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重现命制过程+剖析思路变化——以2012年北京市压轴题为例


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数学通报

2014年

第53卷

第3期

重现命制过程剖析思路变化
——以2012年北京市压轴题为例
王亮亮
(北京教育考试院100083)



引言

2试题的定位 2.1

试题的总体定位 自北京市中考数学学科实施“课标卷”以来, 第25题一直遵循“区分高端,适度中上,兼顾中 下”的区分原则.虽然试题的主要目的是区分高端 学生,但是为了使试题能够面向全体学生并可以 有效地指导教学,题目采取“多问”的设计方式,层 层搭设台阶,问与问环环相扣,让题目呈现出“易 上手,可深入,重思维”的特点,为不同层次的学生 搭设不同的平台,使学生得到不同的发展和展示. 2.2试题的考查目的 从2011年开始,通过命制开放性试题,在考 查学生自主学习能力的同时,更加注重对学生学 习过程的考查.试题在“新定义”的背景下,要求学 生通过现场学习,理解新定义,结合所掌握的知识 和思想方法分析新定义的几何涵义,借助几何直 观,探索问题与问题之间在数量和空间上的关系, 发现解决问题的方法.题目采用上述的设计方式, 主要目的是基于九年义务教育数学课程结束后, 学生是否形成了正确的数学观和自身的数学体 系,不仅仅是对知识、能力、思想的考查,更多地是 对学生的数学积淀的考查. 3试题的命制 下面以2012年第25题为例,从试题的命制 原则、试题的结构、思想与能力的确定、试题的发 展方向和试题素材的选择等方面对此类试题进行 分析,将这种类型试题的命制过程进行还原,以此 来介绍近三年此类试题的命制思路,主要目的是 让一线教学全面地了解考试. 3.1试题的命制原则 第25题在试题定位的基础上,首先将“能力

从2011年开始,中考数学科目考试结束后, 教师与考生反响最为强烈的题目都是最后一道压 轴题,普遍认为题目“具有一定的难度,对数学思 维和能力的要求较高”.部分一线教师认为,题目 的情景设置新颖,知识的融合度高,数学思想及方 法丰富,能力考查得当.部分考生认为,题目的背 景熟悉,入口宽,易上手,层层深入,思维发展空间 大.另外,还有的教师和考生认为,在平常教学和 学习的过程中,不仅要重视对知识的学习和技能 的训练,更要重视对数学思维、数学思想和数学能 力的培养与发展,尤其是对学生终身发展有意义 的思想与方法;进一步地,教师认为要调整教学思 路,不能一味地追求题海战术,要回归教材,重新 研究与定位,体现过程,知识与思想共现,寻求 开放. 以上的考后信息,是在2011年中考结束后至 今,深入学校或教研部门调研,跟一线教师与学生 进行面对面的交流后的部分总结.在调研的过程 中,一线教师也从教学与考试、试题的命制等不同 角度提出了一些问题,特别是对“如何命制一道综 合性试题”提出了很多的疑惑,例如,试题发展与 能力确定的关系、能力确定与素材选择的关系、素 材选择与知识使用的关系等方面.为了更好地发 挥中考试题的教学引导作用,根据调研中听取的 各方面意见,下面从试题定位、试题命制及试题分 析等角度对2012年的压轴题进行剖析,以便教师 和学生全面地了解和把握试题,迸一步地实现考 试与教学的互动.

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立意命制试题”作为基本的命题原则.其次,试题 注重对学生思维能力的考查.对于思维能力的考 查,更加侧重于学生是否已经能使用数学逻辑手 段,将知识、能力和思想系统化,形成自身的数学 逻辑体系,考查的重点在于学生已经“内化”了的 部分,因为这部分是超越数学自身范畴的,对学生 今后的发展起着不可替代的作用.最后,在过程中 考查学生.让学生经历问题的发现、分析及解决的 过程,让学生有主动探索问题的意识,使考查点最 终落脚于对创新意识的培养. 为了更好地还原试题的命制过程,现把试题 呈现如下, 例在平面直角坐标系xOy中,对于任意两 点P。(z。,y,)与P。(z:,y:)的“非常距离”,给出如

D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;

/0





≮丢什,
-D





图2

②如图3,E是以原点0为圆心,1为半径的 圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的 最小值及相应的点E和点C的坐标.

