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高考数学考试常用公式、定理、方法 150条很实用


高考数学考试常用公式、定理、数学思想方法(150 条) 通法先行,随机应变;大胆猜想,小心求证!
目录
2015 年高考数学考试常用公式、定理、数学思想方法(150 条)...................................................................................... 1 版块 1 版块

2 版块 3 版块 4 版块 5 版块 6 版块 7 版块 8 版块 9 版块 10 版块 11 版块 12 集合、常用逻辑用语、不等式、复数 ................................................................................................................... 2 函数与导数 ............................................................................................................................................................... 4 三角函数与平面向量 ............................................................................................................................................. 11 数列、推理与证明、算法初步 ............................................................................................................................. 14 立体几何 ................................................................................................................................................................. 17 解析几何 ................................................................................................................................................................. 19 概率与统计 ............................................................................................................................................................. 23 选修 4 系列 ............................................................................................................................................................. 26 数学思想方法 ......................................................................................................................................................... 28 解题方法及题型归纳 ............................................................................................................................................. 33 化简技巧与常用公式 ............................................................................................................................................. 38 高考考什么 ............................................................................................................................................................. 40

说明
1.本书适用于学业水平考试,理解和掌握必修 1~5 的内容即可! 2.本书尤其适用于高考,那么还需理解和掌握选修 1 系列(文科) ,选修 2 系列(理科) ,选修 4 系列(文理) ! 3.对于书中归纳的知识点和方法,重要知识和常用方法能牢记,次要知识和特殊方法有印象! 4.对于常见题型,应该掌握解题套路和模式.耐心与速度、灵感与功底,来源于平时的积累!

基础性工作要先行,模式化处理要熟练!

通法不通,思维天马行空;日积月累,方法层出不穷!

多思出悟性,常悟获精华
湖南桃源九中 陈永清

1

版块 1
1.

集合、常用逻辑用语、不等式、复数 必修 1

集合中的元素具有:确定性,互异性,无序性. 集合的三种常用表示方法:列举法、描述法(形式可具有多样性) 、图示法(一种解题工具或方法) . 常用数集符号: ? 或+正整数集,自然数集,整数集,有理数集,实数集,? 无理数集, 复数集.

2.

集合的基本运算 ①并集:? = {| ∈ ,或 ∈ }; ②交集:? = {| ∈ ,且 ∈ }; ③补集:? = {| ∈ ,且 ? }.
? ? ?

【显然与? 成对出现】 ②? = , ③? = ,

3.

集合中的重要结论:①?



④(? )?(? ) = ? (?); 含参数的集合满足 4.

⑤(? )?(? ) = ? (?)【摩根定理】.

或? = ?等情形时,在求解的时候要注意是否需要分 = ?与 ≠ ?两种情形讨论.
1 ) 0 1 2 【∵ + + + ? + = 2 或 (2 = 2 . 】

若集合中有个元素,则集合的所有子集个数为2 .

所有非空子集的个数是2 ? 1,所有真子集的个数是2 ? 1,所有非空真子集的个数是2 ? 2.

【?,. 】

选修 2 系列
5. 四种命题(原命题“若,则” 、逆命题、否命题、逆否命题)之间的相互关系: ⑴两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (等价命题) 【当直接判断一个命题的真假性或直接证明一个命 题有困难时,可转化为判断或证明该命题的逆否命题!正难则反,间接法. 】 ⑵两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 6. 充分条件与必要条件【充分性,必要性. 】 ⑴当“若,则”为真命题时,即 ? ,则是的充分条件,是的必要条件. 【一个关系、两种表述】 【前充分,后必要;小充分,大必要;小范围?大范围. 】 ⑵若 ? 且 ? ,则是的充分必要条件; 7. 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ⑴复合命题的真假性:①?:全真为真,有假为假; ②?:全假为假,有真为真; 【命题?的否定是:?(?) = (?)?(? ); 】 【命题?的否定是:?(?) = (?)?(? ); 】

③?(非,的否定) :与真假相反. 命题的否定与否命题的区别:①命题的否定只否定结论;②否命题要同时否定原命题的条件与结论; ⑵全称命题及特称命题及其否定: (前提转换,结论否定. ) ①全称命题: ? ∈ ,().它的否定?:?0 ∈ ,?(0 ).全称命题的否定是特称命题!恒成立命题. ②特称命题: ?0 ∈ ,(0 ).它的否定?:? ∈ ,?().特称命题的否定是全称命题!存在性命题.

必修 5
8. 9. 会从实际生活中提炼出不等式(组) ,混合不等式组. 设 2 + + = 0( > 0)的两根为1 ,2 (1 < 2 ),则: ① 2 + + < 0的解集为{|1 < < 2 }; ② 2 + + > 0的解集为{| < 1 ,或 > 2}; 小于取中间 大于取两边
1


2

10. 一元二次不等式 2 + + > 0(或 < 0)的解集若已给出,则解集中的端点值 1 ,2 是方程 2 + + = 0的 ... 根. 11. ⑴三个二次问题:二次方程 2 + + = 0,二次函数 ( ) = 2 + + ,二次不等式 2 + + > 0.
2

其中二次函数是核心!解决问题要善于数形结合!充分利用零点、对称轴,解决求解集、值域、单调性、成立或恒成 立求取值范围问题. ⑵二次方程根的分布(二次函数零点的分布) : ①两根 在同一区间三抓:一抓判别式,二抓对称轴,三抓端点值! . ②两根 不在同一区间一抓:只抓端点值! . 12. ⑴重要不等式:2 + 2 ≥ 2,当且仅当 = 时取“=”号.变式: ≤ ⑵基本不等式:
+ 2 2 +2 2



≥ √(, > 0), (一正二定三相等)当且仅当 = 时等号成立.
+ 2 ) . 2

变式:① + ≥ 2√,② ≤ (

注意:当, < 0时, + = ?[(?) +(?)] ≤ ?2√. ⑶三个正数的算术-几何平均不等式 定理: ⑷推广:
++ 3

≥ √ (,, > 0), ≤ (

3

++ 3 ) (,, 3

> 0),当且仅当 = = 时取“=”号.

1 +2 +?+

≥ √1 2 ? (1 ,2 , ? , > 0).当且仅当1 = 2 = ? = 时,等号成立.

13. 线性规划及其线性规划方法的迁移:基本上都是用观察法直接确定最值状态!也基本上都是在区域的顶点处取得 最值!若可行域的边界中有曲线段,则可能会用到导数求切点坐标、求最值. 目标函数的各种类型: ⑴截距型: = + (标准形式) ;方法:利用直线 + = 0上下平移求解. 变式: = || + , = + ||, = | + + |. ⑵距离型: = √( ? )2 + ( ? )2 , = √ 2 + 2 (标准形式) ;表示(,),(,)两点间的距离. 求最小值有可能要用到点到直线的距离公式! ⑶斜率型: = ?, = (标准形式);表示经过(,),(,)两点的直线的斜率. ⑷面积型: = ( ? )( ? ), = ,表示经过(,)点向直线 = , = 作垂线,围成的矩形面积.
?

选修 1、2 系列
14. ⑴复数的表示:通常用字母表示,即 = + (, ∈ ),这一表现形式叫做复数的代数形式.其中, 分别叫做复数的实部、虚部,叫做虚数单位,它满足 2 = ?1. ? = ? 与 = + 称为互为共轭复数. ( ∈ )的周期性:① 4+1 = ;② 4+2 = ?1;③ 4+3 = ? ;④ 4 = 1. ⑵复数相等的充要条件:① + = + ② + = 0 ⑶ = + (, ∈ ) ?
一一对应

= 且 = ; (,,, ∈ . )

= 0 且 = 0; (, ∈ . )
一一对应

(,) ?

????? = (,).

⑷复数 = + (, ∈ )的模(或绝对值):记作||或| + |.|| = | + | = √2 + 2 ; ⑸复数的四则运算法则: ①( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ); ②( + ) ? ( + ) = ( ? ) + ( ? ); ③( + )( + ) = ( ? ) + ( + ); ④( + ) ÷ ( + ) = + = (+)(?) =
+ (+)(?) + 2 +2

虚数集

复数集 实数集

纯虚数集

+ 2+2 .分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数.

?

3

版块 2
15. 函数的单调性:

函数与导数 必修 1

⑴定义法, 【单调函数的图象不一定是连续的曲线,某些分段函数仍然可以在定义域上为单调函数,要通过图象 掌握求含参数的分段函数具有单调性的参数取值范围问题. 】 ⑵导数法, ⑶直观快速判定一些函数的单调性:设( ), g()具有单调性(常数 > 0) ,则 ① 【但要注意 】 √() ,(),( ) + 与()有相同的单调性; √()(为偶数时)的单调区间的变化. ②(),?()与()有相反的单调性; 【但要注意()(当存在0使得 (0 ) = 0时)的单调区间的变化. 】 ③若( ),g()都是区间上的增(减)函数,则() = ( ) + g()在区间上也是增(减)函数. ④设( ),g()都是区间上的函数值恒正的增(减)函数,则() = ( ) ? g()在区间 上也是增(减)函数. ⑷复合函数的单调性: “同增异减” ; 由 = (), = g( )得到 = (g()),则 = (g())就称为 = (), = g()的复合函数. 能根据 = (), = g( ), = (g())这三个函数中任意两个函数的单调性,确定第三个函数的单调性. 16. ⑴ ⑵
(1 )?(2 ) 1 ?2 1 ?2

>0 <0

(1 ? 2 )[(1 ) ? (2 )] > 0 (1 ? 2 )[(1 ) ? (2 )] < 0

()在[,]是增函数 ()在[,]是减函数
1

′( ) ≥ 0恒成立. ′( ) ≤ 0恒成立.
( )?( )
1 2 2

(1 )?(2 )

⑶(1 ) ? (2 ) < [g(1 ) ? g(2 )]或|(1 ) ? (2 )| < |g(1 ) ? g(2 )|或 g(1)?g( 2) < 或| g(1)?g(2) | < 等恒成 立,求参数取值范围.关键在于:首先不妨令1 < 2.然后再通过去绝对值、去分母,移项等手段,将题设中 的不等式转化为: (1 ) ? g(1 ) < (2 ) ? g(2 ),或 (1 ) + g(1 ) > (2 ) + g(2 )等类似的形式,从而确 定: = ( ) ? g()为单调递增函数!或 = ( ) + g()为单调递减函数!然后用导数法、分离参数法等方 法彻底完成.特别地,⑷|(1 ) ? (2 )| < |1 ? 2 | 17. 函数的奇偶性:⑴(? ) = ( ) ⑵(? ) = ? ( ) ()为偶函数 ()为奇函数 ? ? ≤ ′ ( ) ≤ | ′ ( )| ≤ .( > 0)

( )?( )

()的图象关于轴对称; ()的图象关于原点对称.

说明:①奇函数 ( )的定义域若包括0,则必有(0) = 0. ②()为偶函数 ( ) = (||),常用于解不等式 (1 ) < (2 ) (|1 |) < (|2 |)或方程.

③求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式: 偶函数利用( ) = (? ) = ?,奇函数利用() = ? (? ) = ?. ④两段式的分段函数若具有奇偶性,则其构造模式(或结构特征)为(注意:必要时可合二为一! ) : 奇函数: = { ( ), > 0, =
||

? (? ), < 0.

(| |);

偶函数: = {

( ), > 0, (? ), < 0.

= (||).

18. 函数的对称性: 【会利用对称性求函数所有零点的和.】 轴对称:①( + ) = ( ? ) ( + ) = ( ? ) = ()图象关于直线 =
+ 2

对称; 【会相互转化表示成各种变式】


= ()图象关于直线 = 对称; 函数 = ()图象关于点(
+ 2

中心对称:②( + ) + ( ? ) = ( + ) + ( ? ) = 2

, 2)成中心对称. 【同上】

函数 = ()图象关于点(,)成中心对称

19. 练就火眼金睛:给出函数解析式,如果我们能直接“看出”函数的定义域、值域、零点、定点,单调性、奇偶性 (对称性)、周期性等函数性质,那么对于解决函数问题就变得比较容易了,因为利用函数性质才能解决函数问 题.而且解题速度也变得更快!
4

必修 4
20. 函数的周期性: ( + ) = ()( ≠ 0).掌握: ⑴利用( ) = ( + )( ∈ , ≠ 0)求函数值和某个指定区间上的函数解析式,或用于数形结合. ⑵给出周期为的函数在一个周期[,]( ? = )上的解析式(),求()( ∈ )的解析式: 当 ∈ ,即 ∈ [ + , + ]( ∈ )时, ( ) = ( ? ) = ? ⑶如果函数()的周期为,则函数 = ()( ≠ 0)的周期为||. 21. 常见函数恒等式推出的周期(包括数列的周期) : 【变量替换,等量代换】 ⑴① ( + ) = (),则()的周期 = 2; 【①~⑤都是直接推出 ( + 2) = ().】 ② ( + ) = ? (),则()的周期 = 2; ③ ( + ) = (),则()的周期 = 2;(为非零常数) ④ ( + ) = ( ? ),则()的周期 = 2; ⑤ ( + ) = ?(),则()的周期 = 2; ⑵若()关于点(,0),(,0)对称,则()是周期函数,且 = 2| ? |; ⑶若()图象有两条对称轴 = , = ,则()是周期函数,且 = 2| ? |; ⑷若()关于点(,0)对称,且关于 = 对称,则()是周期函数,且 = 4| ? |; 【若一个函数()具有“⑴对称性Ⅰ:中心对称或轴对称;⑵对称性Ⅱ:中心对称或轴对称;⑶周期性”中的 任意两个条件,则第三个也必然成立.即在⑴⑵⑶中可以“知二求一”.在客观题中对于③④⑤要学会运用 图象迅速观察出周期,即掌握对称中心、对称轴之间的距离与周期的关系. 】 ⑸ ( + ) = 1?(),则()的周期 = 3; 【先推出 ( + 2) = ? = 1 ? (),则 ( + 3) = ? = (). 】 ( + ) = 1 ? (),则()的周期 = 3; 【先推出 ( + 2) = ? = 1?(),则 ( + 3) = ? = (). 】 ⑹ ( + ) = 1?(),则()的周期 = 4; 【先推出 ( + 2) = ? = ? (),则 ( + 4) = ? = (). 】 ( + ) + ( ? ) = ,则()的周期 = 4; 【先推出 ( + 2) = ?(),则 ( + 4) = ? = (). 】 ⑺ ( + 2) =
1+(+) () 1+() 1 1 1 1 1 1 1



, 则()的周期 = 5; 【先推出 ( + 3) = ? =

1+()+(+) ()(+)

, 则 ( + 5) = ? = (). 】

⑻ ( + 2) = ( + ) ? (),则()的周期 = 6; 【先推出 ( + 3) = ? ( ),则 ( + 6) = ( ). 】 ⑼有时可由两个函数型不等式联立推出周期.如:由 ( + 10) ≥ ( ),( + 1) ≤ ( )得( + 1) = (). 【∵ ( ) ≤ ( + 10) ≤ ( + 9) ≤ ? ≤ ( + 1),∴( + 1) ≥ (),从而 ( + 1) = (). 】

必修 1
22. 两个函数图象间的变换及函数关系: 【会根据变换写出解析式】 ⑴平移变换:① = ( )→ 【注意】 = ( )→
左右平移个单位 左加右减

= ( ± ) ( > 0);② = ( )→

上下平移个单位 上加下减


= ( ) ± ( > 0); = ( ± ) ( > 0).

左右平移个单位 左加右减 翻折变换

= [( ± )] ( > 0), = ( )→ ② = ( ) →

左右平移 个单位 左加右减

⑵翻折变换:① = ( ) → ⑶伸缩变换:① = ( )→

下往上翻

= | ( )|; = ( );

翻折变换

作右翻左

= (||)(偶函数); = ( ).

伸缩变换

1 沿横轴伸缩 倍

② = ( )→


伸缩变换

沿纵轴伸缩 倍

【注意】如果函数()的周期为,则函数 = ()( ≠ 0)的周期为||.可类比三角函数!

5

23. (对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系: 【会根据对称性写解析式】 ①{ 关于直线 = 0(即轴)对称; = (? ). = ( ), = ?(? ). 关于原点对称; = ( ), = (), ②{ 关于直线 = 0(即轴)对称; = ? ( ). = ( ), ④{ 关于直线 = 对称. = (2 ? ).

③{

24. 掌握几个常用函数的图象的快速作图! ⑴反比例型函数: = + ( ≠ 0, ≠ ) →
+ 分子常数化

= ? + 0 的图像是双曲线,其对称中心为点(0 ,0 ),
0



其图象可由 = 变换得到. 【可根据对称中心(0 ,0 ),先画出两条渐近线,再根据的符号画出双曲线! 】

0 0 0 2√ ?√ √

0


?2√

= + 0 ( < 0) ? 0

= + 0 ( > 0) ? 0


=

= + ( > 0)

⑵双勾函数: =

2 +

= + ( > 0).

