Sn ? ?1 ? 2 ? 3

?n ? ?

Tn ?

1 1 1 ? ? ? S1 S 2 S3

?

1 1 1 1 1 1 ? 2( ? 1 ? ? ? ? ? Sn 2 3 2 4 3

?

1 1 ? ) n ?1 n

1 2n .??12 分 ? 1) ? ? n ?1 n ?1 13. (成都 7 中二摸题)甲乙二人拿出两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数 和不小于 10 时, 原来掷骰子的人再继续掷; 若掷出的点数之和小于 10 时, 就由对方接着掷, 第一次由甲开始掷, 记第 n 次由甲掷的概率为 Pn 。 ①求 P2 , P3 ; ②试用 Pn?1 表示 Pn (n ? 2) ; ? 2(

③求 ? Pi
i ?1

10

解答(1) p1 ? 1, p2 ?

6 1 1 1 1 1 13 ? , p3 ? ? ? (1 ? )(1 ? ) ? 36 6 6 6 6 6 18 1 1 5 2 (2) pn ? pn?1 ? (1 ? pn?1 )(1 ? ) ? ? pn?1 6 6 6 3 10 53 1 2 9 1 2 1 1 1 2 n ?1 ? ( ) (3)由(2)得 pn ? ? ? ( pn?1 ? ) ? pn ? ? ( ? ) ,? ? Pi ? 2 3 2 2 2 3 10 5 3 i ?1

14. (成都 7 中二摸题)过点 P (1, 0) 作曲线 C : y ? x k ( x ? 0, k ? N *, k ? 1) 的切线,切 点为 Q1 ,设 Q1 在 x 轴上的投影为 P1 ,又过 P1 作曲线 C 的切线,切点为 Q2 ,设 Q2 在 x 轴 上的投影为 P2 ,?,依次进行下去,得到一系列点 Q1 , Q2 , ①证明 {an } 是等比数列并求 an ;②证明 an ? 1 ?

, Qn ,

, 设 Qn 的横坐标是 an 。

n i n ;③证明 ? ? k2 ? k 。 k ?1 i ?1 ai

解:①当 n ? 1 时,设 Q1 (a1 , a1k ), P (1,0),? ka1k ?1 ?

a1k k ? a1 ? a1 ? 1 k ?1 an k a k ? n ? an ? an?1 an?1 k ? 1

设切点 Qn (an , an k ), Pn (an ,0), Pn?1 (an?1 ,0),? kan k ?1 ?

k n k ) ; 为公比的等比数列且 an = ( k ?1 k ?1 k n 1 n 1 n 0 1 ) ? (1 ? ) ? Cn ? Cn ( ) ? 1? ② an ? ( ; k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 i k ?1 i ③ , ? i( ) .设q ? k ai k

{an } 是以

由错位相减得 ?

i q(1 ? q n ) ? ? nq n?1 ? (k 2 ? k )(1 ? q n ) ? nq n?1 ? k 2 ? k 。 2 (1 ? q) i ?1 ai
n

15. (四川省成都四、七、九中高 07 级联考试卷数学)已知数列{log2(an?1)} n∈N *为等差数 列,且 a1=3, a3=9 (I)求 an (II)求证
1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2 ? 1 ?1 an ?1 ? an

解: (I)设等差数列{log2(an?1)}的公差为 d 第一项为 log2(a1?1)=1 第三项为

log2(a3?1)=3

∴公差 d=1 ∴log2(an?1)=1+(n?1)·1=n ∴an=2n+1 (II)∵ ∴
1 1 1 ? ? an ?1 ? an 2n ?1 ? 2n 2n ?