下定义:若I z,一z。I≥I P。的“非常距离”为l

Y。一yz

z,一zz

I,则点P,与点 l;若l z。一zz I<

Y。一y。1,则点P,与点P。的“非常距离”为 Y1一了:1.例如:点P。(1,2),点Pz(3,5),因为
1—3

I<l

2—5

离”为l

2—5

1,所以点P,与点P:的“非常距 I=3,也就是图1中线段P,Q与线段

P。Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线 P。Q与垂直于z轴的直线P:Q的交点).



.么
Y1

‘y2云什3

、、一 弋 /、’

图3

3.2试题结构、思想与能力的确定 根据考查目的与命制原则,首先确定试题在 结构上要有“维度”的拓展空间.也就是说,使考查 的问题从知识内容、数学思想上具有延续性,设置 的问题能够从“一维”(点与点)拓展到“二维”(点
图1

与线、线与线),问题的发展方向或研究方法在“维 度”上具有通性,在思维上可以进行延展.其次,试

(1)已知点A(一÷,o),B为y轴上的一个
动点, ①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一 个满足条件的点B的坐标; ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最 小值;


题在特殊到一般的总体思想下,要求学生用运动 与变化的眼光看待问题,通过对问题进行类比与 归纳,结合数形结合的思想,发现问题的联系与区 别,寻求出解决问题的思路.最后,根据试题的结 构和思想,从逻辑思维能力、探究能力、发现问题、 分析和解决问题的能力等方面对学生的能力进行 考查. 3.3试题的组织

(2)已知C是直线y一}z+3上的一个
动点, ①如图2,点D的坐标是(o,1),求点c与点

根据试题的结构,确定试题的主线由特殊的 “点与点”的引入,逐步扩展到一般的“线与线”的

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数学通报 了试题的两个问题:

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探索.试题在呈现形式上,采取“背景介绍、知识学 习、深入应用”的方式,使其如同一本教科书一样, 具有完整的框架与知识,使之成为一个系统化的 模块. 3.3.1背景的组织 首先,根据试题在“维度”上具有拓展性,确定 题目的基本架构是以在平面直角坐标系为问题探 讨的背景,逐步开展试题的探究. 其次,根据试题的结构上是“由特殊的‘点与 点’的引入开始,并逐步拓展到‘二维’的‘线与线’ 的探究”,因此确定“距离”作为试题发展的载体. 因为无论是从空间上还是数量上,“距离”都具有



(1)已知点A(一÷,0),B为Y轴上的一个


动点, ①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一 个满足条件的点B的坐标; ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最 小值;


(2)已知c是直线Y一÷z+3上的一个
‘士

动点, ①如图2,点D的坐标是(o,1),求点C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标; ②如图3,E是以原点0为圆心,1为半径的 圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的 最小值及相应的点E和点C的坐标. 第(1)问,起点较低,主要目的是让学生理解 新定义的几何涵义.①问是直接利用新定义解决 简单问题,②问是在①问的基础上与动点相结合, 引入最值问题,为解答第(2)问搭设了一个台阶. 第(2)问,在第(1)问的基础上,把研究的问题 一般化.①问是动点在一般的直线上运动的情况, 既是对第(1)问的深化,又是对第②的铺垫;②问 是两个点都是动点的情况,但是解题思路与①问 相同. 4试题的分析 4.I解答思路分析 第(1)问,主要读懂新定义,尤其是对“非常距 离”的几何解释;其次是利用图形进行解答.这两 方面不仅是解决此问的关键,也是解决本题的 关键. 第(2)问,最后是求两个点之间的“非常距 离”,并且这两个点都是运动变化的,这是本问的 难点,对于难点的突破主要涉及以下几个方面. 首先,关注第(1)、(2)问和每问中①和②之间 的关系.这两问都是研究两个点的“非常距离”:第 (1)问中的两个点一个是定点,另一个点则是在特 殊直线Y轴上运动.第(2)问,①问中的两个点一 个是定点,另一个点则在一条比较“一般”的直线 上运动;②问中的两个点一个在直线上运动,而另 一个则在圆上运动.所以,从第(1)问到第(2)问一 直遵循着从特殊到一般的思路.因此,利用特殊与