⑶含绝对值的函数: ( ) = 1 | ? 1 | + 2 | ? 2 | + ? + | ? | + .用零根分段去绝对值法变分段函数, 显然每段均为一次函数或常数. 因此, 图象特征为: 由两条射线和 ? 1条线段组成, 线段都在中间且依次相连, 两条射线在两端,线段的各个端点横坐标就是各绝对值的零点.画图时可以先在轴上标出1 ,2 , ? , , 再确定线段的各个端点(1 ,(1 )),(2 ,(2 )),? ,( ,( )),而两端射线的起伏可以通过取点而确定.
(, ) 1 2 3 …… ?1 ⑴ (, ) ⑴

①1 = 2 = ? = 1时,()的最值如何求最简单? ②特别地,要掌握( ) = | ? | + 的快速作图,如果其对称轴或定义域含参数,讨论方法与二次函数极为 类似! ⑷某些含根式的函数 = ()的图象可以通过对解析式变形,变形为曲线方程(,) = 0来判断. 如:( ) = 1 + √4 ? ( ? 3)2 ? = 1 + √4 ? ( ? 3)2 ? ( ? 3)2 + ( ? 1)2 = 4( ≥ 1),其图象为半圆. | ? 1| + | + 1| + 2|| = 4 ? = 2 ? (| ? 1| + | + 1|). ⑸某些含绝对值符号的曲线方程可以变函数去作图.如: 2 25. 对于分段函数,在数形结合时,一定要注意到它的图象是否是一条连续不断的曲线. 研究分段函数时,既要分段研究,又要整体考查. 26. 正数的指数幂的运算性质( > 0, > 0) : ⑴ = √ ; ⑸() = ? ;


1

⑵? =






1

=



1





⑶ ? = + ; ⑺() = . = log 】


⑷( ) = ;

⑹ = ? ;

27. 对数的运算性质( > 0,且 ≠ 1, > 0, > 0): 【 = ⑴log ( ? ) = log + log ; ⑵log


= log ? log ;

⑶log = log .

28. 对数的一些等式:(其中, > 0,且 ≠ 1, > 0,且 ≠ 1) ①log 1 = 0; ②log = 1; ③log = ; ④log = . ⑤当 ≠ ,且|log | = |log |,则 = 1. 29. 换底公式:log =
log log



推论:①log =
6



log ;

②log = log ;

③log = log .


1

30. ⑴掌握指数函数 = ,对数函数 = log 的图象与性质(其中 > 0,且 ≠ 1) .
0 < < 1 > 1 (0,1)
( > 1)

图 象 定义域 值域 性质

(0 < < 1)

=

(0,1)

=



0 < < 1 = 1 (1,0)

> 1 = 1 = log (1,0)

图 象 定义域 值域 性质



( > 1)

= 1

= 1

(0 < < 1)

= log

(0, + ∞) (1)过定点(0,1) ,即 = 0时, = 1 (2)在上是减函数 (2)在上是增函数

(0, +∞) (1)过定点(1,0) ,即 = 1时, = 0 (2)在(0, +∞)上 (2)在(0, +∞)上 是减函数 是增函数

注意:对于 ( ) = | log |,当 ≠ ,且() = (),则 = 1. ⑵掌握幂函数 = 的图象与性质( = 1,2,3, 2 , ? 1) : 右边几个函数的图像都只画出第一象限内的部分, 二三象限内的图像可根据定义域,奇偶性确定! 当 > 0时, = 在(0, + ∞)是增函数; 当 < 0时, = 在(0, + ∞)是减函数. 31. ① = log 与 = 互为反函数; ②互为反函数的两个函数的图象关于直线 = 对称,反之亦然. ③点(,)与′ (,)关于直线 = 对称. 32. 零点定义:对于函数 = ( ),使得 () = 0的实数叫做 = ( )的零点.即函数 = ()的零点就是方程 ( ) = 0的实数根, 也就是函数 = ( )的图象与轴交点的横坐标. 因此, 方程 ( ) = 0有实数根 的图象与 轴有交点 函数 = ( )有零点. 函数 = ( )
1

③ = ( < 0) ② = ( > 1) = (1,1) ① = (0 < < 1)



33. 连续函数零点判定定理: 如果函数 = ( )在区间[,]上的图象是一条连续不断的曲线, 并且有 () ? () < 0, 那么函数 = ( )在区间(,)内有零点,即存在 ∈ (,),使得( ) = 0,这个 也就是方程 ( ) = 0的根(亦 即()的零点) . 34. 二分法定义:对于在区间[,]上连续不断,且满足 () ? () < 0的函数 = ( ),通过不断地把函数( )的零 点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 35. 根据含参数函数的零点个数,求参数取值范围的方法(无论客观题还是解答题,基本上都是要善于数形结合) : ①函数( ) = ( ) ? g()有(个)零点 方程 ( ) ? g( ) = 0有(个)实数根 方程 ( ) = g()有(个)实数根 函数 = ( )与 = g()的图象有(个)交点. (相互转化要熟练) ②分离参数法:方程 = ()有个根 【注意区别】 方程 = ()有根 36. 求值域、最值的方法 ⑴观察法:主要针对一些简单函数,或作简单变形后观察,即可求出值域或最值. ⑵配方法(对称轴法) :对于形如( ) = 2 + + , ∈ [,]形式的二次函数,利用配方法或直接利用对称 轴 = ?
2

= ()的图象与直线 = 有个交点.

∈ {| = ( )}.

完成.可以结合图象完成求值域或最值. 【配方其实也是为了找出对称轴! 】

⑶换元法:代数换元法,三角换元法.运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略. 使用换元法时,一般来说,需求两次值域:一次在换元时求新元的取值范围,一次在换元后求新函数值域. ① = + + √ + ,令 = √ + ,则 = (). (注意:该函数有时可直接快速判定单调性! )
7

② = (),令 = (),则 = ; ④ = ( ),令 = ,则 = (); ⑥令 + ? = ,则2 + ?2 = 2 ? 2( ≥ 2);


③ = log (),令 = (),则 = log ; ⑤ = (log ),令 = log ,则 = (); ⑦令√1 ? + √1 + = ,则√1 ? 2 =
2 ?2 2



⑧ = + ± √ 2 ? 2 ,令 = sin, ∈ [? 2 , 2 ],或令 = cos, ∈ [0,]. ⑨ ∈ 时,令 = tan, ∈ (? 2 , 2 );如 = 1+2 2+ 4. ⑩令sin + cos = ,则sincos = ⑷图象法(数形结合法) : ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求( ) = max{1 ( ), 2 ( )}或( ) = min{1 ( ),2 ( ),3 ( )}的值域,可先分别作出其中所含函数: 1 ( ),2 (), ? , ( )的图象,再利用它们的交点分段确定()的图象,从而确定值域或最值. ③根据函数表达式的几何意义【分式是否有斜率的含义?平方和的算术根是否有距离的含义?】作出图象,求 出值域或最值.如求 = √ 2 ? 2 + 2 + √ 2 ? 4 + 8的最小值. ⑸单调性法:若函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域或最值. ⑹基本(均值)不等式法:先转化成 = + ( > 0)的形式,再利用
+ 2 2 ?1 2 ? 3

. (直观实用!)■

(优先考虑!)■ ≥ √或
++ 3

≥ √(一正、二定、

3

三相等)等公式来求值域或最值,一定要看等号能否成立,否则用数形结合法(双勾函数) 、单调性法完成, 【还 可注意柯西不等式的应用. 】 ⑺有界性法:含 2 ,| |,√,( ∈ (,)), ,sin,cos的函数,若可用表示它们,则利用其有界性可求 值域.
2 2 ⑻判别式法:用于 = ( ) = 1 2+1+1. (1 + 2 ≠ 0,分子、分母无公因式,且无人为限制. )
2 2 2

2 + +

先化成(2 ? 1 ) + (2 ? 1 ) + (2 ? 1 ) = 0, 再运用?≥ 0求值域 (但要注意讨论二次项系数为0的情况) . 附:若含参数的函数( ) = 1 2+1+1的值域为[,],求所含参数的值.
2 2 2

2

2 + +

方法①:利用判别式法;方法②:利用 ≤ 1 2+1 +1 ≤ 恒成立且等号也可成立.
2 2 2

2 + +

⑼导数法:通过求导研究函数的单调性,确定极值与端点值,从而得出值域或最值. 37. 对于含参数的函数求值域或最值,最常用的方法是数形结合、分类讨论.

(万能方法!)■

【分类讨论法】通常先作出函数的一般图象(形状),再由函数图象左右移动悟出讨论标准! 38. 已知函数 = ( )( ∈ ),若 ∈ [,]时,值域为[,](或[ , ]等情形) ,求,的值. 先求出函数 = ( )( ∈ )的值域 ,则由[,] 可得或的限制条件,再考察 = ( )在[,]单调性,


主动求出值域,然后与值域[,]联系起来,则不难解决问题. 39. 已知含参函数()的最大(小)值为 ,求参数的值: 方法 1:主动求出函数()的最大(小)值,然后与已知吻合,而求出参数的值; 方法 2:转化为“( ) ≤ ( ( ) ≥ )恒成立,且等号也成立” ,然后考虑用分离参数法完成. 40. ? ∈ , ( ? 1) ≤ ()(或 ( + 1) ≥ ()等),求参数取值范围:这种问题中,()一般有多个零点,利用距 离最远的两个零点1 ,2 ,满足|1 ? 2 | ≤ 1,即可求出参数取值范围. 41. ( + ) ≤ ()( > 0)对 ∈ [,]恒成立,通常()的表达式含||(单调奇函数的情形多) ,先利用区间 其中一个端点值代入, 得出的初步取值范围 (根据 = ( + )与 = ()的增长速度, 数形结合也可分析出) , 再用区间另一端点值代入,即可得出的准确取值范围.
8

选修 1、2 系列
42. ⑴函数 = ( )在 = 0 处的瞬时变化率(导数) :′(0 ) = ′|=0 = lim ⑵ ( )的导(函)数′():′( ) = ′ = lim
Δ Δ→0 Δ Δ Δ→0 Δ

= lim

(0 +Δ)?(0 ) Δ

Δ→0

(常数).

= lim

(+Δ)?() Δ

Δ→0

. 【斜率函数 = ′( )】

⑶导数的几何意义:函数 = ()在 = 0 处的导数′(0 )就是曲线 = ()上的点(0 , (0 ))处切线的斜率, 即 = ′ (0 )=′|=0 ,因此切线方程是: ? 0 = ′(0 )( ? 0 ). ①已知切线的斜率,则由 ′ (0 ) = ,可求出切点坐标. ②若()在点(0 ,(0 ))处的切线过点(2 ,2 ),则′(0 ) = . ③直线与二次函数或二次曲线相切时,也还可考虑用判别式法. ④切线与曲线在切点处仍然有可能是相交的!如 = 3 在 = 0处的切线, = ln + +1 ? 2在 = 1出的切线. 43. 常用函数的导数公式:①′ = 0(为常数); ③(sin )′ = cos; ⑤( )′ = ln; ⑦(log )′ = ln;
() ′()g()?()g′() g2 () 1 4

②( )′ = ?1 ; ④(cos )′ = ?sin ; ⑥( )′ = ; ⑧(ln )′ = .
1

【()′ = ? 2,(√)′ = 2 ; 】


1

1

1

【求导后奇偶性互变,周期性不变】

【(ln||)′ = (ln √ 2 )′ = (2 ln 2 )′ = . 】 ②[( ) ? g()]′ = ′()g() + ( )g′(); ④[ ( )]′ = ′();

1

1

44. 导数的运算法则:①[( ) ± g()]′ = ′() ± g′(), ③[g()]′ = ;

′ ′ ′ ⑤复合函数的求导: = ? . 【仅限于形如( + )的复合函数.】

说明:给出含 ( ),′()及基本初等函数的不等式,其实是暗示某个函数的单调性,这就要求根据所给不等式的 特点及导数的运算法则构造出这个函数,客观题中,如果函数能具体化,当然更好.

45. 利用导数与数轴研究函数单调性、极值、最值、值域等问题的具体步骤(熟练之后,有些步骤可以简化): 第一步:确定函数()的定义域;定义域为时,可省略不写;另外,为求导方便,函数解析式可适当整理; 第二步:求 ′ ( ),并可适当整理;尽量将′()整理成( ? 1 ),( ? 2 ), ? ,( ? )之积商的形式; 第三步:解出方程 ′ ( ) = 0在定义域内的所有实数根; (数轴上先标注出定义域、以及 ′ ( ) = 0的根) 第四步:将函数′(),()随的变化情况分段标注在数轴上下;
′() () 1 2 3 ?
上标正负 下标起伏

? = ? ( > ), ? = ? ;

【注意】若 ′ ( ) = 0无偶次重根且()无间断点,则在各区间上,′()的正负、()的增减性交替出现! ′ ( ) = 0的偶次重根的两侧不变号,但()的间断点(即分母为 0 的根)的两侧则不一定! 第五步:确定 ( )的极值. 46. 微积分基本定理:一般地,如果()是区间[,]上的连续函数,并且 ′ () = (), 【(( ) + )′ = ()】 那么∫ () = () ? ().简记为∫ () = ( )| = () ? ()(常数). ⑴注意利用定积分几何意义求定积分:利用函数图象的特殊性直接求解(即求面积) . 求值:①∫ √4 ? 2 ; ?1 ③∫ (| ? 1| + | ? 2|); 0
1 4 1 3 1 3 3

②∫ (√9 ? 2 ? 2)(= ∫ 2) ; √9 ? 2 ? ∫ 0 0 0 ④∫ sin; ?1
1

⑤∫ | 2 ? 1|(分段积分). 0
1

4

例:若( ) + ∫ () = ,则 ( ) =_______.答案: ? 4.【注意∫ () = 为常数,则 ( ) = ? 】 0 0 ⑵定积分的基本性质:①∫ ( ) = ∫ ( )(为常数) ; ②∫ [ ( ) ± 2 ( )] = ∫ ( ) ± ∫ ( ); 1 1 2 ③∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) ( < < ). (分段积分,主要用于分段函数)
9


⑶定积分的定义(四步曲:分割、近似代替、求和、取极限): (体会“以直代曲” , “以不变代变”的思想) () = lim ∑ ∫
? →∞=1

( ), ∈ [?1 , ], = 1,2, ? ,.
2 3 10000 20000

例:已知 = 20000 (sin 20000 + sin 20000 + sin 20000 + ? + sin A.0.99818
π

),则与的值最接近的是( D.1.59999



B.0.9999

C.1.0001

2 sin = 1, 为的过剩近似值.】 答案:C【 = ∫ 0

47. 证明函数型不等式( ) ≥ g()的方法:首先观察不等式( ) ≥ g()是否需要进行适当的变形: ( ) ≥ (), 方法一:差值函数法,令?() = ( ) ? (),转化为证明?( )min ≥ 0; 【常用】 方法二:最值比较法,( )min ≥ ( )max. 【不常用】

变式:已知参数取值范围,证明含参数不等式恒成立,依然可以采取由恒成立求出参数取值范围,或分离参数后 证明函数大于(或小于)参数的临界值. 48. 三次函数( ) = 3 + 2 + + 的图象:(零点个数为 1 个或 2 个或 3 个三种情形) > 0时,其图象为型,解析式为( ) = ( ? 1 )( ? 2 )( ? 3 ) + , 或单调型,解析式为 ( ) = ( ? )3 + . 49. ⑴几个重要函数不等式(及其变式): ①sin < < tan( ∈ (0, 2 ));


② ≥ + 1;

③+1 ≤ ln(1 + ) ≤ ( > ?1).



⑵① ′′ () > 0可用于检验点是不是极小值点(在客观题中). ②′′ () < 0可用于检验点是不是极大值点(在客观题中). ⑶方程 ′ ( ) = 0的根:①直接解出,②直接看出,③存在但解不出的,则可设为0,并确定其所属范围; 方程′( ) = 0的根有时要用观察法找出,如 = 0, = 1, = ?1, = , = 等简单常数! 或结合′( )的单调性,利用函数零点判定定理,由 ′ () ′ ( + 1) < 0判定′( )的零点0 ∈ (, + 1). ⑷若对? ∈ [, + ∞),( ) ≥ 0恒成立(或对? ∈ [, + ∞),( ) ≤ 0恒成立) ,求参数取值范围. 含参转化法(或带参转化法) :在分离参数法不易解决或不能分离参数时使用.勾形函数模型较为常见: ⑸熟悉符号[]、{ }的含义:[ ] =不超过的最大整数;{ } =不小于的最小整数; 对于函数([])、({ }),如需讨论化简,往往分 ∈ [, + 1),或(, + 1], ∈ 情形进行. 注意:(0, ] = (0,1]?(1,2]?(2,3]? ? ?( ? 1, ]. ⑹要证明维函数型、数列型不等式,可先证明 2 维不等式,再推广即可,因为 2 维不等式更容易探索证题思路.
1

例 1.(1)讨论函数( ) = ln ? + 解: ′ ( ) = ?
(?1)(+?1) 2

1?

+ 1的单调性. 【含参转化法! 】
1

( > 0). 【讨论标准为 = 0, 2. 】 ,讨论过程略.
1?

(2)已知函数( ) = ln ? + ①求实数的取值范围;

+ 1,若 ( ) ≤ 0对定义域内的恒成立.
2

②对? ∈ [0, ],求证: (1 ? sin ) ≤ (1 + sin ).

解:① ≥ 1.②换元法、比较法、放缩法、导数法.

