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数列求和方法及例题整理(完稿)


数列求和方法及例题整理(完稿)
一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、 差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q

? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

? k ? 2n(n ? 1)
k ?1 n

n

1

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

4、 S n ?

?k
k ?1

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

例 1 :已知 log3 x ?

解:由 log3 x ?

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
x (1 ? x n ) = 1? x

1 1 (1 ? n ) 2 =2 1 1? 2 1 =1- n 2
解析:如果计算过程中出现了这些关于 n 的多项式的求和形式,可以直接利用公式。

例 2 已知 an ? ?2n ? 5 ,求 an 的前 n 项和 S n
解析:由 an ? an?1 ? ?2n ? 5 ? [?2(n ? 1) ? 5] ? ?2 知: ?an ? 是等差数列 ∴

Sn ?

(a1 ? a n )n [?2 ? 1 ? 5 ? (?2n ? 5)]n ? ? n( 4 ? n) 2 2
1 1 1 ? 2 ? … ? n ?1 2 2 2 1
n ?1

例题 2 求 S n ? 1 ? 解析:数列 a n ?

(n ? N ? )
1 2

2

是等比数列,公比为

1

∴ 根据 S n ?

a1 (1 ? q ) 1 1 1 得 S n ? 1 ? ? 2 ? … ? n ?1 ? 2 2 1? q 2
n

1 ? (1 ?

1 ) 2n ? 2 ? 1 1 2 n?1 1? 2

例 3. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n 2 ? n , (n ? N ? ) ,求其前 n 项和 S n
解析: S n ? (12 ? 1) ? (2 2 ? 2) ? … ? [(n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? (n 2 ? n)

? [12 ? 2 2 ? … ? (n ? 1) 2 ? n 2 ] ? (1 ? 2 ? … ? (n ? 1) ? n
∵ ∴

12 ? 2 2 ? … ? (n ? 1) 2 ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 1 (1 ? n)n S n ? n(n ? 1)( 2n ? 1) ? 6 2 1 ? n(n ? 1)[( 2n ? 1) ? 3] 6 1 ? n(n ? 1)( n ? 2) 3
二、错位相减

这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。

例 1:求数列 {nqn?1} ( q 为常数)的前 n 项和。
解:Ⅰ、若 q =0, 则 S n =0 Ⅱ、若 q =1,则 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Ⅲ、若 q ≠0 且 q ≠1, 则 S n ? 1 ? 2q ? 3q 2 ? ?? nqn?1 ① ②

1 n(n ? 1) 2

qSn ? q ? 2q 2 ?3q 3 ? ?? nqn

①式—②式: (1 ? q)S n ? 1 ? q ?q 2 ?q 3 ? ?? q n?1 ? nqn

? Sn ?

1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? ? ? q n ?1 ? nqn ) 1? q

? Sn ? ? Sn ?

1 1? qn ( ? nqn ) 1? q 1? q

1? qn nqn ? (1 ? q) 2 1 ? q

2

? ?0(q ? 0) ? ?1 综上所述: S n ? ? n(n ? 1)(q ? 1) ?2 ? 1? qn nqn ? (q ? 0且q ? 1) ? 2 1? q ? (1 ? q)
解析:数列 {nqn?1} 是由数列 ?n?与 q n ?1 对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减, (课本中的的等比 数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的) , 但要注意应按以上三种情况进行分类讨论, 最后再综合成三种 情况。

? ?

例 2.求数列 a n ? 2n ? ( ) n ?1 的前 n 项和 S n
解析:其系数成等差数列,幂成等比数列,利用错位相减法求和

2 3

2 2 2 2 2 S n ? 2 ? ( ) 0 ? 2 ? 2 ? ( ) 2?1 ? 2 ? 3 ? ( ) 3?1 ? … ? 2(n ? 1) ? ( ) n ? 2 ? 2n ? ( ) n ?1 ……① 3 3 3 3 3 2 2 1 2 2 2 3 2 n ?1 2 n S n ? 2 ? ( ) ? 2 ? 2 ? ( ) ? 2 ? 3 ? ( ) ? … ? 2(n ? 1) ? ( ) ? 2n ? ( ) ……② 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ( ) 2 ? … ? 2 ? ( ) n ? 2 ? 2 ? ( ) n ?1 ? 2n ? ( ) n ① - ②得 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? [( ) 0 ? ? ( ) 2 ? … ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ] ? 2n ? ( ) n 3 3 3 3 3 3 2 2[1 ? ( ) n ] 3 ? 2n ? ( 2 ) n ? 6 ? (2n ? 1) ? ( 2 ) n ? 2 3 3 1? 3


S n ? 18 ? (2n ? 1) ?

