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学案(直线方程)


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一对一学案
教学内容:直线方程 教学过程: 一、直线与方程知识点
(1)直线的倾斜角(记) 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率(记) ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾

斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。 即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; ②过两点的直线的斜率公式: k ?

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程(记) ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的 横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 2 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; 一般式直线斜率 k ? ?

A B

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系(理解为主) 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系(理解为主) (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 :

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直(记) 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
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注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B (8)两点间距离公式(记) :设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点,
(9)点到直线距离公式(记) :一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式(记) 方法一:在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 方法二:若两平行直线分别为 ?

C1 ? C2 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,则他们之间的距离 d ? (注意两直 A1 x ? B1 y ? C2 ? 0 A2 ? B 2 ?

线的 x 与 y 前的系数必须相等才能使用此公式) 补充记忆表格(记)(求倾斜角常用,之后三角函数亦要记忆) :

?
sin ?

? 6 1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

cos ?

tan ?

3

cot ?

3

1

3 3

二、课后练习

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.若直线过点 (1, 2) , (4, 2 ? 3) ,则此直线的倾斜角是( A
30 0





450



60 0



90 0

2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 ?
3 2

D、 2
3

3.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为(


2

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A 2

B 1
2

C 1

D

7 2

4. 点M(4,m)关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9) ,则( A m=-3,n=10 C m=-3,n=5 A 3x-y-8=0 C 3x-y+6=0 ) B 2x-y-3=0 B D m=3,n=10 m=3,n=5



5.以A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( B 3x+y+4=0 D 3x+y+2=0



6.过点M(2,1)的直线与 x 轴,y 轴分别交于P,Q两点,且|MP|=|MQ|, 则 l 的方程是( A x-2y+3=0 C

2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 8. 直线 2x ? y ? m ? 0和x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是 (A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)不能确定 9. 如图 1,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3, 则必有 A. C. k1<k3<k2 k1<k2<k3 B. D. k3<k1<k2 k3<k2<k1 边 ) (C) x-y+1=0 ( )

10.已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则Δ ABC 的 AB 上的中线所在的直线方程为( ( A ) x+5y-15=0 (D)y-3=0 11.下列说法的正确的是 A.经过定点 P0 ? x0 ,y0 ? 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程
x y ? ? 1 表示 a b

(B)x=3

D.经过任意两个不同的点 P ?x1,y1 ?、P2 ?x2,y2 ? 的直线都可以用方程 1

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示
12.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 3 y ? 2 ? 0
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C. x ? 3 y ? 2 ? 0

D. 3x ? y ? 2 ? 0

选择题答题表 题号 1 2 答案

3

4

5

6

7

8

9

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12

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 3 分,共 9 分) 13.已知点 A(?5, 4) 和 B(3, 2) 则过点 C (?1, 2) 且与 A,B 的距离相等的直线方程 为 . 14.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是 15.直线 5x+12y+3=0 与直线 10x+24y+5=0 的距离是

. .

三、解答题(本大题共 2 小题,共 24 分) 16. ①求平行于直线 3x+4y-12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程; ②求垂直于直线 x+3y-5=0, 且与点 P(-1,0)的距离是 3 10 的直线的方程.
5

17.直线 x+m2y+6=0 与直线(m-2)x+3my+2m=0 没有公共点,求实数 m 的值.

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