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两条直线的位置关系


直线与圆的方程

两条直线的位置关系
A.两条直线的位置关系
位置关系 给出两条直线的方式
l1 : y ? k1x ? b1, l2 : y ? k2 x ? b2 l1 : x ? x1, l2 : x ? x2

充要条件
k1 ? k2 且 b1 ? b2 x1 ? x2

>备注
k1 , k2 都存在 k1 , k2 都不存在

平 行
l1 : Ax 1 ?B 1y ? C 1 ? 0, l2 : A 2x ? B 2 y ? C2 ? 0

或 AB 1 2 ?A 2B 1 ? 0, AC 1 2 ?A 2C 1 ?0
AB 1 2 ?A 2B 1 ? 0, BC 1 2 ?B 2C 1 ?0 l1 : y ? k1x ? b1, l2 : y ? k2 x ? b2 l1 : x ? x1, l2 : x ? x2 k1 ? k2 且 b1 ? b2 x1 ? x2

① k1 , k2 都存在;② k1 , k2 都不存在; ③ A2 B2C2 ? 0 时,
A1 B1 C1 ? ? ? l1 / / l2 A2 B2 C2

k1 , k2 都存在 k1 , k2 都不存在

重 合
l1 : Ax 1 ?B 1y ? C 1 ? 0, l2 : A 2x ? B 2 y ? C2 ? 0

或 AB 1 2 ?A 2B 1 ? 0, AC 1 2 ?A 2C 1 ?0
AB 1 2 ?A 2B 1 ? 0, BC 1 2 ?B 2C 1 ?0

① k1 , k2 都存在;② k1 , k2 都不存在; ③ A2 B2C2 ? 0 时,
A1 B1 C1 ? ? ? l1 / / l2 A2 B2 C2

相 交

l1 : y ? k1x ? b1, l2 : y ? k2 x ? b2 l1 : Ax 1 ?B 1y ? C 1 ? 0, l2 : A 2x ? B 2 y ? C2 ? 0 l1 : y ? k1x ? b1, l2 : y ? k2 x ? b2

k1 ? k2 AB 1 2 ?A 2B 1 ?0 k1k2 ? ?1

k1 , k2 都存在 A2 B2 ? 0 时,
A1 B1 ? ? l1 , l2 相交 A2 B2

k1 , k2 都存在
k1 ? 0, k2 不存在

垂 直

l1 : x ? a, l2 : y ? b l1 : Ax 1 ?B 1y ? C 1 ? 0, l2 : A 2x ? B 2 y ? C2 ? 0

恒有 l1 ? l2
A 1A 2 ?B 1B 2 ?0

① B1B2 ? 0 时 A ; 1A 2 ?B 1B 2 ? 0 ? k1k2 ? ?1 ②一直线斜率不存在时,另一斜率为零

注: (1)结论“ AB 相交”的证明: 1 2 ?A 2B 1 ? 0 ? l1 , l2 事实上,将直线 l1,l2 方程联立,消去 y 整理得 ( AB . 1 2 ?A 2B 1 )x ? BC 1 2 ?B 2C 1 于是 AB 方程 ( AB 有唯一解 ? 方程组 ? 1 2 ?A 2B 1 ?0? 1 2 ?A 2B 1 )x ? BC 1 2 ?B 2C 1
? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, ? A B ? A2 B1 ? 0, (或 ? 1 2 ) ? l1,/ / l2 ”的证明: ? B1C2 ? B2C1 ? 0 ? A1C2 ? A2C1 ? 0 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 有唯一解 ? l1,l2 相交. ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

(2)结论“ ?

事实上,将直线 l1,l2 方程联立,消去 y 整理得 ( AB . () 1 2 ?A 2B 1 )x ? BC 1 2 ?B 2C 1 于是 ?
? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, ? A x ? B1 y ? C1 ? 0, ? 方程 ( AB 无解 ? 方程组 ? 1 无解 ? l1 / /l2 . 1 2 ?A 2B 1 )x ? BC 1 2 ?B 2C 1 ? B1C2 ? B2 C1 ? 0 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, ? l1 , / / l2 . ? A1C2 ? A2C1 ? 0

同理,若消去 x ,则得 ( AB ,于是 ? 1 2 ?A 2B 1 ) y ? AC 1 2 ?A 2C 1

(3)结论“ ?

? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, ? A B ? A2 B1 ? 0, (或 ? 1 2 ) ? l1,l2 重合”的证明: ? B1C2 ? B2C1 ? 0 ? A1C2 ? A2C1 ? 0

事实上,将直线 l1,l2 方程联立,消去 y 整理得: ( AB (若消去 x ,则得 ( AB ) . 1 2 ?A 2B 1 )x ? BC 1 2 ?B 2C 1 1 2 ?A 2B 1 ) y ? AC 1 2 ?A 2C 1 于是 ?
? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, ? A x ? B1 y ? C1 ? 0, ? 方程 ( AB 有无穷多解 ? 方程组 ? 1 有无穷多解 ? l1,l2 重合. 1 2 ?A 2B 1 )x ? BC 1 2 ?B 2C 1 ? B1C2 ? B2C1 =0 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, ? l1 , l2 重合. ? A1C2 ? A2C1 =0

同理,若消去 x ,则得 ( AB ,于是 ? 1 2 ?A 2B 1 ) y ? AC 1 2 ?A 2C 1

B.两条直线的交点
1

直线与圆的方程

? A x ? B1 y ? C1 ? 0, 1.将直线 l1 , l2 方程联立,得到方程组 ? 1 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0.

(1)若方程组有唯一解 ? l1 , l2 多解 ? l1 , l2
重合

相交 ; (2)若方程组无解 ? l1 , l2

平行

; (3)若方程组有无穷



? A x ? B1 y ? C1 ? 0, 2.当直线 l1 , l2 相交时,方程组 ? 1 的解就是两直线交点的 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

坐标



C.两个距离公式 1.点线距公式:点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



2.两条平行线距公式:两条平行直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 间的距离
d?
| C1 ? C2 | A2 ? B 2



D.4 个基本对称问题及求解思路 1.两点关于一点成中心对称; 求解思路:只需利用 中点坐标公式 . 2.两线关于一点成中心对称; 求曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 ( m, n) 对称曲线的步骤: ① 在 已 知 曲 线 上 任 取 一 点 M ( x, y ); ② 求 出 该 点 关 于 对 称 中 心 ( m, n) 的 对 称 点 M ?( 2m? x, 2? n ; y )③将点 M ? 坐标代入已知曲线的方程, 即得所求曲线方程 F (2m ? x, 2n ? y) ? 0 . 3.两点关于一直线成轴对称; 求点 M ( x0 , y0 ) 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0 对称点 M ? 的步骤:①设点 M ? 坐标为 ( m, n) ;②根据 “中点在对称轴上且两点连线与对称轴垂直”布列关于 m, n 的方程组求点 M ? 坐标. 4.两线关于一直线成轴对称; 求曲线关于 F ( x, y) ? 0 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 对称曲线的步骤:①在已知曲线上任取一点 M ( x, y ) ;②求出该点关于对称轴的对称点 M ? ;③将点 M ? 坐标代入已知曲线的方程即得所求曲线 方程.
注: (1)解决中心对称问题的关键在于会运用中点坐标公式. (2)解决轴对称问题,常抓住两点关于对称轴对称的两个要素:中点在 对称轴上且两点连线与对称轴垂直. (3)直线的对称问题一般转化为直线上对应点的对称.将以上过程归纳如下: 已知的点或曲线
M(x0 , y0 )
F(x, y) ? 0

对称中心或对称轴
(m, n)