??3 分 ∴an?1=2
n

??6 分 ??8 分
? 1 1 ? 1? n ? 1 2n 2

1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2

1 1 1 ? ? ? an ?1 ? an 21 22

??12 分

16.(成都四中 07 第三轮复习题)设数列{an}是以 a 为首项,t 为公比的等比数列,令 bn=1+a1 + +a2+?+an;Cn=2+b1+b2+?+bn,n∈N . (1)试用 a,t 表示 bn 和 Cn; (2)若 a>0,t>0 且 t≠1,试比较 Cn 与 Cn+1 的大小; (3)是否存在实数对(a,t),其中 t≠1,使{Cn}成等比数列,若存在,求实数对(a,t)和{Cn};若不 存在,说明理由. 解:(1)当 t=1,an=a,bn=1+na,Cn=2+(1+a)+(1+2a)+?+(1+na) n(2+a+na) =2+ ; 2 a(1-tn) a atn - 当 t≠1 时,an=atn 1,bn=1+ =1+ - 1 -t 1-t 1-t t(1-tn) a a Cn=2+n(1+ )- · 1-t 1-t 1-t atn 1 a a + (2)Cn+1-Cn=bn+1=1+ - =1+ (1-tn 1) 1-t 1-t 1-t ∵a>0 当 t>1,1-t<0,1-tn+1<0,Cn+1>Cn;0<t<1,1-t>0, 当 1-tn+1>0,Cn+1>Cn.. ∴综上所述 Cn+1>Cn. t(1-tn) a a (3)由(1)Cn=2+n(1+ )- · 1-t 1-t 1-t atn 1 at a 即 Cn=2- )n+ 2+(1+ (1-t) 1-t (1-t)2
+ +

?2-(1-t) =0 若{C }成等比数列,应有? a ?(1+1-t)n=0
at
2 n

① 由①②解得 ②

t=2,a=1 此时 Cn=4·2n 1 故存在实数对(2,1)使{Cn}成等比数列. 17. ( 2007 四 川 省 广 元 中 学 预 测 卷 ) 已 知 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 且 (Ⅱ)设 Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 , n=1,2,3… ( Ⅰ ) 求 证 : 数 列 ?an ? 2n? 为 等 比 数 列 ; (Ⅲ)设 cn ? bn ? an ? cosn? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Pn ; 为 Tn ,求证: Tn ?



1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和 an ? n

37 44

(Ⅰ)解:

Sn ? 2an ? n2 ? 3n ? 2 ,
2

? S n ?1 ? 2an ?1 ? ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? 2 .

?an?1 ? 2an ? 2n ? 2,?an?1 ? 2 ? n ?1? ? 2(an ? 2n) . ??an ? 2n? 是以 2 为公比的等比数列
3分

(Ⅱ) a1 ? S1 ? 2a1 ? 4,? a1 ? 4 ,? a1 ? 2 ?1 ? 4 ? 2 ? 2 .

?an ? 2n ? 2n ,?an ? 2n ? 2n .
当 n 为偶数时,

4分

P n ?b 1 ? b2 ? b3 ?

? bn ? (b1 ? b3 ?

? bn?1 ) ? (b2 ? b4 ?

? bn )

? ? ? 2 ? 2 ?1? ? ? 23 ? 2 ? 3? ? ? ? 22 ? 2 ? 2 ? ? ? 24 ? 2 ? 4 ? ?

n ?1 ?? ? 2 ? 2 ? n ? 1? ? ?

? ? 2n ? 2 ? n ?
6分

?

4 ?1 ? 2n ? 1? 2
2

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2
2

2 ? n ? ? (2n ? 1) ? n ; 3
2n?1 ? 2 ? ? n ? 1? . 3

当 n 为奇数时, P n= ?

8分

? 2n ?1 5 ? ?n? ( , n为奇数) ? ? 3 3 综上, Pn ? ? . ? 2 ? (2n ? 1) ? n,(n为偶数) ? ?3
(Ⅲ) cn ?

9分

1 1 . ? n an ? n 2 ? n
1

1 37 当=1 时, T1 ? 3 ?

44

当≥2 时, Tn ?

1 1 1 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3

?

1 2 ?n
n

1 1 1 < ? 2? 3? 3 2 2

?

1 2n

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 5 1 5 37 1 2 ? ? ? n ? ? n ? ? = ?4 1 3 2 2 6 2 6 44 3 1? 2 37 综上可知:任意 n ? N , Tn ? . 44

12 分


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