10

版块 3


三角函数与平面向量

必修 4

50. 三角函数定义:①sin = (= ),②cos = (= ),③tan = .一全正,二正弦,三正切,四余弦. 51. 同角三角函数的基本关系式: ⑴平方关系:sin2 + cos2 = 1; ⑵商数关系:tan = cos. (知一求二)
1 1 sin



⑶(sin ± cos )2 = 1 ± 2sincos = 1 ± sin2.⑷(sin + cos )2 + (sin ? cos )2 = 2. (知一求二) 52. ①弧长公式 = ? , ②扇形面积公式 = 2 = 2 2 ,

③九组诱导公式:纵变横不变,符号看象限(公式会正用、逆用) . 53. 函数 = sin( + )的图象( > 0, > 0):五点作图法,及图象变换: 图形变换 1: = sin → 图形变换 2: = sin →
①相位变换 平移||个单位

= sin( + )→

②周期变换
1 伸缩 倍

= sin( + )→

③振幅变换 伸缩倍

= sin( + ).

①周期变换
1 伸缩 倍

= sin( )→

②相位变换

平移| |个单位

= sin( + )→

③振幅变换 伸缩 倍

= sin( + ).

54. 三角函数图象与性质: = sin, = cos, = tan 的图像与性质 【定义域,周期性,奇偶性(对称性) ,单调性,最值(值域) 】 .
函数 = sin = cos = tan

?

?

2

1 2 ?1 = sin

3 2

2

?

?

2

1 ?1

2 = cos



3 2 2

3 ? ? 2

?

2

图象



2



3 2

五点作图法

五点作图法

= tan

三点两线作图法 定义域 值域 最值
2

[?1,1] 当 = + 2( ∈ ),max = 1; 当 = ? + 2( ∈ ),min = ?1; 在[? + 2, + 2]( ∈ )上递增;
2 2 2

[?1,1] 当 = 2( ∈ ),max = 1; 当 = + 2( ∈ ), min = ?1; 在[? + 2, 2]( ∈ )上递增; 在[2, + 2]( ∈ )上递减; 偶函数 关于直线 = ( ∈ )对称 关于点( + , 0)( ∈ )对称
2 2

{| ≠ + , ∈ } 无

2

单调性 奇偶性

在[ 2

+

3 2, 2

在(? + , + )( ∈ )上递增; 奇函数

+ 2]( ∈ )上递减; 奇函数

2

关于直线 = + ( ∈ )对称 对称性 关于点(, 0)( ∈ )对称

2

关于点(

, 0)( 2

∈ )对称

都是在对称轴处取最值,对称中心都是与平衡位置(直线)的交点. = 2 周期性
( > 0)

= 2
2

=
2

= sin( + )的周期 =

= cos( + )的周期 =

= tan( + )的周期 =



注意对称中心、对称轴间的距离与周期的关系!

对称中心间的距离与周期的关系!

注意 = sin( + ) + 与 = cos( + ) + 的图象与性质,及,的符号对函数的影响!这两个函数在对称轴 = 0处 的导数值均为 0,即 ′ (0 ) = 0.要会利用正弦、余弦曲线,类比、归纳,解决 = sin( + )、 = cos( + )相关问题!
2 1 ?1 4 2 5 3 4 2

?

?



2

= cos

= sin

11

55. 三角恒等变换公式:①cos( ± ) = coscos ? sinsin ; ②sin( ± ) = sincos ± cossin ; ③tan( ± ) = 1?tantan . 变形公式:tan + tan = tan( + )(1 ? tantan); 变形公式:tan ? tan = tan( ? )(1 + tantan). 56. 二倍角公式:①sin2 = 2sincos(= sin2+cos2 = 1+tan2); ②cos2 = cos 2 ? sin2 = 2cos 2 ? 1 = 1 ? 2sin2 (= sin2+cos2 = 1+ta2); ③tan2 = 1?tan2 . (tan2 ? tan 相互求值) 降幂公式:①sin2 α =
1?cos2α 2 2tan cos2 ?sin2 1?tan2 2sincos 2tan tan±tan

,②cos 2 α =

1+cos2α 2

. 【重点掌握】

升幂公式:①1 ? cos 2 = 2sin2 , ③1 + sin2 = (sin + cos )2 ,

②1 + cos 2 = 2cos 2 . ④ 1 ? sin2 = (sin ? cos )2 .
2

57. 辅助角公式:sin ± cos = √2 + 2 sin( ± ). (, > 0,是方程 tan = 在(0, )内的解. ) 58. 给值求值的问题,关键在于发现已知角与未知角之间的关系:它们的和或差是否为特殊角,是否有二倍关系?是 否需要逆用诱导公式?

必修 5
59. 解三角形:在Δ中, 正弦定理:sin = sin = sin = 2. (为?的外接圆半径) ;“化边为角”,“化角为边”. 余弦定理:①2 = 2 + 2 ? 2cos;②cos =
2 + 2 ? 2 2



正余弦整合定理: sin2 = sin2 + sin2 ? 2sinsincos. 60. 三角形面积公式:,分别为?的外接圆、内切圆半径 ① = 2 ? (? 表示边上的高). ② = 2 sin = √( ? )( ? )( ? ) =
1 1 4 1

= ( + + ),其中 =



++ 2



????? = (1 ,1 ), ????? = (2 ,2 ). ③ = 2 |1 2 ? 2 1 |,其中 61. 三角变换常需结合代数变换. 三角变换:利用三角函数公式的变换. 代数变换:配方、因式分解、通分、去分母、约分、移项、分母有理化、分子有理化、合并同类项、化最简根式、 平方、开方、取对数等.

必修 4
? = (2 ,2 ),则// ? 62. ⑴平面向量共线定理:若 = (1 ,1 ), ? = 1 2 ? 2 1 = 0
1 2

= 1 .
2



⑵平面向量基本定理:如果1 、2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有 一对实数1 、2 ,使 = 1 1 + 2 2. 【用平方法可以求模长,夹角,实数1 ,2 . 】

? ,作 ? ,则∠ = (0° ≤ ≤ 180°)叫做向量与 ? 的夹角. ????? = , ????? = ⑶向量的夹角:已知非零向量, ????? ? ????? ⑷????? ? ????? = ? 【这样转化一下,向量的夹角不容易出错! 】 ? = (2 ,2 ),则 63. 平面向量:若 = (1 ,1 ),
2 2 ⑴|| = √1 + 1 ;

? = ||| ? |cos = 1 2 + 1 2 ; ⑵ ?
12

? ⑶// ? ⑷ ⊥

? = ? =0 ?

1 2 ? 2 1 = 0; ? 都是非零向量); 1 2 + 1 2 = 0(其中,
? ? ? | ?|

? 在方向上的投影= | ? |cos = ⑸向量 64. 数量与向量的转化(平方法) : ? | = √( + ? )2 求模. ①利用 | +

(后者适用于坐标背景) .

? | = ,则平方后展开可求数量积、夹角,或构造几何图形求解; ②已知 | + ? + = 0 ? ,通过移项平方或同乘其中一个向量,总可以求某个向量的模,或某两个向量的夹角. ③对于 + 65. ⑴三角形中线向量定理:?中 边的中点为 ???????1 + ???????2 ,则1 ,,2 三点共线 ⑵已知????? = ??????? ???????? 1 = 1 2 ?
减法分解 1 ????? ????? ) = 2 (????? +

????? ????? = 2 ????? . +

+ = 1. 其中,不能在直线1 2 上. (或者说动点的轨迹是直线1 2 ). ????? + ????? + ????? = 0 ?.

????? ???????2 = (1 ? )??????? 1 +

⑶设为Δ所在平面上一点,则为Δ的重心

????? + ????? + √3 ????? = 0 ? ,则 =___.答案:. 如:若?三边, , 的对角分别为, , ,重心为,且 3 6 ⑷三角形的重心坐标公式:设(1 ,1 ),(2 ,2 ), (3 ,3 ),则?的重心坐标为( 66. 解决向量问题的常用方法:向量分解法,向量坐标法. ? 表示某向量(即向量分解表示) 67. 在平面几何图形中,用一组基底, : 方法一(几何法):利用向量的加减法、共线定理(短变长、长变短)主动分解转化,常需用好平面几何中的一些 性质及定理,如利用相似三角形或平行线分线段成比例,也常需利用等分点作辅助(平行、延 长)线.有时还可考虑同时将两个未知向量用基底分解表示,建立方程组. ? ,再利用向量共线系数等比(两次) 方法二(代数法):先设 = + ,得方程组,解出,. 方法三(特例法):在客观题中,取特殊的多边形,便于建立直角坐标系,从而求出向量坐标而解决问题. ????? , ????? , ????? (即告知模及夹角),若 ????? = ????? + ????? ,求,. 68. 已知 ????? |、| ????? |后, 方法一(补形法):补形为平行四边形后解三角形!如图,在Δ 中由正弦定理求出| ????? = ????? ????? , ????? ????? ,即可分别求出,. 由 + ????? 及????? = = ????? = ????? + ????? 坐标化后解方程组即可. 方法二(坐标法):若是在坐标平面中(或主动建立坐标系),则由 方法三(同乘法):{ ????? ? ????? = ????? 2 + ????? ? ????? , 解此方程组即可. ????? ? ????? = ????? ? ????? + ????? 2 .
1 +2 +3 3



1 +2 +3 3

).





????? = ????? ,且,,三点共线,则 ????? = ????? + ????? ? + = 1. 方法四(共线法):若 ? 的夹角 为锐角 69. ①与 ? 同向 ③与 { ? >0 ? ; ? 排除// { ? // ; ? >0 ? ? 的夹角 为钝角 ②与 ? 反向 ④与 { ? <0 ? . ? 排除// {



? = ( > 0)

? = ( < 0)

? // . ? <0 ?

13

版块 4

数列、推理与证明、算法初步 必修 5

70. 等差数列:⑴通项公式 = 1 + ( ? 1); 【定义:+1 ? = 】 ⑵前项和公式:① =
(1 +) 2

(均值型) ;② = 1 +

(?1) 2

(基本量型) . .

⑶若,,成等差数列,则叫做,的等差中项,显然 =

+ 2

⑷若 + = + (,,, ∈ ? ),则 + = + ; 若,,成等差数列,则 , , 成等差数列. ⑸等差数列{ }的连续项的和构成的数列: ,2 ? ,3 ? 2 ,…,仍为等差数列. (公差为2 ) . 71. 等比数列:⑴通项公式 = 1 ? ?1 ; 【定义:
+1

= 】
1 (1? ) 1?

⑵前项和公式:当 = 1时, = 1 ;当 ≠ 1时, =



⑶若,,成等比数列,则 叫做,的等比中项,显然 2 = , = ±√. ⑷若 + = + (,,, ∈ ? ),则 = ; 若,,成等差数列,则 , , 成等比数列, ⑸等比数列{ }的连续项的和构成的数列: ,2 ? ,3 ? 2 ,…,仍为等比数列. (公比为 ,且 ≠ ?1) . 72. ⑴ 与前项和 的关系: = { ⑵若 = { 1 , = 1,

? ?1 , ≥ 2.

(),为奇数; ()+g() ()?g() 则 = + (?1)?1 .(合二为一) 2 2 ( ) g ,为偶数.

73. 解答题中给出递推关系+1 = ( ),或 = ( ),或 = ( ),求通项公式 问题: ⑴混合型:如果给出的是含 , 的混合关系式,则可利用 = ? ?1 ,将混合关系式统一为+1 = ( ), 或将混合关系式统一为+1 = g( )(此时也就考虑先求 ,再求 ) . 【变量替换、两式相减(除)】 ⑵提示型:如果是证明数列{g( )}为等差数列或等比数列,比较简单,按等差或等比的定义去处理即可;有时是 要求数列{g( )}的通项公式,那么则往往意味着{g( )}为等差数列或等比数列; ⑶主动型:如果直接要求通项公式 ,那么就需要自己主动朝等差数列或等比数列转化,即会自己构造新的数列 {g( )},使之为等差数列或等比数列,这就需要我们平时积累对+1 = ( )的变形经验. 与等差、等比数列有关的递推数列: ①+1 =

+

1 +1

= + 【取倒数】? { }是首项为 ,公差为的等差数列;
1

1



1

1



②+1 = + +1 ③+1 = +
1

+1 +1

1 = + 【除幂数】? { }是首项为 ,公差为 的等差数列;







+1 + = ( + )【待定系数法】
1 +1 1

? { + }是首项为1 + ,公比为的等比数列; ④+1 =
2 +2

= 2 ? + 2 【取倒数】变成③研究.
1 1

⑤+1 = + () ⑥+2 ? = ⑦
+2

+1 + ( + 1) = ( + ())【拆项化等比】


+2 ? ( + 2) ? 2 = ? ? 2 【隔项等差数列、常数列】 =(
√)

=

+2 (√)+2

【隔项等比数列、常数列】

⑷归纳型:先求出数列的前几项(至少 3~5 项) ,然后归纳出通项公式,再用数学归纳法证明. ⑸莫忘记还有叠加法、叠乘法.
14

74. 数列求和常用方法:关键是注意数列的通项结构(可整理,或列举观察),并且要准确判断项数. ⑴公式法:等差、等比等特殊数列;求和公式:12 + 22 + 32 + ? + 2 =
(+1)(2+1) 6



如1 + 4 + + 10 + ? + (3 + 10) = (项数是多少?利用通项公式 = 3 ? 2.) ⑵并项法:彼此相邻的若干项的和为特殊数列,往往要展开多项进行观察. 如① = (?1) (4 ? 3);② = (?1)?1 (2 ? 1)2;求16 ,21 , . ① = ?1 + 5 + (?9) + 13 + (?1 ) + 21 + ? = 4 + 4 + 4 + ? ② = 12 ? 32 + 52 ?
2

+ 92 ? 112 + ? = (?8) + (?24) + (?40) + ? 先偶后奇!
1 1 1

注意:若为偶数时, = (),则为奇数时, = ?1 + = ( ? 1) + . ⑶裂项法:分式裂项基本模式 = ? = ? ( ? ) ? ?; ① = (+2) = 2 ( ? +2); ③ =
1 √+1+√ 1 1 1 1 1 1 1 1

② = (3?2)(3+1) = 3 (3?2 ? 3+1);
2 1 1 1 1

1

= √ + 1 ? √;④ = (?1)(+1) = 1 + (?1)(+1) = 1 + 2 (?1 ? +1);

⑤ = (2 + 3) = 22 + 3; 【分式数列用裂项法求和时,合并之后前后留下的项具有对称性!叠加法、叠乘法亦有此特点. 】 ⑷分组法:用于{ ± }之类数列求和,如 = 2 + 3 ? 2; = ( + )2 , 【 ∑ ( ± )= ∑ ± ∑ . 】
=1 =1 =1 1

当其中{ }为等比数列,{ }为等差数列,则 =

1 (1?) 1?

+

(1 +) 2

( ≠ 1), = 1 +

(1 +) 2

( = 1),

即针对数列特点,直接求和.(可以不展开,这样就节省了书写时间.) ⑸错位相减法:用于{ ? },{ }之类数列求和,其中{ }为等差数列,{ }为等比数列; = ( + ) ;


如 = (2 ? 1) ? (2) , = (3 + 1) ? 5 ,但当 = (?1) 时,用并项法求和更简单!
⑹倒序相加法:如 = ;又如:若 ( ) + (1 ? ) = 1,求 () + () + () + ? + ( 1 2 3 ?1

1

).

⑺分段讨论法:如 = |2 ? 25|; ⑻数学归纳法:由1 ,2 ,3 ,4 ,5 归纳出 的表达式,然后证明; ⑼寻找通项公式法:求满足1 ≤ ≤ ≤ 的所有 的和 , = 1 1 + (1 + 2 )2 + ? + (1 + 2 + ? + ) ,通项公式 = (1 + 2 + ? + ) . 变式:求满足1 ≤ < ≤ 的所有 的和 ,则 = 求满足1 ≤ ≤ ≤ 的所有 的和 ,则 = ⑽利用递推关系求和:如+1 + = + ,对分奇偶,求 . 利用周期性、规律性求和:如 = 2 (cos2
3
2 + 2 +?+ 2 ) (1 +2 +?+)2 ?(1 2

2 2

.

2 + 2 +?+ 2 ) (1 +2 +?+ )2 +(1 2

.

? sin2

3

),求3 ,3 .

必修 3
75. 对于算法步骤、程序框图、程序问题,现阶段主要是会读图,会执行,会补充. 76. ①由十进制数 ?1 ? 1 0 可表示为 ? 10 + ?1 ? 10?1 + ? + 1 ? 10 + 0 ? 100,推广即得下面的公式, 将进制数化为十进制数的公式: ?1 ? 1 0() = + ?1 ?1 + ? + 1 + 0 0 . ②将十进制数化为进制数的算法称为:除取余法. 【笔算:短除法方式进行,直到商为 0,然后余数由下往上连读. 】 ③辗转相除法,更相减损术:求两个数的最大公约数的一种方法. ④秦九韶算法:计算一元次多项式的值的一种方法. 右边整理即得十进制数

15

77. 等差数列与等比数列(对比归纳) 等差数列 定义 一般形式 通项公式 前项和 公式 中项 +1 ? = (常数) 1 ,1 + ,1 + 2,1 + 3,… = 1 + ( ? 1), = + ( ? ) =
(1 +) 2 +1

等比数列 = (非 0 常数)

1 ,1 ,1 2 ,1 3,… = 1 ?1 , = ? = 1时, = 1 ; ≠ 1时, =
1 (1? ) 1?