所求对称点或曲线
N(2m ? x0 ,2n ? y0 )
F(2m ? x,2n ? y) ? 0

求解思路 运用中点坐标公式

问题关键 中点坐标公式

(m, n) l : Ax ? By ? C ? 0 l : Ax ? By ? C ? 0

归结为点和点的对称问题 布列 m, n 的方程组 归结为点和点的对称问题 中点在对称轴 上;两点连线

M(x0 , y0 )
F(x, y) ? 0

设对称点为 N(m, n) 求任一点的坐标关系

与对称轴垂直

2

直线与圆的方程

E.直线系方程
直线系名称 直线系满足的条件 平行于直线 y ? kx ? b 平行直线系 平行于直线 Ax ? By ? C ? 0 过点 A( x0 , y0 ) , 平行于 Ax ? By ? C ? 0 垂直直线 y ? kx ? b 垂直直线系 垂直于直线 Ax ? By ? C ? 0 过点 A( x0 , y0 ) , 垂直于 Ax ? By ? C ? 0 过定点 (x0 , y0 ) 过定点的 直线系 过直线 l1 : A 与 1x ? B 1y ? C 1 ?0
l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点

直线系方程
y ? kx ? ?(? ? b)

备注

Ax ? By ? ? ? 0(? ? C)

A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0
1 y?? x?? k

k ?0

Bx ? Ay ? ? ? 0

B(x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 y ? y0 ? k(x ? x0 ) 和 x ? x0 Ax 1 ?B 1y ? C 1 ? λ( A 2x ? B 2 y ? C2 ) ? 0 λ( Ax 1 ?B 1y ? C 1 ) ? μ( A 2x ? B 2 y ? C2 ) ? 0

不包括直线 l2

? ? 1, ? ? 0 时表示 l1 ,

? ? 0, ? ? 1 时表示 l2

注: (1)结论“过点 A( x0 , y0 ) ,平行于 Ax ? By ? C ? 0 的直线系方程 A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ”的证明: 事实上,平行于 Ax ? By ? C ? 0 的直线方程可设为: Ax ? By ? ? ? 0 ,将点 A( x0 , y0 ) 代入上式,得 Ax0 ? By0 ? ? ? 0 ,即 ? ? ? Ax0 ? By0 , 带入 Ax ? By ? ? ? 0 整理得 A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 . (2)结论“过直线 l1 : A 与 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线系方程 Ax (其中 ? 为参数, 1x ? B 1y ? C 1 ?0 1 ?B 1y ? C 1 ? ?( A 2x ? B 2 y ? C2 ) ? 0 方程不包括直线 l2 ) ”的证明: 分析:此结论涉及以下三个事实:①该方程表示直线;②此直线也经过该交点;③该方程不包括直线 l2 .先证明如下: ①该方程表示直线 ? x, y 的系数 A 、 B1 ? λB2 不能同时为 0. 1 ? λA 2 事实上,如果 A 、 B1 ? λB2 同时为 0,即 ? 1 ? λA 2 交矛盾. ②设直线 l1 、 l2 交点为 P( x0 , y0 ) ,则 A ,从而 A , 1x0 ? B 1 y0 ? C 1 ?0 1x0 ? B 1 y0 ? C 1 ? λ( A 2 x0 ? B 2 y0 ? C2 ) ? 0 即直线 Ax 也经过交点 P( x0 , y0 ) . 1 ?B 1y ? C 1 ? λ( A 2x ? B 2 y ? C2 ) ? 0
? A1 ? λA2 ? A2 , ?
? A B ? λA2 B2 ? 0, ? A1 ? λA2 ? 0, 则有 ? 1 2 ? A2 B1 ? λA2 B2 ? 0 ? B1 ? λB2 ? 0

消去 λ 得 AB ,∴ l1 / /l2 ,这与 l1 、 l2 相 1 2 ?A 2B 1 ?0

③∵无论 λ 取何值,由方程 Ax 始终不能得到方程 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,否则将有 ? B1 ? λB2 ? B2 , 1 ?B 1y ? C 1 ? λ( A 2x ? B 2 y ? C2 ) ? 0

? B ? λB ? B . 2 2 ? 1

由前两个方程可得 ?

? A1 B2 ? λA2 B2 ? A2 B2 , 消去 λ 仍得 AB ,∴仍得到 l1 / /l2 ,这与 l1 、 l2 相交矛盾. ∴该方程不包括直线 l2 . 1 2 ?A 2B 1 ?0 ? A2 B1 ? λA2 B2 ? A2 B2 ,

3


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