很好的性质,所以题目通过引入符号“|¨?I”,介
绍了“非常距离”的概念.按照这样的思路组织了 试题背景的前半部分. 最后,为了让学生更好地理解和掌握“非常距 离”的概念,通过具体的例子,进一步地解释了“非 常距离”的几何涵义,进而形成了背景材料的后半 部分. 3.3.2试题的发展方向 从题目的具体设计上来说,根据试题的发展 主线,结合“题目采取‘多问’的设计方式,层层搭 设台阶,问与问环环相扣”的定位特点,对问题进 行如下设计:首先,让学生对新定义进行学习,直

接利用新定义的几何涵义进行简单应用——特殊
的“点与点”的应用;其次,为了更好地过渡到对

“线与线”的探究,试题搭设台阶——“点与线”的
探究,这样就为探究“线与线”的问题进行了铺垫, 可以更好地体现试题的层次性,让学生更好的理

解题目.最后,在“点与点”、“点与线”的基础上,让
学生探索“线与线”的问题. 从题目的考查内容上来说,由于背景是引入 的“非常距离”,因此考查内容的核心就落脚于“距

离”上.根据试题的考查思想——在特殊与一般的
思想下,用运动与变化的观点解决问题,就把问题 的考查点放在点的运动上.因为通过点的运动,就 会出现线段长度的变化,进而就会产生“最值”的 问题.所以,考查内容最后就落脚于“由运动产生 的最值问题”,而最值问题就应该是贯穿于整个题 目的核心问题,进而解决核心问题的方法就应该 是贯穿整个题目的核心方法. 按照题目的设计形式和考查内容,组织得到

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一般的思想,从运动与变化的角度来分析问题,就 成为解决此题的一条主线. 其次,类比在特殊情况下解决问题的方法.根

等腰三角形的斜边方向的方向一致性,将已知直 线沿等腰三角形斜边方向平移至与圆第一次相 切,切点就是所要求的点E. 从难度曲线图上来看,试题对中等及中等以 上的考生有很好的区分作用,尤其是对110分以 上的考生具有明显的区分效果,基本上符合“区分 高端,适度中上,兼顾中下”的命题区分原则.

据数形结合的思想,分析运动变化过程中的规律,4.2考后数据分析 发现画出“以连接两点的线段为斜边的等腰直角 三角形(两直角边分别平行于坐标轴)”是解决这 两个点的“非常距离”的核心步骤,无论这两个点 如何变化,这个核心是不变的. 最后,利用数形结合分析计算求解.利用这些
题目难度曲线图


O 9 O 8 O 7 O 6 O 5 O 4




it







O 2 O l 0

÷;/
10 20 30 40 50 60 70 80

./





90

100

110

120

学生各问得分分布比例表 第(1)问 分值(分) 比例(百分比)
o.oo 1.00 2.oo 0.OO

第(2)①问
1.OO
2.00

第(2)②问
3.oo
0.oo

1.OO

2.OO

3.00

42%

20%

37%

85%

5%

3%

7%

97%

2%

o%

1%

通过“学生各问得分分布比例表”不难看出, 第(1)问得分率为57%,其中得满分的学生有 32144人;第(2)①问得分率为15%,其中得满分 的学生为6280人;第(2)②问得分率为3%,其中 的满分的学生为597人.根据上述数据不难发现, 题目从区分效果上来说符合试题的定位原则. 5结束语 文章从试题的定位、试题的命制及试题的分 析等方面重现了这种类型试题的形成过程,将试 题发展、能力确定、素材选择之间的关系进行了阐 述.这样做的主要目的是想揭开这类试题命制的 神秘面纱,让一线更多地去了解此类试题的命制 过程,了解在“能力立意”基本命题原则的前提下,

试题是如何组织、发展而来的,进而更好的实现教 学与考试的互动.
参考文献 1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011)Cs]. 北京:北京师范大学出版社,2012 2中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(实验稿) [S].北京:北京师范大学出版社,200l 3教育部基础教育课程教材专家委员会.义务教育数学课程标 准(2011年版)解读[M].北京:北京师范大学出版社,2012 4北京教育考试院.北京市高级中等学校招生考试考试说明 [M].北京;北京理工大学出版社,2012 5北京教育考试院.2012年北京市高级中等学校招生考试试题 解析CM].北京:开明出版社,2013

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