, (均值型)
2

= 1 +

(?1)

.(基本量型)
+ 2

,或 =

1 ? 1?

.

与的等差中项是 =

与的等比中项是 = ±√( > 0) ⑴若 + = + (,,, ∈ ? ), 则 = ;
2 ⑵ + = 2(,, ∈ ? ),则 = .

⑴若 + = + (,,, ∈ ? ), 则 + = + ; 主要性质 ⑵ + = 2(,, ∈ ? ),则 + = 2 . ⑶ ,2 ? ,3 ? 2 ,…,为等差数列. (公差为2 ) > 0时,{ }为递增数列; 增减性 < 0时,{ }为递减数列; = 0时,{ }为常数列; 两者联系 { }( > 0, ≠ 1)是等比数列. ①+1 = 递推数列

+

⑶ ,2 ? ,3 ? 2 ,…,为等比数列. (公比为 ) 1 > 0 且 > 1或1 < 0 且 0 < < 1时,{ }递增; 1 > 0 且 0 < < 1或1 < 0 且 > 1时,{ }递减; = 1时,{ }为常数列; < 0,{ }摆动数列.

{log }( > 0, ≠ 1, > 0)是等差数列. ①+1 = + ②+1 =
1
2 +2

1 +1

= + ,


1



+1 + = ( + ),
1 +1

②+1 = + +1 ③+1 =


+1 +1

= + .



= 2 ? + 2 变成①研究.
1 1



1



+ +1



+1 +1 = + .

③+1 = + +1

+1 +1

= ? + .





常数列

⑴若+1 = ,则数列{ }为常数列.显然 = 1 .可快速求通项公式. ⑵若(+1 ) = ( ),则数列{( )}为常数列.显然( ) = (1 ),解方程即可得 表达式.

选修 2 系列
78. 数学归纳法:数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: 【证题之前应先把式子两边的项数判断准确! 】 ⑴(归纳奠基)证明当取第一个值0 命题成立; (有时还需验证 = 0 + 1结论正确,则假设中的 ≥ 0 + 1. ) ⑵(归纳递推)假设当 = ( ∈ ? ,且 ≥ 0 )时命题成立,证明当 = + 1时命题也成立(必须利用假设) . 由⑴、⑵可知,命题对于从0 开始的所有正整数都正确. 【这种证明方法就叫做数学归纳法】 【注意】①数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在证明与正整数有关的恒等式 () = g()或不等式 () > g()(直接利用假设) ,数的整除性|()(凑出假设是关键) ,几何问题,探求数 列的通项公式及前项和公式等问题.用数学归纳法证明不等式,常结合放缩法、分析法、或转化为函数不等式. ②由 = 时命题成立, 证明 = + 1时命题 (可先写在草稿纸上) 也成立, 一般首先要凑出 = 时命题的形式; ③数列问题要注意利用递推关系:+1 = ( ), +1 = + +1 ; = ( ),如:+1 = +1 ? = (+1 ) ? ( )【然后解方程】 ④“若 = 时命题成立,则 = + 1时命题也成立”的逆否命题: “若 = + 1时命题不成立,则 = 时命题也不成立” . ⑤函数问题中的数列型不等式,既可以考虑用赋值法(利用函数不等式) ,也可以考虑用数学归纳法.
16

版块 5

立体几何 必修 2

79. 掌握空间几何体【柱体(棱柱、圆柱) 、锥体(棱锥、圆锥) 、台体(棱台、圆台) 、球】的结构特征; 简单几何体、简单组合体的三视图(正视图,侧视图,俯视图),给出三视图还原几何体,有时需用割补法. 直观图(斜二侧画法:平行保持,横长不变,纵长减半!). 80. 空间几何体(柱体、锥体、台体、球)的表面积与体积: ⑴由于棱柱、棱锥、棱台是由多个平面多边形围成的几何体,所以它们的表面积就是各个面的面积和. ⑵圆柱的侧面积 = 2(侧面展开图是矩形),圆柱的表面积 = 2 2 + 2 = 2( + ). ⑶圆锥的侧面积 = 2 ? 2 ? = (侧面展开图是扇形),圆锥的表面积 = 2 + = ( + ). ⑷圆台的侧面积 = (′ + )(侧面展开图是扇环),圆台的表面积 = ( ′2 + 2 ) + (′ + ). ⑸柱体 = ?;
4 1 1 1

⑹锥体 = 3 ?;

⑺ 台体 = 3 (′ + √′ + )?.

⑻球 = 42 ,球 = 3 3 ;过球心与截面圆心的直线垂直于该截面,且 2 = 2 ? 2 . 81. 设长方体的长、宽、高分别为,,,则长方体的对角线长为 = √2 + 2 + 2 ; 长方体的对角线恰为其外接球的直径!因此2 = . 特别地,设正方体的棱长为,则正方体的对角线长为 = √3,其外接球直径2 = √3. 对于其他几何体,求其外接球半径,方法一:先确定球心,再求半径;方法二:补形法(补成特殊几何体). 掌握特殊几何体(正棱柱,正棱锥,正棱台等)的外接球或内切球的球心位置. 82. 直线与平面、平面与平面平行的判定定理及其性质定理: ⑴直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. ⑵两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. ⑶直线与平面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行, 则过这直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. ⑷两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 83. 直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及其性质定理. ⑴直线和平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. ⑵两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. ⑶直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. ⑷两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 84. ⑴空间点、线、平面之间的位置关系: ①空间中直线与直线的位置关系,②空间中直线与平面的位置关系,③空间中平面与平面的位置关系; ⑵空间中的三种角: ①异面直线所成的角,②直线与平面所成的角,③二面角的平面角. ⑶求角、求距离的一般步骤:一找(或作) 、二证、三求值(归结到某三角形中计算) . 对于求距离,还可以考虑用等积法. 85. ⑴四面体通过补形可得到平行六面体,平行六面体通过切割可得到四面体. 【补形与切割的思想】 ⑵正四面体可以补形为正方体. 【适当掌握正方体的常见性质,对解题是很有帮助的. 】 ⑶四面体中若有同一个顶点处的三条棱两两垂直或三组对棱分别相等,则可把它补形为长方体. ⑷四面体中若三组对棱分别垂直,则可把它补形为棱长都相等的平行六面体. ⑸棱台和圆台可以分别补形为棱锥和圆锥.

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选修 2 系列
86. 用向量分解法(选定好基底!)、向量坐标法(建好坐标系)解决空间几何位置关系的问题. ? ,平面, 的法向量分别为 立体几何中的向量方法:设直线,的方向向量分别为, ? , ,则 ⑴一般地,由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量,可以归纳如下结论: ①// ③// ⑤// ? // ⊥ ? ? // ? , ∈ ; = ? ? = 0; ? = , ∈ ; ② ⊥ ④ ⊥ ⑥ ⊥ ? ⊥ // ? ? ⊥ ? = 0; ? = ? , ∈ ; ? ? = 0.

? |) ? |)是关键! ⑵求角公式:无论向量法还是坐标法,分别计算出分子(| ? ,分母(||| ? ?| = ①设异面直线,的夹角为 ( ∈ (0, 2 ]) ,则cos = |cos?, . ?| | ? || ②设直线与平面所成角为 ( ∈ [0, 2 ]) ,则sin = |cos?, ? ?| = | . ? || ?| ③设二面角 ? ? 的平面角为 ( ∈ (0,)) ,则|cos | = | , ? || ?| 【求出|cos |的值后,根据图形,再去掉|cos |的绝对值符号! 】 ⑶求距离公式: ①点到平面的距离: =
????? ? | ?| | ?| | ? ? ?| | ? ? ?| ?| | ? ?

?















②等体积法:设点到平面的距离为 ,利用? = ? ,解方程可求出 . ????? = (2 ,2 ,2 ),利用 ????? = ????? ,即 ⑷要能熟练地求出或表示出直线上的 点坐标:已知(1 ,1 ,1 ), ????? ????? + ????? ????? + ????? ,即(1 + 2 ,1 + 2 ,1 + 2 ). = = ⑸建系问题:①若有现成的“从一点出发的三条两两垂直的直线” ,则可直接建系; ②需要添加一条或两条直线后(即作辅助线) ,使之符合“从一点出发的三条两两垂直的直线”. 优先使用简单连线即可得到“从一点出发的三条两两垂直的直线”的坐标系! ③特殊几何体可以通过补形后建系. ⑹向量分解法(选定好基底!)、向量坐标法(建好坐标系) 、莫忘记综合法(逻辑推理). 87. 法向量真是个宝,相关公式要记好,证明求值离不了:证垂直、证平行;求距离、求夹角. 因此要熟练掌握求平面的法向量: ⑴找而定之:
?

①若题中已给出线面垂直或已证得线面垂直,如: ⊥ 平面,则????? 就是平面的法向量. ②也可以根据题中条件,先合理猜想出平面的法向量,然后加以证明. ? = (0,0,1). ③坐标平面,平面,平面的(单位)法向量分别是 = (1,0,0), = (0,1,0), ????? = (1 ,1 ,1 ), ????? = (2 ,2 ,2 ), ⑵设而求之:设 ? = (,,)为平面 法向量,又(求得) ????? = 0, ? ? 1 + 1 + 1 = 0, 所以由{ 得{ 然后(通过观察)令,, 中某一未知数为一简单非零常数, ????? = 0. ? ? 2 + 2 + 2 = 0. 解出另两未知数的值,即可确定 ? = (,,).如果要进一步求单位法向量,则它为± | . ?| ①如果能确定法向量 ? 与坐标平面平行(即垂直轴) ,则可设 ? = (,,0),其余同理; ②如果能确定法向量 ? 与坐标平面一定不平行,则可设 ? = (,,1),其余同理;
?

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版块 6
88. 直线的斜率(直线的倾斜角:0° ≤ < 180°) : ①定义法: = tan , ≠ 90°;

解析几何 必修 2

②坐标法: = 2 ?1 ,其中1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 ),1 ≠ 2 .
2 1

?

特别地, = ?0 = ,其中(0,0),(,). ③向量法:直线的方向向量为 ? = (,),则直线的斜率为 = ( ≠ 0). 89. 直线方程的五种形式:①点斜式: ? 0 = ( ? 0 ); ③两点式:
?1
2 ?1



?0



②斜截式: = + ;
?
2 1

=

?1
2 ?1

; 【 ? 1 = 2 ?1 ( ? 1 )】 ;

④截距式: + = 1;






⑤一般式: + + = 0(,不同时为),其斜率为? ( ≠ 0) . 直线与轴垂直是特殊情形(因其斜率不存在) ,具体应用(解题)时,切莫忘记单独考察(可以先考察) . 用待定系数法注意所求直线应该是一条还是两条(可通过几何分析确认) ,斜率不存在的直线最容易遗漏! 90. 直线系(1 + 2 ) + (1 + 2 ) + 1 + 2 = 0( ∈ )过定点,定点坐标如何求? 91. 两条直线平行与垂直的判定:设1 : = 1 + 1 ,2 : = 2 + 2 , 则,①1 //2 1 = 2 且1 ≠ 2 ; ②1 ⊥ 2 1 ? 2 = ?1.

92. 两条直线位置关系的判定方法:⑴斜截式,⑵一般式,⑶方向向量,⑷解方程组. 93. 三个距离公式: ⑴两点间的距离公式:点(1 ,1 ),(2 ,2 ),则|| = √(1 ? 2 )2 + (1 ? 2 )2 . 特别地,√ 2 + 2 = √( ? 0)2 + ( ? 0)2 = ||,其中(0,0),(,). ⑵点到直线的距离公式:点(0 ,0 )到直线: + + = 0的距离为 = ⑶平行线间1 : + + 1 = 0和2 : + + 2 = 0的距离公式: =
|0 +0 +| √2 + 2



|1 ?2 | √2 + 2



94. ①圆的标准方程:( ? )2 + ( ? )2 = 2 ,圆心坐标为(,),半径为.思考:,的取值范围如何确定? ②圆的一般方程: 2 + 2 + + + = 0, (2 + 2 ? 4 > 0) ,圆心(? 2 , ? 2 ),半径 =
√2 +2 ?4 2



思考:{(,)| = + √ 2 ? ( ? )2 }或{(,)| = ? √ 2 ? ( ? )2 }等表示什么曲线?【半圆! 】 95. 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判定:代数法、几何法. 思考:如何求圆的切线方程?如何求圆的弦长?如何求两圆的公共弦所在的直线方程? 96. ①中心对称:点1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 )关于点0 (0 ,0 )对称 { 0 = 0 =
1 +2 2 1 +2 2

, .

【故2 (20 ? 1 ,20 ? 1 ). 】

②轴对称:点1 (1 ,1 ),2 (2 ,2 )关于直线: + + = 0对称 { 1 2 ⊥ , 1 2 中点在上 { . 1 2 中点坐标满足方程 12 ? = ?1,

97. 对于方程 (,) = 0: ⑴若换成?,方程不变,则曲线(,) = 0关于轴对称. ⑵若换成?,方程不变,则曲线 (,) = 0 关于轴对称. ⑶若,同时分别换成?, ? ,方程不变,则曲线(,) = 0 关于原点对称. 【说明】对于复杂的曲线方程若要作图,可先作出 ≥ 0, ≥ 0时的图象,再根据上面三条成立的情况补充作图. 或考虑将曲线方程(,) = 0变函数 = ()后作图.
19

选修 1、2 系列
98. 求轨迹方程常用的方法: ⑴直接法:将动点满足的(与斜率、距离、数量积等有关的,或由平面几何知识推出的)等量关系,直接坐标化, 即得动点轨迹方程. ⑵定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等) ,可根据定义 直接求.又称几何法,利用平面几何知识转化是关键(常需作辅助线) . 特别是求动圆圆心轨迹方程问题:常引入动圆半径为中间量,通过对动圆与定直线相切、或动圆与定圆相切 (外切或内切) 、或动圆过定点等条件的转化,通常会得到两个等式,再消去,转化为一个等式,极易分析出 动点(动圆圆心)满足某圆锥曲线的定义,从而可以很容易求出轨迹方程. 【先定性,再定量! 】 ⑶代入法: 若动点(,)依赖于另一动点(0 ,0 )的变化而变化, 并且(0 ,0 )又在某已知(或容易先确定的) 曲线上,则可先用,的代数式表示0 ,0 ,再将0 ,0 代入已知曲线即得要求的轨迹方程.又称相关点法或 转移法.求一个函数的图象关于直线或点对称的图象的解析式,亦是用此方法. ⑷交轨法:求两条动直线的交点的轨迹,方法有两种, ①将两条动直线的方程(通过加、减、乘、除)消去参数,揉合成一个方程; ②解出交点坐标(含两个参数时),利用两个参数之间的制约关系,消去参数. ⑸参数法:当动点(,)坐标之间的关系不易直接找到时,可考虑将,均用一中间变量(参数)表示,得参数 方程,再消去参数得普通方程. 【常选用角 ,斜率,时间,动圆半径,关联点的横、纵坐标等为参数. 】 ⑹待定系数法:先根据曲线类型设出曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑺点参消参法:给出含参数点( (),g()),需另设(,),得参数方程{ = (), 后可进一步化普通方程. = g().

⑻对称代换法:若一条曲线与已知曲线关于某点或某直线对称,则可以利用对称性知识解决. 99. 用韦达定理法或点差法解决直线与圆锥曲线位置关系的问题. ⑴代线法之直线普通方程三步曲(准备、转化、完成): 【亦称韦达定理法,利用韦达定理及判别式可以解决很多 问题! 】 第一步准备:设直线: = + 和圆锥曲线 (,) = 0交于两点(1 ,1 ),(2 ,2 ), (且1 < 2) = + , 由方程{ 消去,得 (, + ) = 0;整理得 2 + + = 0( ≠ 0), (,) = 0. 1 + 2 = ? ,(如需要可求弦中点坐标) (这三个式子有时不需要全写出来. ) (知道一根可求另一根 ),


则 1 2 = ,

{Δ > 0. (确定有交点或参数的取值范围 ) 说明:涉及到相切,?= 0是关注的重点! 第二步转化:或将需要求的弦长、面积、数量积等代数值,或将需要满足的条件(如: ⊥ ) ,消元转化 成只含1 + 2与1 2 的关系式(书写时可使用“ ”) ;第二步转化很关键,要尽量与,两点

及其坐标联系起来(利用斜率,弦长,中点,数量积等) ! 第三步完成:将第一步与第二步结合, (加之其它条件的转化、利用) ,解决有关问题. (求最值时要确定好定义域(Δ > 0及其他限制条件) ,求最值可能要用到换元法、单调性法、导 数法等方法. ) 【说明】熟练地求三点坐标及弦长:弦的中点,曲线的切点,已知弦的一端点求另一端点;熟练地求弦长.

20

⑵代点法【点差法:主要用于解决与弦中点有关的问题,如求直线方程、曲线方程、中点(横或纵)坐标、中点 轨迹、椭圆或双曲线的离心率等,又如纯粹用代点法研究两直线的斜率之积等问题,比三步曲运算要简单,运 算更有规律. 】的解题模式: “涉及弦中点,两式减一减” . 已知,是圆锥曲线(,) = 0上的两点,是弦的中点.设 (1 ,1 ),(2 ,2 ),(0 ,0 ), 则{ (1 ,1 ) = 0, ①, (2 ,2 ) = 0, ②,
?
1 2

又{

1 + 2 = 20 ,③, 1 + 2 = 20 ,④,

通过① ? ②(注意因式分解)后,把③、④代入,

可推出:1 ?2 = (0 ,0 ),即 = (0 ,0 ). 【它是弦所在直线斜率与弦中点坐标0 ,0 及,,的关系 式】如果过定点 ,则 = 可加以利用. ⑶综合法:在代线法,代点法很难解决问题时的一种随机应变的方法,综合考察运用所学知识和方法去解决问题 的能力,无固定解题模式和套路,只能见招拆招,对运算能力有较高的要求. 100. 弦长公式:⑴|| = √1 + 2 |1 ? 2 | = √1 + 2 √(1 + 2 )2 ? 41 2 = √1 + 2 ||; (利用判别式) ⑵|| = √1 + 2 |1 ? 2 | = √1 + 2 √(1 + 2 )2 ? 41 2 = √1 + ()2 ||(利用判别式). 说明:⑴非弦长的线段长必要时也可用弦长公式形式表示,即利用两点的横坐标(或纵坐标)及直线斜率表示. 同一直线上的两线段长之比只与横坐标(或纵坐标)之差的比值有关! ⑵过焦点的弦长等于被焦点分成的两条焦半径的长之和!此时用圆锥曲线第二定义表达弦长更好. 过焦点的弦长一般都是有理式(即变量不会在根式中). 101. 过圆锥曲线: (,) = 0上一点(1 ,1 )(坐标已知)作直线交曲线 于另一点,则点坐标(2 ,2 )可通过 直线方程与曲线方程联立消元后,利用韦达定理求出. 102. 过圆或圆锥曲线上一点作两条直线交曲线于,两点, (其实相当于直接作直线) ①若 ? = ?1,则可证明直线过定点.(该定点多半在坐标轴上) 建议直接设出直线的方程,如 = + ,或 = + ,利用韦达定理法,将 ? = ?1转化! ②若 + = 0,则可证明直线的斜率为定值.(该定值与极限状态处的导数值有关) 此时设出直线的方程,或设出直线的方程后求出,两点坐标,都可以解决问题. 说明:利用直线不过点,可以排除增根; 注意 ? = ?1, + = 0的各种不同的几何语言表述. 103. 求椭圆或双曲线的离心率的值或取值范围,一般要尽快的列出与,,有关的方程或不等式,然后消去,转化 为关于,的齐次方程或不等式,就能进一步解决问题. (求双曲线的渐近线的斜率的值或取值范围可借鉴) 104. 求椭圆(双曲线、抛物线)上的点到直线距离的最值(或取值范围) :平行切线法,函数法,参数方程法. 平行切线法还可用于求三角形面积的最大值.
1
1 1 1 √? √?

1
2 1

2
2



105. 如何求抛物线上一点到两定点、或到两条定直线、或到一定点和一定直线的距离和的最小值?(其中一条定直线 一定是准线或其平行线. ) 【求最小值的常用依据:①垂线段最短;②三角形中两边之和大于或等于第三边(三点 共线时等号成立) . 】
1 2 1 1 21 2
2

1 1



1 1

( ,0)

106. 椭圆、双曲线、抛物线的图象与性质 椭圆 曲线 (以焦点在轴上为例)

双曲线 (以焦点在轴为上例)

抛物线 (以原点为顶点,开口向右为例)
1

2

2 2 1 2




2

图象

1

1 1



( ,0)
= ? 2

|1 | + |2 | = 2. 定义 (2 > 2 = |1 2 |) 统一的定义: 方程
2 ||

||1 | ? |2 || = 2. (0 < 2 < 2 = |1 2 |)

| | = |1 |.

= ,其中 为定点, 为动点到定直线的距离.
2

+ 2 = 1( > > 0). 2 = ,0 < < 1.


2

? 2 = 1(, > 0). 2 = , > 1. 2 = 2 + 2


2

2 = 2 ( > 0). 是焦点到准线的距离.

离心率

2 = 2 ? 2

= 1.

为常数,则、、之间存在倍数关系;反之亦然. 对称性 顶点 焦点 通径长 渐近线 准线 焦半径 坐标表示 焦点弦长 焦半径 倾斜角表示 焦半径 取值范围 焦点三角形 | | ∈ [ ? , + ] ?12 = 2 tan 2
22

关于轴,轴,原点对称 1 (?, 0),2 (, 0);1 (?, 0),2 (, 0). 1 (?, 0),2 (, 0). (过焦点且垂直长轴或实轴的弦长) 无 = ±
2

关于轴对称 (0,0) (2 , 0) 2 (过焦点且垂直对称轴的弦长) 无 = ? 2


= ± (焦点到渐近线的距离为) = ±
2



| | = = ± 0 |1 2 | = ± (1 + 2 )
2 ±cos

| | = = 0 ± |1 2 | = (1 + 2 ) ±
2 ?cos

| | = 0 +

2

|1 2 | = 1 + 2 +


其中点坐标为(0 , 0 );1 (1 , 1 ),2 (2 , 2 ). | | = | | = | | =
1?cos

.

其中 为直线 的倾斜角. | | ≥ ? 或| | ≥ + ?12 =
2 tan
2

| | ≥ . 2 ? = 2sin (为焦点弦) 从焦点发出的光线,经过抛物线 壁反射,反射光线平行对称轴. 0 = ( + 0 )
2



光学性质

从一个焦点发出的光线,经过 椭圆壁反射, 经过另一个焦点.
0 2

从一个焦点发出的光线,经 过双曲线壁反射,反射光线 所在直线经过另一个焦点.
0 2

切线方程

+

0 2

=1

?

0 2

=1

22

版块 7

概率与统计 必修 3

107. 抽样方法:①简单随机抽样(抽签法、随机数表法);②系统抽样(等距抽样);③分层抽样(每层等比例抽取). 无论哪种抽样,从个元素中抽取个元素,在整个抽样过程,每个(或某个)元素被抽到的概率均为 = = 108. 利用频率分布表、频率分布直方图求指定区间的频率、估计样本数据的众数、中位数、平均数. ①频率= 样本容量; ③各矩形的面积和为 1;
频数
?1 ?1

.

②小长方形的面积= 组距 ×组距=频率; ④显然,各矩形的:高之比=面积比=频率比=频数比.

频率

⑴求出任意指定区间上的频率(=其面积) ,就可以用样本的频率分布估计总体的分布; ⑵最高矩形的中点的横坐标即为众数; ⑶累积频率为 0.5(即面积=0.5)时的横坐标即为中位数; 【常需设未知数,利用面积=0.5 建立方程求解. 】 ⑷各矩形(区间)中点的横坐标和对应区间的频率(即矩形的面积)的积之和即为平均数(期望) . ⑸当某个矩形的高?不确定时,可以利用所有矩形的面积和等于 1,列方程,解出?的值. 109. ⑴两个变量的线性相关:回归(直线)方程: ? = + ,回归直线一定经过样本点的中心( ,).其中, ,为两组数据的平均值. 【正(线性)相关、负(线性)相关.】
变量的值 变量的值 1 1 2 2 3 3 … … 1
2

求线性回归方程系数,的公式:

= =1

∑ ?
=1 2 ? ∑



2 +

总计 + + + + +



1 2 总计

+

{ = ? .
(?)2

⑵独立性检验:通过计算 2 的观测值 = (+)(+)(+)(+) ≥ 0 (查临界值表) ,判断两个变量的相关性.
2 ⑶会利用正态曲线及其对称轴求相关区间的概率(9 = 36种情形) ,关键在于区间端点的转换表示(用, );以

及利用对称性和给定其他区间概率求概率问题. 110. 概率的加法公式:如果事件与事件互斥,则(?) = () + (). 【( + ) = () + ()】 【推广】若事件1 ,2 , ? , 两两互斥,则 (1 ?2 ? ? ? ) = (1 ) + (2 ) + ? + ( ). 111. 若事件与事件互为对立事件,则 () = 1 ? (). 112. 概率公式:古典概型() =
包含的基本事件的个数 基本事件的总数



几何概型() = 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). ⑴凡是涉及到一个点在线段上或圆周 (弧) 上移动或只有一个变量在区间上任意取值, 则所求事件的 概率一定是长度比! ⑵凡是涉及到一个点在 (曲边) 多边形内部 (及边界) 运动或两个变量, (或两个动点) 在区间1 ,2 上任意取值,则满足某个条件的事件的概率一定是面积比(常需在直角坐标系中研究) !如:两人 见面的概率问题,两船先后停泊的概率问题,二次方程(含两个参数)有实数解的概率问题,两个 变量在同一区间取值满足某个条件的概率问题. ⑶凡是涉及到一个(质)点在空间几何体中的运动或位置,则所求事件的概率一定是体积比!

构成事件的区域长度(面积或体积)

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选修 2 系列
113. 排列与组合:
? ⑴排列数公式: = ( ? 1) ? ( ? + 1) = (?)! ,, ∈ , ≤ . !

全排列公式: = !.规定0! = 1.
⑵组合数公式: = =



(?1)?(?+1) 1×2×?×m

0 = !(?)! , , ∈ ? , ≤ .规定 = 1.

!

⑶组合数的性质:①

? ?1 = ,( = ? = 或 + = );② + = +1 , ?1 = ?1 , +1 ④ + +1 + +2 + ? + = +1 .

?1 ③ = ?1

?1 如: ∑ ?1 = ∑ ?1 = ∑ ?1 ?1 = (1 + )?1 . =1 =1 =1



114. 解排列组合问题的一般原则是:分类相加,分步相乘;有序排列,无序组合;先选后排,先分再排; 两特优先,相邻捆绑,不邻插空,指标隔板,几何构模,正难则反.
0 1 ?1 2 ?2 2 ? ? 115. 二项式定理:( + ) = + + + ? + + ? + = ∑ . =1 1 2 2 公式:(1 + ) = 1 + + + ? + + ? + . 0 1 2 ⑴展开式中有 + 1项! , , , ? , 就叫每一项的二项式系数; ? ⑵二项展开式的通项公式:+1 = , = 0,1,2, ? ,.

⑶增减性与最大值:二项式系数从两端往中间逐渐增大.显然,最大二项式系数在中间.
?1 +1 2 当为奇数时,中间两项 2 、 2 同为最大;当为偶数时,中间一项 最大.

0 1 2 ⑷所有二项式系数的和: + + + ? + = 2 ;(当为奇数时,前一半和后一半的和相等) 0 2 4 1 3 5 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和: + + + ? = + + + ? = 2?1 .

⑸对二项式定理两边同时求导(或求积分) ,再用赋值法,能解决一些问题. 116. 概率统计分布列的几种模型: 【有些简单的分布列可以直接列表】 ⑴超几何分布(古典概型) :一般地,在含有 件次品的 件产品中,任取 件,其中恰有 件次品数,则 ( = ) =
? ?

, = 0,1, ? , ,其中 = min{,}.此时称随机变量 服从超几何分布. 【超几何

分布模型的特征是“被抽取对象由较明显的两部分组成” ;被抽取对象由较明显的更多部分组成时,有时也可 以视作两部分. 】 ⑵二项分布:一般地,在次独立重复试验中,设事件发生的次数为,在每次试验中事件发生的概率为,则
( ( = ) = 1 ? )? , = 0,1,2, ? ,.此时称随机变量服从二项分布,记作~(,),并称

为成功概率. ⑶互斥事件、独立事件构成的分布, ⑷古典概型构成的分布, ⑸正态分布. 117. 在概率、统计应用题中, ①若在问题中强调以样本数据来估计总体 (个体很多时) , 或以样本中事件的频率 = 样本容量作为总体中事件的 概率(即把频率视作概率) ,则在该问中要解决的问题就可能与独立事件或独立重复事件(即二项分布)有 关; ②若没有强调,则往往用古典概率模型的方式求解,可能与超几何分布有关; ③若与正态分布有关,则样本平均数() = ,样本标准差√() = ,这样正态分布(, 2 )便确定下来.
24
频数

118. 条件概率:称 (|) =

() ()

为在事件发生的条件下事件发生的概率.(|)读作发生的条件下发生

的概率. 【在事件发生的条件下事件发生,等价于事件和事件同时发生,即同时发生. 】 119. 概率的乘法公式:对于事件,,若() = ()(),则事件,相互独立.反之亦然. 120. 离散型随机变量的均值与方差:会用样本的均值与方差去估计总体的均值与方差! ⑴均值:() = 1 1 + 2 2 + ? + ,也称随机变量的数学期望, 它反应了离散型随机变量取值的平均水平; ① ( + ) = () + ; ③若~(,)(二项分布),则() = .


②若服从两点分布,则() = ; ④若服从超几何分布,则 () = ? .


⑵方差: () = ∑ ( ? ())2 ;标准差:√.
=1

方差与标准差反应了随机变量取值与均值的平均偏离程度. ①( + ) = 2 (). ③若~(,),则() = (1 ? ). ②若服从两点分布,则() = (1 ? ). ④若服从超几何分布,则() = ?


(1 ? ) ?




? ?1



121. 利用样本数据,求样本数据的平均数、方差(标准差) ①平均数:? = (1 + 2 + ? + ) = ∑ .可以用来估计总体的平均数(期望) .
=1 1 1

②标准差: = √ [(1 ? ? )2 + (2 ? ? )2 + ? + ( ? ? )2 ] = √ ∑ ( ? ? )2 (反映数据的离散程度).
=1

1

1



它反映样本个体的平均波动幅度(类似于振幅) ,与数据有相同的单位.可以用来估计总体的标准差. ③方差: 2 = [(1 ? ? )2 + (2 ? ? )2 + ? + ( ? ? )2 ] = ∑ ( ? ? )2.可以用来估计总体的方差.
=1 1 1

两组数据之间的关系 ①1 ,2, ? , . ②1 + ,2 + , ? , + . ③1 ,2 , ? , . ④1 + ,2 + , ? , + .

平均数 ? ? + ? ? +

标准差 ? ?

方差 2 2 2 ? 2 2 ? 2

中位数 + +

众数 + +

①→②相当于图象上下平移,①→③标准差相当于振幅变换. 【上述平均数、方差、标准差的变化可以通过定义、前后两种状态列示考查! 】 122. 一个实际问题中往往涉及多个事件,正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的核心,一般的思路是先把所 要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和,再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的积, 把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积、之和的计算,这是化解概率计算问题难点的 关键. 123. 求一个事件的概率,首先判断该事件: ①几个互斥事件用加法, ②转化为对立事件用减法, ③几个独立事件、二项分布(独立重复事件)用乘法, ④古典、几何概型,超几何分布,条件概率用除法.

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版块 8
124. ⑴相似三角形的判定与性质

选修 4 系列

⑵直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 125. ⑴圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ⑵圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数.
2 = ? 2 = ? 2 = ? 射影定理

推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90o 的圆周角所对的弦是直径. ⑶弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. ⑷圆内接四边形的性质: 定理 1:圆的内接四边形的对角互补; 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. ⑸圆内接四边形的判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. ⑹圆的相关性质 ①相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. ②割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. ③切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
? = ? 割线定理

? = ? 相交弦定理

2 = ? 切割线定理

【说明】平面几何问题只要是:求线段长,求面积,求角度,求比值. 126. ⑴极坐标(,)与直角坐标(,)的互化: (用于坐标、方程的互化) ① = cos , = sin ;②2 = 2 + 2 ,tan = ,( ≥ 0,0 ≤ < 2),求 时注意它所在的象限! 规定点(,)与点′(?,)关于极点(0,)对称. ⑵经过点0 (0 ,0 ),倾斜角为的直线的标准参数方程:{ = 0 + cos, = 0 + sin. (为参数).


的几何意义:直线上的动点到定点0 的距离|0 | = ||. 当点在点0 的上方时, > 0;当点在点0 的下方时, < 0;当点 与0 重合时, = 0. 127. 参数方程 ⑴圆的标准方程: 2 + 2 = 2 . 参数方程:{ = cos, = sin. (为参数).

⑵圆的标准方程:( ? )2 + ( ? )2 = 2 .参数方程:{
2 2

= + cos, = + sin. = cos, = sin.

(为参数).

⑶椭圆的标准方程:2 + 2 = 1( > > 0).参数方程:{

(为参数).

= sec, 2 2 ⑷双曲线标准方程:2 ? 2 = 1(, > 0).参数方程:{ (为参数). = tan. 其中,sec = cos ,且sec 2 ? tan2 = 1.
26
1

= 2 2 , ⑸抛物线标准方程: 2 = 2 .参数方程:{ (为参数). = 2. 1.圆与椭圆的参数方程可以看成是利用sin2 + cos 2 = 1三角换元得到的; 2.双曲线的参数方程可以看成是利用sec 2 ? tan2 = 1三角换元得到的; 3.圆、椭圆、双曲线的参数方程化普通方程也是利用它们消参; 4.参数方程实际上是曲线上动点的坐标;特别是圆与椭圆参数方程,利用它们,可以很容易解决 如3 + 2取值范围问题. 5.参数方程中的参数每取定一个值,则相应地确定一个点的坐标. 128. 柯西不等式: 【二维、三维形式的柯西不等式的运用,相对来说考查得更常见! 】 ⑴定理 1(二维形式的)柯西不等式:(2 + 2 )( 2 + 2 ) ≥ ( + )2 ,当且仅当 = 时等号成立. 变式:( + )( + ) ≥ (√ + √ )2 ,,,, > 0,当且仅当 = 时等号成立.
2 2 2 2 )( 2 2) ⑵定理(一般形式的)柯西不等式:(1 + 2 + ? + 1 + 2 + ? + ≥ (1 1 + 2 2 + ? + )2 ,

, ∈ ,当且仅当 = 0 或存在一个实数,使得 = ( = 1,2, ? ,)时,等号成立. 变式:(1 + 2 + ? + )(1 + 2 + ? + ) ≥ (√1 1 + √2 2 + ? + √ )2, 其中 , ≥ 0, = 1,2, ? ,.当且仅当 = 0 或存在一个实数, 使得 = ( = 1,2, ? ,)时,等号成立. 【要会利用已有的因式构造柯西不等式! 】 129. 排序不等式(又称排序原理) : 【反序和≤ 乱序和 ≤ 顺序和, 】 设1 ≤ 2 ≤ ? ≤ ,1 ≤ 2 ≤ ? ≤ 为两组实数,1 ,2 , ? , 是1 ,2 , ? , 的任一排列, 则1 + 2 ?1 + ? + 1 ≤ 1 1 + 2 2 + ? + ≤ 1 1 + 2 2 + ? + , 当且仅当1 = 2 = ? = 或1 = 2 = ? = 时,反序和= 顺序和. 130. ⑴定理 1:| + | ≤ || + ||,当且仅当 ≥ 0时,等号成立. ? | ≤ || + | ? |(绝对值三角不等式). (向量形式的)三角不等式:| + ⑵定理 2:| ? | = |( ? ) + ( ? )| ≤ | ? | + | ? |,当且仅当( ? )( ? ) ≥ 0时,等号成立. 131. 绝对值不等式的解法 ①| | < ②| | > ? < < ; > 或 < ?; < < 或 ? < < ?; 推广:|( )| < g( ) 推广:|( )| > g( ) ?g( ) < ( ) < g(); ( ) > g()或 ( ) < ?g(); 【|| ? || ≤ | ± | ≤ || + ||. 】

③ < | | <

④| + | ≤ 和| + | ≥ 型不等式的解法 ⑤| ? | + | ? | ≥ 与| ? | + | ? | ≤ 的三种解法: 数轴上的几何意义法;零点分段不等式组法;函数图象法. ⑥|( )| > |g( )| 132. 理解


2 ( ) > g 2 ( );


【也可以通过函数图象理解!】

①| ? | + | ? | ≥ ? 在数轴上的几何意义(到两定点的距离和) .( < ) 注意: 在(?∞,)内向左或在(, + ∞)内向右移动?单位,| ? | + | ? |就增加2?单位. ② ? ≤ | ? | ? | ? | ≤ ? 在数轴上的几何意义(到两定点的距离差) .( < ) 注意: 在(,)内向右或向左移动?单位,| ? | ? | ? |就增加或减少2?单位.

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版块 9

数学思想方法

133. 常用数学思想:⑴函数与方程的思想,⑵数形结合的思想,⑶化归与转化的思想,⑷分类与整合的思想; ⑸特殊与一般的思想,⑹有限与无限的思想,⑺或然与必然的思想. ⑴函数与方程的思想:函数问题与方程问题的相互转化(甚至反复转化)是为了寻找到容易解决问题的方法! ①函数思想:用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题. (函数的单调性、奇偶性、零点等能否 确定?函数的图象能否画出?) ②方程思想:转化为方程或方程组去分析问题和解决问题.如含参数的方程的讨论、曲线与方程的相互转化. ⑵数形结合的思想:是一种非常实用的思想方法. (求单调区间、值域、解集、零点、判断奇偶性等都可充分利 用图象. 有时甚至需要画两次图象: 第一次画出草图研究出一些性质后, 再准确画一次图象, 再彻底解决问题. ) ①由形到数易,由数到形难;难点一突破,思路如涌泉. ②数缺形时少直观,形缺数时难入微;数形结合千般好,隔裂分家万事休. 但要注意:在解答题中,考虑到推理论证的严密性,常规函数可以适当地数形结合,但不能简单地完全以图替 代解题过程,要有适当的推理过程和符号及文字表述. ⑶化归与转化的思想:几乎无处不在.复杂问题简单化,较难问题容易化,陌生问题熟悉化. 思路未定,化简先行;已知推导,未知转化;前后联系,问题突破. ⑷分类与整合的思想(分类讨论的思想) :对于含字母参数的数学问题,要特别注意对参数是否需要分类讨论; 在化简、 运算、 推理无障碍的过程中, 不要对参数提前讨论. 若能事先确定含参数问题的讨论标准, 所谓标准, 就是参数的临界值! 再对参数取值分类, 解决问题就容易了! 同时可注意是否可以将几种情形合并在一起讨论, 以减少分类情形.【找到讨论标准是关键,观察能力很重要! 】 当分类解决完问题后,还必须把它们整合(即总结)到一起. 解含参数不等式、求含参数函数值域等,一般都需要分类讨论,但对于含参数的方程有解、无解,含参数的不 等式成立、恒成立,有时也可通过分离参数,而避免分类讨论! 134. 常用数学方法:⑴待定系数法,⑵换元法,⑶配方法,⑷割补法,⑸反证法,⑹定义法,⑺综合法,⑻分析法, ⑼坐标法,⑽导数法,⑾构造法,⑿分子常数化,⒀分离参数法,⒁数学归纳法,… ①待定系数法:贯穿整个高中数学,是一种非常重要的数学解题方法;求函数解析式,求点、对称点、向量的坐 标,求直线方程,求圆的方程,求圆锥曲线方程,求切线方程,求数列通项公式,求复数等,待 定系数法一般用于非设不可的题型,即不设就不易表达数量关系而导致无法解决问题,分为“设 而求之”与“设而不求” (如:韦达定理法与点差法)两种. ②分离参数法:对于含参数的函数、方程、不等式,求有零点、有解、恒成立时参数取值范围问题,如果能把参 数分离出来,往往就变成求另一侧关于的函数的值域或最值. ③换元法:换元法使复杂问题简单化;求函数值域,确定复合函数单调性,圆锥曲线上点的参数方程等,常需使 用换元法.代数换元、三角换元、比值换元、均值换元. ④坐标法:又称解析法,与平面几何、立体几何、向量等有关的问题都可以考虑建坐标系完成. ⑤定义法:构造型等比数列、等差数列的证明,圆锥曲线定义的应用,概率与统计中事件性质的判断等. ⑥公式的运用:正用,逆用,选用,变形用. 134. 数学逻辑方法或思维方法:分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等. 135. ⑴定点问题:含参数的函数(或曲线方程)图象经过的定点,关键是找到常数(或)的值,使得(或)的值为 常数,即得定点(,). ①若 = ( ? 1) + 3过点(2,4),则 = ()过点(1,1); ②若 = ( )过点(2,4),则 = ( ? 1) + 3过点(3, );
28

【因为由已知可得 (1) = 1. 】 【利用图象平移或 (2) = 4. 】

③若 = ( ? 3) + 5,其中为参数,则过的定点为(3,5); ④若 = ?1 + 3,其中 > 0,且 ≠ 1,则过的定点(1,4); ⑤若 = log ( ? 2) + 4,其中 > 0,且 ≠ 1,则过的定点为(3,4).
?9

【利用 ? 0 = 0. 】 【利用0 = 1. 】 【利用log 1 = 0. 】

⑵定值问题:①若 = ( ? 1) + 2(其中为参数)为定值(即与取值无关),则 = 1,定值为 = 2. 【整式型】 ②若 = 2?3(其中为参数)为定值(即与取值无关),则 = 6,定值为 = 3. 136. 利用恒等式求值问题: ①给出()和(0 )求(?0 ),常先研究( ) + (? ),此时能推出一个恒等式,利用它能快速求出(?0 ). 【若 ( ) + (? )为定值,则函数()就具有中心对称的特点,显然()是由某个奇函数+常数而得到的. 】 ②给出()和( )求(0 ),常先研究 ( ) + (),此时能推出一个恒等式,利用它能快速求出(0 ).
0 1 1

【分式型】

③求一系列函数值的和,若每对函数值中的自变量之和为同一常数,则要考虑 ( ) + ( ? )是否为定值. 【若是定值,则该函数就还具有中心对称的特点.项数若为不确定的时,求和则用倒序相加法较为简单. 】 ④求一系列函数值的和,若每对函数值中的自变量之积为同一常数,则要考虑() + ( )是否为定值. ⑤求()的最大值与最小值的和 + 的值,或告知()的最大(小)值,求()的最小(大)值,应注意 ()是否为中心对称函数:若( + ) + ( ? ) = 2,则函数 = ()图象关于点(,)成中心对称, 则 + = 2. 【说明:对于①③⑤可结合函数图象,掌握中点坐标公式. 】 【此时对1 ,2 不能用韦达定理】


137. 设1 ,2 是(关于的)方程 2 ( ) + ( ) + = 0的两根,

则 (1 ),(2 )是关于 ( )的方程 2 ( ) + ( ) + = 0的两根. 【此时对(1 ),(2 )才可用韦达定理】 ①通过换元法理解上述结论:令 ( ) = ,则方程 2 + + = 0的两根为1 = (1 ),2 = (2 ). ②在具体问题中,()常为log ,或 ,或tan,或sin,或cos 等. 138. 函数的迭代:1 ( ) = (),+1 ( ) = ( 1 ( ))(或 = 1 ( ( ))),其函数零点个数问题与递推数列关系密切. ①若1 ( ) = 的解为1 ,2 , ? , ,则+1 ( ) = 即1 ( ( )) = 的解由 ( ) = 1 , ? , ( ) = 确定; ②若 ( ) = 的解为1 ,2 , ? , ,则 +1 ( ) = 即 ( 1 ( )) = 的解由 1 ( ) = 1 , ? , 1 ( ) = 确定. 其实就是相当于利用换元法解方程! ③当()的定义域与值域都为[0, ],且 (0) = (1) = 0,若其图象为拱形,则每迭代一次,在[0, ]内的拱形个数 就加倍一次.如: ∈ [0,1]时, ( ) = 1 ? |2 ? 1|, ( ) = sin, ( ) = ?4 2 + 4. 139. 成立或恒成立,求参数取值范围: ①若 ≥ ()恒成立,则 ≥ [( )]max ; ③若 = ()成立,则 ∈ {| = ( )}; ⑤若 ≤ ()成立,则 ≤ [( )]max . ②若 ≤ ()恒成立,则 ≤ [( )]min ; ④若 ≥ ()成立,则 ≥ [( )]min ; ⑥若 = ()不成立,则 ∈ ? {| = ( )};

⑦函数()无零点,可以转化为() > 0或 ( ) < 0恒成立. 140. 掌握分离参数的方法:分离参数时,尽量让右边的函数简单,即可以把右边整体的负号、常数项等,分离到左边 的参数中去,便于研究! ⑴常规法分离参数,如 ( ) + = g( ) ? = g( ) ? ( );又如 () = g( ) ? = () ( ( ) ≠ 0). ⑵倒数法分离参数,如 ( ) = g() ? =
1 () g() g()

(g( ) ≠ 0).

⑶讨论法分离参数,如g() ≥ ( )

≥ g() ,g( ) > 0 { ; () ≤ g() ,g( ) < 0

()

29

如(?1) ≤ ()( ∈ ? )

{

≤ (),为正偶数 ? ≤ (),为正奇数

.

⑷整体法分离参数,如( ) ? 2 ? = 0 ? 2 + = (). 【说明】三去掉: ①恒成立命题有时对自变量的范围有一部分或端点是必然成立的,应该考虑先去掉这一部分或端点; ②成立命题有时需要对所给的范围缩小,即明显不可能成立的范围去掉!再分离参数求解. 【对于①②,如果不事先这样处理,那么往往分离不了参数、或者以至于答案容易出问题. 】 ③在成立或恒成立命题中,若有因式的符号是确定的,则应该把该因式处理掉,这样简化了成立或恒成 立问题,再解决问题就变得容易了.如 ( )g() > 0,若()恒正,则只需g( ) > 0. 141. 根据一个命题成立或恒成立求参数取值范围,解决方法主要有三种: ①含参转化法,又称原函数最值法,但常常需要对参数分类讨论(分为单调函数与勾形函数) ,这时找到讨论标 准是关键. 注意对不等式的整理, 方便差值函数的求导研究; 如(1 + ) ln(1 + ) > ( > 0)恒成立, 求正数的 取值范围.【 (1 + ) ln(1 + ) > ( > 0, > 0)


ln(1 + ) > +,答案:0 < ≤ 2.】



对于恒成立命题,有时可以先对自变量取一个特殊值代入,得到参数的一个大致取值范围,在此条件下,再研 究.【对于含有ln 的函数()成立或恒成立命题,分离参数法不一定优于含参转化法! 】 ②分离参数法,又称新函数最值法,往往无需讨论,绝大多数题都可以用这种方法完成. 需要使用罗必塔法则求取值范围的,也可以变通为证明确定的函数不等式. ③数形结合法,主要是解决一些简单的、尤其是客观题中的成立或恒成立命题. 常需要注意对方程、不等式进行适当的整理,便于数形结合解决问题. 【说明】1、一次函数与二次函数的成立、恒成立问题,有时利用函数本身的特点去处理更简单. 2、由成立或恒成立命题,求正整数的最大(小)值,可以先取特殊自变量代入,得到参数的初步取 值范围,由此猜想出正整数的最大(小)值,再证明猜想的正确性. 142. 与单调性有关的命题处理 ①()在[,]上是增函数,则 ′ () ≥ 0恒成立.(等号不能漏掉). 如:已知函数 ( ) = ln( + 1) + 3 ? 2 ? 在[2, +∞)上为增函数,则实数的取值范围是______. 答案:[0,4 + 2√5]. ②()在[,]上是减函数,则 ′ () ≤ 0恒成立.(等号不能漏掉). ③()在[,]上是单调函数,分上述两种情形讨论; ④ = |( )|是区间上的增函数


{

= ( )递增 = ( )递减 或{ .【 = | ()|是区间 上的减函数 = ( ) ≥ 0 = ( ) ≤ 0



如:已知( ) = | + |在区间[0,1]上是增函数,则实数的取值范围是_____.答案:[?1,1]. ⑤若()在[,]上存在递增或递减区间,则 ′ () > 0或 ′ ( ) < 0在[,]上有解. ⑥()在[,]上不是单调函数,则′( ) = 0在(,)有解且解不全为偶次重根. (或用补集思想解) 143. ⑴?1 ∈ ,?2 ∈ ,使得方程g(2 ) = (1 )成立 变式 1:?1 ∈ ,?2 ∈ ,使得方程 变式 2:?1 ∈ ,?2 ∈ ,使得方程
g(2 )+(1 ) 2 2

{| = ( ), ∈ } = 成立

{| = g( ), ∈ }. ? .

g(2 ) = 2 ? (1 )
()+() 2

(2 )+(1 )

= 成立,则 =

变式 3:?1 ∈ ,?2 , 3 ∈ ,使得方程g(2 ) = g(3 ) = (1 )成立

?

① = g()不单调,②曲线 = g()与直线 = 有两个交点,其中 ∈ {| = ( ), ∈ }. ⑵?1 ∈ ,?2 ∈ ,使得方程g(2 ) = (1 )成立 {| = ( ), ∈ }?{| = g(), ∈ } ≠ ?.
30

144. 任意性、存在性问题的处理【有时需逐个处理,不一定要一次到位!分而治之,各个击破! 】 基本原理:①? ∈ , ( ) > ( ) > ;②? ∈ , ( ) > (1 )min ≥ g(2 )max ; (1 )min ≥ g(2 )min; (1 )max ≥ g(2 )max ; (1 )max ≥ g(2 )min . 2( )min < ( )max ; () > .

⑴?1 ∈ ,?2 ∈ ,(1 ) ≥ g(2 ) ⑵?1 ∈ ,?2 ∈ ,(1 ) ≥ g(2 ) ⑶?1 ∈ ,?2 ∈ ,(1 ) ≥ g(2 ) ⑷?1 ∈ ,?2 ∈ , (1 ) ≥ g(2 )

⑸?1 ,2 ,3 ∈ ,(1 ) + (2 ) < (3 )

⑹若函数()与g()的图象上存在关于轴对称的点,则( ) = g(?)有解. 145. ①|(1 ) ? (2 )| < ②|(1 ) ? (2 )| < ( )max ? ( )min < .(①②两种方法的关键都是先确定()的值域!) ? < (1 ) ? (2 ) < ? < (1 ) + [?(2 )] < . (范围相加!)

③|(1 ) ? g(2 )|min < 的转化,注意( )、g()的图象必有上下之分(被两条平行轴的直线隔开) , 然后就可以转化为:上方函数的最小值?下方函数的最大值< . ④若 2 + + < 0( > 0)在[,]上恒成立,设 ( ) = 2 + + ,则:{ 146. 函数 ( ) = { g( ), ≤ , () < 0, () < 0.

( ? ), > .

的图象如何作?先作出 ≤ 时, ( ) = g()的图象, 再取( ? ,]上的图象,

将它向右每次平移个单位,纵坐标变为原来的倍,即得到(, + ],( + , + 2],…,各个区间上的图 象.注意:当 < 0时,()的图象会沿轴上下翻转. 147. ⑴若 ( + ) = ( ) + (,为非零常数),则称()为“周期性”阶梯函数. ⑵若 ( + ) = ( )(,为非零常数),则称()为“周期性”倍增函数. 注意:当 < 0时,()的图象会沿轴上下翻转. ⑶若 ( + ) = ( ) + (,,为非零常数),则称()为“周期性”倍增阶梯函数. ⑷若 ( ) = (),则称()为“移动分段伸缩变换”函数. 注意:当 < 0时,()的图象会沿轴上下翻转. 148. 高考数学中常考查的高等数学知识(说明:正如导数公式和导数运算法则没有证明而可直接使用,函数凹 凸性和罗必塔法则等性质也可直接使用. ) (1) 罗比塔法则(用于求分式函数g()在 → 时,0 , ∞型的极限,可反复循环使用. ) : ①若 lim () = 0 且 lim g() = 0,则 lim
→ → → → () → g() () 0 ∞

= lim

′ () ′ ()

→ g′ () → g′ ()

. (可以为常数,也可以为∞) . (可以为常数,也可以为∞)

②若 lim () = ∞且 lim g() = ∞,则 lim

()

→ g()

= lim

使用罗必塔法则,可以先猜想、后证明,注意等号与端点的收放. 例: lim
1 1 1 →∞ ?1

= lim ?1(换元)= lim
→0



+

→0

= lim(1 + ) = 1.
→0

(2) 函数凹凸性定义及性质:设()在区间 上连续,如果对 上任意两点1 ,2 , ①凹函数: ( ②凸函数: (
1 +2 2 1 +2 2

【琴生不等式】

)≤ )≥

(1 )+(2 ) 2 (1 )+(2 ) 2

()在 上的图形是(向上)凹的 ()在 上的图形是(向上)凸的

′′ ( ) ≥ 0(即切线的斜率递增) . ′′ ( ) ≤ 0(即切线的斜率递减) .

1

1 + 2 2

2 31

1

1 + 2 2

2

(3) 函数凹凸性定义及性质:设()在区间 上连续,如果对 上任意两点1 ,2 ,和任意 ∈ (0,1),都有 ①[1 + (1 ? )2 ] ≤ (1 ) + (1 ? )(2 ),则称()是 上的凹函数( ②[1 + (1 ? )2 ] ≥ (1 ) + (1 ? )(2 ),则称()是 上的凸函数( 【说明】( ) = + 既可以认为是凹函数,也可以认为是凸函数. (4) 两个重要极限公式:⑴lim
sin →0 1

′′ ( ) ≥ 0). ′′ ( ) ≤ 0).

= 1;⑵ lim (1 + ) = .
→+∞

149. 一道题有没有简便解法,关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性,并能加以灵活运用! (灵机一动) 【转化、联想、换元等,另外,解题时有时对一些细节的处理也很关键,会起到峰回路转、柳暗花明的作用. 】 150. 解函数、解析几何、立体几何的客观题,应特别注意数形结合思想的运用!但在解答题中,不能纯粹只凭借图象 来解答问题;图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准,甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确 画一遍】 ;解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】 ,不能纯粹以图象代替推理、证明.另外在 转化数量关系时,若是写不等式,则要注意是否可以取“=” .特别是求取值范围时,端点一定要准确处理.

32

版块 10

解题方法及题型归纳

第 1 讲 选择题的解法 高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、 考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面,注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,能充分考查灵活 应用基础知识、解决数学问题的能力.选择题是属于“小灵通”题,其解题过程“不讲道理”,所以解答选择题的基 本策略是:充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理,先间接后 直接,先排除后求解,对于具有多种解题思路的,宜选最简解法等.解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防 疏漏.初选后认真检验,确保准确. 解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法,但高考 的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解答,因此,我们还要研究 解答选择题的一些技巧.总的来说,选择题属小题,解题的原则是:小题巧解,小题不能大做. 解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接 法,在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小 题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法. 由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯 定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃. 作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效 地提高解选择题的能力. 第 2 讲 填空题的解法 1.填空题的特征:填空题是不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接写出的“求解题”.填空题与选择题也有 质的区别:第一,填空题没有备选项,因此,解答时有不受诱误干扰之好处,但也有缺乏提示之不足;第二,填空 题的结构往往是在一个正确的命题或断言中,抽出其中的一些内容(既可以是条件,也可以是结论),留下空位,让 考生独立填上,考查方法比较灵活.从历年高考成绩看,填空题得分率一直不是很高,因为填空题的结果必须是数 值准确、形式规范、表达式最简,稍有毛病,便是零分.因此,解填空题要求在“快速、准确”上下功夫,由于填 空题不需要写出具体的推理、计算过程,因此要想“快速”解答填空题,则千万不可“小题大做”,而要达到“准 确”,则必须合理灵活地运用恰当的方法,在“巧”字上下功夫. 2.解填空题的基本原则:解填空题的基本原则是“小题不能大做”,基本策略是“巧做”.解填空题的常用方法:直 接法、特例法、数形结合法、构造法、归纳推理法等. 3.解填空题的一般方法是直接法,除此以外,对于带有一般性命题的填空题可采用特例法,和图形、曲线等有关的命 题可考虑数形结合法.解题时,常常需要几种方法综合使用,才能迅速得到正确的结果. 4.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断是否正确的唯一标准,因此解填空题时要注意如下几个方面: (1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有据、准确; (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; (3)要重视对所求结果的检验及书写的规范性. 第 3 讲 解答题的六个答题模板 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功 能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.在高考考场上,能否做好 解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考中学会怎样解题,是一项重要的内容.故而在平时积累一些数学解答 题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即所谓的“答题模板”是一项重要的工作.“答题模板”就是首先把高考 试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为 零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化. 模板 1:三角变换与三角函数的性质问题、解三角形问题; 模板 2:数列的通项、求和、证不等式问题 模板 3:利用空间向量证明、求角、求距离问题; 模板 5:离散型随机变量的概率、均值与方差 模板 4:圆锥曲线中的范围问题、探索性问题 模板 6:函数的单调性、极值、最值、零点问题

33

例 1.设函数( ) = ? 1 ? ? 2 ,若当 ≥ 0时,( ) ≥ 0,求的取值范围. 解法 1: ′ () = ? 1 ? 2( ≥ 0),则 ′′ ( ) = ? 2 ∈ [1 ? 2, + ∞), 当1 ? 2 ≥ 0,即 ≤ 2时, ′′ ( ) ≥ 0, ′ ( )在[0, + ∞)上单调递增, ′ ( ) ≥ ′ (0) = 0, 所以()在[0, + ∞)上单调递增,此时() ≥ (0) = 0恒成立; 当1 ? 2 < 0,即 > 2时, ′′ ( ) = ? 2 = ? ln2 ,
1 1

则 ∈ [0,ln2]时, ′′ () ≤ 0,知 ′ ( )在[0,ln2]上单调递减,此时 ′ ( ) ≤ ′ (0) = 0, 所以()在[0,ln2]上单调递减,此时( ) ≤ (0) = 0,则 ( ) ≥ 0不会恒成立;

综上可知,的取值范围为(?∞, 2]. 解法 2:由于(0) = 0,则当 > 0时,( ) ≥ 0 令1 ( ) =
??1 2

1

? 1 ? ? 2 ≥ 0
3



??1 2



( > 0),则1′ ( ) =

(?2) ++2

( > 0);

令2 ( ) = ( ? 2) + + 2( > 0),则2′ () = (?1) + 1( > 0); 令3 ( ) = (?1) + 1( > 0),则3′ ( ) = > 0( > 0); 由3′ ( ) > 0( > 0),知3 ()在(0, + ∞)上递增,∴3 ( ) > 3 (0) = 0,即2′ ( ) > 0, 由2′ ( ) > 0( > 0),知2 ()在(0, + ∞)上递增,∴2 ( ) > 2 (0) = 0,即1′ ( ) > 0, 由1′ ( ) > 0( > 0),知1 ()在(0, + ∞)上递增, ∴由罗必塔法则,1 ( ) > lim1 () = lim
→0 ??1 2 →0

= lim

?1

→0 2

= lim



→0 2

= 2;

1

从而 ≤ .
2

1

解法 3:由于(0) = 0,则当 > 0时,( ) ≥ 0 由罗必塔法则,有lim 猜想
??1 2 1 ??1 2 →0

? 1 ? ? 2 ≥ 0
→0 2



??1 2



= lim

?1

→0 2

= lim
1

= 2,

1

> 2 ( > 0),即 ? ? 1 ≥ 2 2 ( ≥ 0),下面证明:
1

令?() = ? ? 1 ? 2 2 ( ≥ 0),则?′ () = ? 1 ? ,?′′ ( ) = ? 1, 由?′′ () ≥ 0( ≥ 0),知?′ ( )在[0, + ∞)上递增,∴?′ () ≥ ?′ (0) = 0, 由?′ ( ) ≥ 0( ≥ 0),知?()在[0, + ∞)上递增,∴?() ≥ ?(0) = 0, 即 ? ? 1 ≥ 2 2 ( ≥ 0,当且仅当 = 0时等号成立),猜想成立,从而 ≤ 2. 例 2.已知函数( ) =
1+ln(+1) 1 1



⑴请确定函数()在定义域上的单调性,并说明理由; ⑵当 > 0时, ( ) > +1恒成立,求正整数的最大值. 解:⑴()的定义域为(?1,0)?(0, + ∞), ′ ( ) = ? 2 [+1 + ln( + 1)], 当 ∈ (0, + ∞)时, ′ ( ) < 0; 当 ∈ (?1,0)时,令g( ) = +1 + ln( + 1), 则g ′ ( ) = (+1)2 < 0,g()递减,g() > g(0) = 1 > 0,则 ′ ( ) < 0; 因此,()在(?1,0),(0, + ∞)均为减函数. ⑵法一:当 > 0时, ( ) > +1 ?() =
+1+(+1) ln(+1) 1 1 1

<

+1+(+1) ln(+1)


2

( > 0),则?′ ( ) =

?1?ln(+1)



34

令( ) = ? 1 ? ln( + 1) ( > 0),则′ ( ) = 1 ? +1 > 0,()单调递增, 又(2) = 1 ? ln3 < 0,(3) = 2 ? ln4 > 0,知( )的零点0 ∈ (2,3), 则0 < < 0 时,( ) < 0,?′ ( ) < 0; > 0时,( ) > 0,?′ ( ) > 0; 所以?()在(0,0 )上递减,在(0 , + ∞)上递增, 则?()min = ?(0 ),又0 ? 1 ? ln(0 + 1) = 0 ? ln(0 + 1) = 0 + 1, 所以 < ?( )min =
0 +1+(0 +1) ln(0 +1) 0

1

= 0 + 1 ∈ (3,4),从而正整数的最大值为 3.

法二:由(1) > 2 ? < 2(1 + ln2),而2(1 + ln √) < 2(1 + ln2) < 2(1 + ln ),即3 < 2(1 + ln2) < 4, 猜想正整数的最大值为 3,下面证明 ( ) > +1 ( > 0)恒成立: 证明:由于 ( ) > +1
3 1+ln(+1) 3

> +1

3

( + 1) ln( + 1) + 1 ? 2 > 0( > 0).

令?() = ( + 1) ln( + 1) + 1 ? 2 > 0( > 0),则?′ ( ) = ln( + 1) ? 1 = ln( + 1) ? ln , 则 > ? 1时,?′ ( ) > 0,?()递增;0 < < ? 1时,?′ ( ) < 0,?()递减. 所以?() ≥ ?( ? 1) = 3 ? > 0.从而 ( ) > 【法二与法一相比,非常简捷! 】 (法三)反其道而行之,不分离参数: 当 > 0时,( ) > +1
1+ln(+1) 3 +1

( > 0)恒成立.

> +1



( + 1) ln( + 1) + + 1 ? > 0.

令?() = ( + 1) ln( + 1) + + 1 ? ( > 0), 则?′ ( ) = ln( + 1) + 2 ? = ln( + 1) ? ln ?2 , 当 ?2 ? 1 ≤ 0,即 ≤ 2时,?′( ) ≥ 0,?()在(0, +∞)单调递增,则?( ) > ?(0) = 1 > 0, 当 ?2 ? 1 > 0,即 > 3时,?()在(0, ?2 ? 1)单调递减,在( ?2 ? 1, +∞)递增, 则?() ≥ ?( ?2 ? 1) = ? ?2 , ①当 = 1,2,3时, ? ?2 > 0; ②当 ≥ 4时,下面证明 ? ?2 < 0:设g( ) = ? ?2 ( ≥ 4),则g ′ ( ) = 1 ? ?2 < 0, 可知g()在[4, +∞)单调递减,所以g() ≤ g(4) = 4 ? 2 < 0,即 ? ?2 < 0( ≥ 4)成立, 综上可知 = 3. 例 3.已知( ) = 2 + 4 + 2,g() = 2 ( + 1),若( ) ≤ g()对 ≥ ?2恒成立,求实数的取值范围. 解: ( ) ≤ g()对 ≥ ?2恒成立
2 +4+2

2 + 4 + 2 ≤ ? 2 ( + 1)对 ≥ ?2恒成立,由于 = ?1时不等式成立,

所以原命题

{ , 2 +4+2 ≥ 2 (+1) ,对 ∈ (?1, + ∞)恒成立②
?(+2)2

≤ 2 (+1) ,对 ∈ [?2, ? 1)恒成立①

令( ) = 2 (+1),则 ′ () = 2 (+1)2, 易知()在[?2, ? 1)上递增,在(?1,0)上递增,在(0, + ∞)上递减, 则由①可得, ≤ (?2) = 2 ,由②可得 ≥ (0) = 1, 从而实数 的取值范围为1 ≤ ≤ 2 . 例 4.已知是实数,函数 ( ) = 2 2 + 2 ? 3 ? ,如果函数 = ()在[?1,1]上有零点,求的取值范围. 解:函数 ( ) = 2 2 + 2 ? 3 ? 在[?1,1]上有零点 (2 2 ? 1) = 3 ? 2在[?1,1]上有解 令?( ) =
2 2 ?1 3?2 1

2 +4+2

2 2 + 2 ? 3 ? = 0在[?1,1]上有解 在[?1,1]上有解. = (3?2)2 ( ?
35
?4 3+√7 2

=

2 2 ?1 3?2

【倒数法分离参数】
3?√7 2

, ∈ [?1,1].则?′( ) =

?4 2 +12?2 (3?2)2

)( ?

), ∈ [?1,1].

可知?()在[?1, ∴?( )min = ?(
2

3?√7 3?√7 ]上递减,在[ 2 ,1]上递增. 2

3?√7

) = √ ? 3,?( )max = max{?(?1),?(1)} = ?(1) = 1,
1 ?3?√7 . 2

即√ ? 3 ≤ ?( ) ≤ 1,所以√ ? 3 ≤ ≤ 1,解之得 ≥ 1 或 ≤
例 5.已知椭圆方程
2 4

+

2 3

= 1,直线过点(?1,0),且与椭圆交于,两点,又点为椭圆的右焦点,求? 的内切

圆面积的最大值. 解:点(?1,0)为椭圆的左焦点′,由题设知? 的周长为4 = 8,设? 内切圆半径为 R, 则? = 2 × 8 × ,∴ = 4 ? . 依题意可设直线的方程为 = + 1, (1 , 1 ),(2 , 2 ), = + 1 由{ 2 得(3 2 + 4) 2 ? 6 ? 9 = 0, 3 + 4 2 = 12 ∴1 + 2 = 3 2+4,1 2 = 3 2+4, ∴? = 2 | ′ | ? |1 ? 2 | = |1 ? 2 | = √(1 + 2 )2 ? 41 2 = 12√(3 2+4)2 , 令 = 2 + 1 ,则(3 2+4)2 = () = (3+1)2 ( ≥ 1), ∵ ′ () = (1+3)3 < 0( ≥ 1), ∴()在[1, +∞)上递增, ()max = (1) = 16, ∴? 的最大值为12 × 4 = 3, ∴max = 4,故? 的内切圆面积的最大值为16 π. 例 6.已知圆:( + √5)2 + 2 = 36及定点(√5,0),点是圆上的动点,点在上,点 在上,且它们满足 ?????? = 2 ?????? , ????? ? ?????? = 0. (1)求点 的轨迹 的方程; ????? = ????? + ????? ,是否存在这样的直线,使 (2)过点(2,0)作直线,与曲线 交于,两点,是坐标原点,设 四边形的对角线相等?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. ?????? = 2 ?????? , ????? ? ?????? = 0知是的垂直平分线,∴|| = ||, 解: (1)由 ∴|| + || = || + || = || = 6 > 2√5, ∴点 的轨迹是以,为焦点的椭圆,又 = 3, = √5, = 2, ∴点 的轨迹 的方程为: 9 +
2 2 4 3 9 1 1 1?3 2 +1 1 2 +1 6 ?9 1 1

= 1.


16

(2)依题意可设直线的方程为 = ? 2,又设(1 ,1 ),(2 ,2 ), 由{ = ? 2, 得4( + 2)2 + 9 2 = 36, 4 2 + 9 2 = 36



1 + 2 = ? 4 2+9 , 整理得(4 2 + 9) 2 + 16 ? 20 = 0,∴{ 20 1 ? 2 = ? 4 2+9 . ????? + ????? 又????? = ?四边形为平行四边形;若存在直线,使四边形的对角线相等,则四边形 ????? ⊥ ????? . 为矩形,则 ????? ⊥ ????? 而 ????? ? ????? = 0 1 2 + 1 2 = 0
16

(1 + 2)(2 + 2) + 1 2 = 0
2



( 2 + 1)1 2 + 2(1 + 2 ) + 4 = 0, ∴( 2 + 1)(?
20 4 2 +9

) + 2(?

) + 4 = 0 ? = ± , 4 2 +9 3
36

∴存在直线:3 ? 2 ? 6 = 0 或 3 + 2 ? 6 = 0满足条件. 例 7.已知函数( ) = ( 2 ? ln2 )( ≠ 0). (1)讨论函数 = ()的单调性; (2)如果函数 = ()在点(1, (1))处的切线的斜率为 2, 且函数g( ) = ′ ( ) + ( ? 2)在(1, +∞)内有两个不同的 极值点1 , 2,证明: > ? ln 解: (1) ′ ( ) = 2( ?
ln 2
1 2

. ( > 0),
1 2 2 ?1

)=

2( 2 ?ln )

令?() = 2 ? ln ( > 0),则?′ () = 2 ? = 则易知?()在(0,
√2

=

2(+

2 √2 )(?√ ) 2 2



( > 0),

√2 √2 )上单调递减,在( 2 , +∞)上单调递增, 2 1 √2 2

∴?() ≥ ?( 2 ) = 2 ? ln

> 0,

则当 > 0时, ′ ( ) > 0,()在(0, +∞)单调递增; 当 < 0时, ′ ( ) < 0,()在(0, +∞)单调递减. (2)依题意有 ′ (1) = 2,即2 = 2,得 = 1, ∴ ( ) = 2 ? ln2 ( > 0), ′ ( ) = ? ∴g( ) = ′ () + ( ? 2) = 2( ? 则g ′ ( ) = ?
2?2 ln 2 ln ln


ln

) + ( ? 2) = ? 2

( > 0),

=

2 +2 ln ?2 2

( > 0),不妨设2 > 1 > 1,

则依题意知1 , 2是方程 2 + 2 ln ? 2 = 0的两根, 2 + 2 ln 1 ? 2 = 0 2(ln ?ln ) 2 2) 所以{ 1 ,两式相减,得(2 ? 1 = ?2(ln 2 ? ln 1 ),即 = ? 22? 2 1 . 2 2 + 2 ln 2 ? 2 = 0 2 1 因此, > ? ln
2
1 2

?

2(ln 2 ?ln 1 )
2 ? 2 2 1

> ? ln

2
1 2

ln 2 ?ln 1
2 ? 2 2 1

< ln

1
1 2

ln 2 ?ln 1
2 ? 2 2 1

< ln

1
2 +ln 1

2 2 2 2 ln2 2 ? ln2 1 < 2 ? 1

2 2 2 2 1 ? ln2 1 < 2 ? ln2 2

(1 ) < (2 )

由(1)知()在(0, +∞)单调递增,所以(1 ) < (2 )成立, 故 > ? ln
2
1 2

成立.

例 8.设数列{ }的前项和为 ,已知 = 2 ? 2+1 ( ∈ ? ),
⑴证明数列{2 }为等差数列; ⑵证明数列{+1 }为等比数列; ⑶设 = 2 + +1 ,求数列{ }的前项和为 .







解:⑴当 = 1时,1 = 1 = 21 ? 4,得1 = 4. 又由 = 2 ? 2+1 ( ∈ ? ),得?1 = 2?1 ? 2 ( ≥ 2), 两式相减,得 = 2 ? 2?1 ? 2 ,即 = 2?1 + 2 ( ≥ 2),
∴2 =



2?1 +2 2 2

?1 = 2?1 + 1,即{ 2 }为等差数列, + ( ? 1) × 1 = + 1,所以 = ( + 1) ? 2,设 = +1 ,





⑵由⑴可得2 =

1



则 = +1 = 2 ,所以





?1

= 2?1 = 2,

2

∴数列{+1 }为等比数列; ⑶由⑵可得 = 2 + +1 = ( + 1) + 2 ,







∴ =

(+3) 2

+ 2(2 ? 1).

37

版块 11

化简技巧与常用公式

快速运算,准确计算,近似计算(利用参考数据)、估算.在运算、化简过程中,应该培养观察能力,口算、心算、 同步运算也是很重要的能力!任何一种简洁的解题方法都离不开准确快速的运算做支撑!可以说,得运算者得数学, 得数学者得天下! 一、常见化简 1.繁分式化简分式: 3
1 2 1 ++ 1 4 ?+

=

(

3 1 4 ? + )×

1 2 1 ( ++)×

=

+2+ 3?+4


2+1

(同乘)

2.分式中的负指数幂化成正指数幂:?? = (??)× = 2?1.(同乘) 同底幂相减的化简: ? ?1 = ?1 ( ? 1) = ( ? 1)?1 . 3.齐次式变形:① =
+√3 ;② √3+ sin +2 cos

+ ?

( + ?)×

=

2 2 +4?32 2 ++2

;③2 ? 5 + 42 > 0.(同除) . (同除)

④ = 2 sin ?3 cos ;⑤ = 4.除法分配律(分数裂项) :① 5.分子常数化:① =
2?1 ?1 ?1 +

2 sin2 +3 sin cos +cos2 2 sin2 +3 cos2 ? 1

= + ;② = ? .(分式变形时常用) = ?1 + 2; ② = +4 = = 1 ? +1; = 2( ? 1) + ?1(或用换元法令分母为后,达到分子常数化要求) .
4 2 4
1

=

(2?2)+1 ?1 ( +1)?2 +1

1

2

2 1+

4

( ≠ 0);

③ = +1 = ④ = ⑤ =
?1

2

2 2 ?4+3

=

2(?1)2 +1 ?1

1

9 4 +10 2 +1 9 4 +6 2 +1

= 1 + 9 4+6 2+1 = 1 +

9 2 + 2 +6

(借鉴分子常数化,使分子降次、少项) .

分子常数化手段,对于了解分式函数单调性,图象,求数列最大项、最小项,整数解问题等都有极大的帮助. 6.分母有理化:① ②
1 √+√ 1 √ 2 +1?

=(

1?(√?√) √+√)(√?√)

=

√?√ ; ?

=

1?(√ 2+1+) (√ 2 +1?)(√ 2 +1+) (√?√)(√+√) 1?(√+√) √ 2 +1? 1

= √ 2 + 1 + ;
? √+√

分子有理化:①√ ? √ =

=

; =
1 √ 2 +1+

②√2 + 1 ? =

=

(√ 2 +1?)(√2 +1+) 1?(√ 2 +1+)



7.平方法化简根式: = √5 ? √21 + √5 + √21 ? 2 = 10 + 2√4 = 14 ? = √14. (平方法也是常用变形方法! ) 二、基本公式 8.因式分解、乘法公式:①2 ? 2 = ( ? )( + ); ③2 ? 2 + 2 = ( ? )2 ; ⑤3 ? 3 = ( ? )(2 + + 2 ); ②( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; ④2 + 2 + 2 = ( + )2 ; ⑥3 + 3 = ( + )(2 ? + 2 );

⑦( ? )3 = 3 ? 32 + 32 ? 3 ; ⑧( + )3 = 3 + 32 + 32 + 3 . 9.设实系数 2 + + = 0的两根为1 ,2,令?= 2 ? 4【注意:或缺省时,意味着 = 0 或 = 0】 , ①求根公式:1,2 =
?±√2 ?4 2 √? (?≥ 0).另有|1 ? 2 | = √(1 ? 2 )2 = √(1 + 2 )2 ? 41 2 = ||.

②根与系数的关系(韦达定理) :{

1 + 2 = ? , 1 2 = .




【注意:解此类方程组时可构造方程 2 + + = 0再解】





韦达定理还可以推广到一元三次方程!或更高次方程. ③因式分解: 2 + + = ( ? 1 )( ? 2 ). 【十字交叉法分解因式要熟练! 】 10.配方:① = 2 + + = ( + 2)2 +
4?2 4

( ≠ 0);
38

②2 + 2 + 2 ? ? ? = 2 [( ? )2 + ( ? )2 + ( ? )2 ]; ③2 ± + 2 = ( ± 2)2 + 4 2 ; 11.三角形的四心(正三角形的四心合一! ) 外心:三角形外接圆圆心,是三角形三边垂直平分线的交点,到三角形的三个顶点距离相等. 内心:三角形内切圆圆心,是三角形三内角平分线的交点,到三角形的三边的距离相等. 重心:三角形三条中线的交点,重心把每条中线都分成2: 1(到顶点的距离:到中点的距离). 垂心:三角形三边上的高的交点. (顶点、垂足、垂心 7 个点中,有六组四点共圆) 12.熟悉几组常用勾股数:①3,4,5; ②5,12,13; ③8,15,17; ④7,24,25. 13.函数、方程、不等式的整理要规范.化简、变形应有目的,要避免盲目性、随意性:分式是否要通分,整式是否 要(展开)去括号,多项式是否要提公因式,怎样移项,… 14.对于多项式函数( ) = + ?1 ?1 + ? + 2 2 + 1 + 0 ,若() = 0,则()必含有( ? )这个因式, 因此可以用竖式除法对()进行因式分解.
3

1

④2 + 2 = ( + )2 ? 2;

⑤ 2 + 2 = ( + )2 ? 2.

1

1

掌握运算技巧,提高解题速度——得运算者得数学,得数学者得天下.

例.已知函数 ( ) =

2 +(?1)? (+1)

? ln( > ?1, ≥ 1).
1 2 1 3 1 2(+1)

⑴若 ( ) ≥ 0恒成立,求参数的取值范围;⑵证明:1 + + + ? + > ln( + 1) + 解:⑴ ′ ( ) =
2 ?(+1)+ (+1) 2

( ≥ 1).

=

(?)(?1) (+1) 2

( > ?1, ≥ 1).

若 > 1,则易知()在[1,)上单调递减,此时 ( ) ≤ (1) = 0,显然( ) ≥ 0( ≥ 1)不会恒成立; 若?1 < ≤ 1,则易知()在[1, + ∞)上单调递增,此时 ( ) ≥ (1) = 0,满足题设. 综上可知,的取值范围是(?1,1]. 【此问用分离参数法做法反而太复杂,正所谓通法先行、随机应变! 】 ⑵记 = 1 + 2 + 3 + ? + ,下面用数学归纳法证明 > ln( + 1) + 2(+1) ( ≥ 1): 1°当 = 1时,左边?右边= 1 ? ln2 ? 4 = 4 ? ln2 = 4 (ln 3 ? ln24 ) > 4 (ln2. 2°假设 = 时,不等式成立,即 > ln( + 1) + 2(+1), 则+1 = + +1 > ln( + 1) + 2(+1) + +1 = ln( + 1) + 2(+1), 则下面只需证明ln( + 1) + 2(+1) > ln( + 2) + 2(+2),即证明2 (+1 ? +2) > ln +1.……① 而由⑴知,当 = 1, ≥ 1时, ( ) ≥ 0,即2 ( ? ) > ln,令 = +1,可知①成立, 所以+1 > ln( + 2) + 2(+2),即 = + 1时,不等式也成立, 由1°,2°可知,不等式 > ln( + 1) + 2(+1),即原不等式对 ≥ 1都成立. 【用数学归纳法证明,可以避免(用综合法时)出现对函数型不等式不会赋值的局面. 】
+1 1 1 +2 +2 +1 1 +2 +1 +2 1 1 +2 1 3 1 1 3 1 1 1

? ln16) > 0,不等式成立;

39

版块 12

高考考什么

⒈【集合与常用逻辑用语】集合与常用逻辑用语知识是掌握和使用数学语言的基础.高考主要从两个方面对集合和常用逻辑 用语知识进行考查:①考查它们各自本身的基础知识,如集合间的基本关系, 集合的基本运算, 命题的四种形式及关系, 充分条件、必要条件的理解与判定,逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义以及全称量词与存在量词的使用等.②将它们 作为工具,与函数、不等式、线性规划等知识结合考查. ⒉【函数、导数、不等式】函数、导数、不等式是高中数学的重点内容.函数思想方法贯穿于整个高中数学课程的始终,不 等式在数学的各个分支中都有广泛的应用.而导数是研究函数的性质及不等式的重要工具.高考主要从六个方面对函数、 导数、不等式进行考查.①基本初等函数的图象与性质;②不等式的性质、解不等式、基本不等式的应用;③用图解法求 线性规划问题;④导数及其运算;⑤定积分的基本计算;⑥函数、导数、不等式等知识的综合运用. ⒊【三角函数】三角函数是描述周期现象的基础数学工具.高考主要从四个方面对三角函数进行考查:①运用基本三角公式 进行三角函数式的化简、求值与证明;②三角函数的图象与性质以及图象变换、读图识图等;③三角形中的三角变换以 及正弦定理、余弦定理的运用;④与其他知识(如平面向量、导数、参数方程、概率)综合考查. ⒋【数列】数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一.高考主要从四个方面对数列进行考查: ①单一考查等差数列、等比数列的基础知识;②等差数列与等比数列知识相结合; ③将数列与函数、导数、不等式等知识结合;④运用数列知识解决实际问题. ⒌【平面向量】向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,同时又是数形 结合思想运用的典范. 高考主要从四个方面对平面向量进行考查: ①向量的线性运算与数量积; ②向量基本定理的运用; ③向量运算的几何意义;④与其他知识(如函数、三角函数、解三角形、平面解析几何等)结合考查. ⒍【平面解析几何初步、圆锥曲线与方程】解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现数形结合的重要数学思 想. 高考主要从六个方面对平面解析几何初步、圆锥曲线与方程进行考查:①直线的倾斜角和斜率的概念,两直线的交 点坐标、直线和圆的方程;②两点间的距离、点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法;③直线与直线、直线与 圆、圆与圆的位置关系的判定;④圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质;⑤直线与圆锥曲线的位置关系;⑥与其他 知识(如函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、概率等)结合考查. ⒎【立体几何】内容包括“立体几何初步”和“空间向量与立体几何”两部分.其中, “立体几何初步”着重培养和发展学生 的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力; “空间向量与立体几何”的基本特点 是用空间向量处理立体几何问题. 高考主要从三个方面对立体几何进行考查: ①几何体的三视图的知识及空间想象能力; ②空间中线线、线面、面面的位置关系的判断及论证;③计算异面直线的夹角、直线与平面所成的角、二面角以及点到 平面的距离、简单几何体的表面积、体积等. ⒏【计数原理与概率统计】计数原理是学习概率的基础,为人们解决很多实际问题提供了思想和工具;概率是研究随机现象 规律的学科,为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法;统计是研究如何合理收集、整理、分析数 据的学科,它能为人们制定决策提供依据.高考主要从五个方面对计数原理与概率统计知识进行考查:①两个基本原理的 运用,排列、组合的概念与计算;②二项式定理的运用;③概率计算;④统计的基础知识;⑤对概率与统计知识的综合 考查. ⒐【算法初步】算法是计算科学的重要基础.高考中,算法内容往往结合高中数学课程其他相关内容与具体的数学实例,将 需要解决的问题的过程整理成程序框图,在运用程序框图解决问题的过程中,考查算法的基础知识、程序框图的三种基 本逻辑结构以及有条理的思考与表达的能力,同时考查算法的思想. ⒑【数系的扩充与复数的引入】复数是中学阶段数系的又一次扩充.它与平面向量、平面解析几何、三角函数都有密切的联 系,是学生进一步学习数学的基础.高考主要考查复数的概念和代数形式的四则运算等内容. ⒒【选修系列 4】选修系列 4 的内容反映了某些重要的数学思想,能培养学生探究数学问题的兴趣,从而进一步通过提高学 生的数学素养,高考主要从三个方面对选修系列 4 进行考查:①对“几何证明选讲”部分,主要考查圆的切割线定理、 圆周角定理、割线定理、相交弦定理及解直角三角形等基础知识的运用;②对“坐标系与参数方程”部分,主要考查曲 线(含直线)的参数方程、极坐标方程与普通方程的互化等基础知识的运用;③对“不等式选讲”部分,主要考查柯西 不等式的简单运用及解简单的绝对值不等式等. ⒓【应用题】培养数学应用意识是数学学科特点决定的,也是时代发展的需要.高考对应用意识考查的主要特点是: ①设置“双应用解答题” ,一道与概率、统计内容相关,另一道与传统的内容有关;②密切联系现实生活设置问题情境, 背景公平;③问题所涉及的数学知识和方法有一定的深度和广度,突出数学在解决实际问题时的应用价值. ⒔【创新题】创新意识是理性思维的高层次表现.高考中,考查创新意识,常通过对直觉思维、归纳、类比、空间想象、 联 想、转化等能力的考查,通过对新概念、新符号等信息的接收、加工能力的考查来实现.

知识的全面性、方法的熟练性、运算的准确性,决定了你的高考成绩!你准备好了吗?
编辑:陈永清 电话:13007360090
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