2n 3 n ?1

三、倒序相加 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相 加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) 。
0 1 2 n 例 1 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)

①+②得

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)
3



S n ? (n ? 1) ? 2 n

解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。 例 2.已知数列 an ? 2n ? 1 , (n ? N ? ) ,求其前 n 项和 S n 解析: S n ? 1 ? 3 ? 5 ? … ? [2(n ? 1) ? 1] ? (2n ? 1) ∴ ∵

S n ? (2n ? 1) ? [2(n ? 1) ? 1] ? … ? 5 ? 3 ? 1
1 ? (2n ? 1) ? 3 ? [2(2n ? 1) ? 1] ? … ? 2n

两式相加(用倒序求和): 2S n ? 2n ? 2n ? … ? 2n ? 2n ? 2n

例 3:若函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。
(1) a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (2)求数列 {

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 {an } 是等差数列吗?是证明你的结论; n

1 } 的的前 n 项和 Tn 。 an ? an?1

解: (1) 、 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 2 n ?1 ) ? f (1) (倒序相加) n n n n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ? a n ? f (1) ? f ( n n n 1 n ?1 2 n ? 2 1? 0 ? ? ? ? ???1 n n n n

则,由条件:对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。

2 n ?1 ) ? 2an ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (

? an ? n ? 1 ? an?1 ? n ? 2 ? an?1 ? an ? 1
从而:数列 {an } 是 a1 ? 2, d ? 1 的等差数列。 (2) 、

1 1 1 1 ? ? ? a n ? a n?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1 ) ? (n ? 2)
1 2 1 1 1 1 1 n ??? ? ? ? ? 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4

? Tn =

1 1 3 3 n 故: Tn = 2n ? 4

? Tn = ? ? ?

解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。
4

此例题不仅利用了倒序相加法,还利用了裂项相消法。在数列问题中,要学会灵活应用不同的方法加以求 解。

四、分组求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见 的数列,然后分别求和,再将其合并即可。奇偶项法也属于分组求和。

例 1:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)
解法:按 n 为奇偶数进行分组,连续两项为一组。 当 n 为奇数时: Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1) =2×

n ?1 +(-2n+1) 2

=-n 当 n 为偶数时: Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)] =2× =n ∴Sn=

n 2
-n (n 为奇数) n (n 为偶数)

例 2. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (?1) n (2n ? 1) , (n ? N ? ) ,求其前 n 项和 S n
解析: (1). n 为奇数时:

S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? … ? (?1) n (2n ? 1)
? [?1 ? 5 ? 9 ? … ? (2n ? 1)] ? [3 ? 7 ? 11? … ? (2n ? 3)] ( 前面部分为


n ?1 项 , 后面部分 2

n ?1 项) 2

??

(1 ? 2n ? 1) ? 2

n ?1 n ?1 (3 ? 2n ? 3) ? 2 ? 2 ? ? 2n ? ? n 2 2

(2). n 为偶数时:

S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? … ? (?1) n (2n ? 1)
? [?1 ? 5 ? 9 ? … ? (2n ? 3)] ? [3 ? 7 ? 11? … ? (2n ? 1)]
n 项) 2
(前面部分为

n 项,后面部分为 2

??

(1 ? 2n ? 3) ? 2

n n (3 ? 2n ? 1) ? 2? 2 ?n 2

5

1 , (n ? N ? ) ,求其前 n 项和 S n 2n 1 1 1 ) 解析: S n ? (3 ? 1 ? 2) ? 1 ? (3 ? 2 ? 2) ? 2 ? … ? [( 3n ? 2) ? 2n 2 2 1 1 1 ? [1 ? 4 ? … ? (3n ? 2)] ? ( ? ? … ? n ) 2 4 2 1 1 (1 ? n ) (1 ? 3n ? 2)n 2 2 ? ? 1 2 1? 2
例 3. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? (3n ? 2) ?

?

(3n ? 1)n 1 3n 2 ? n ? 2 1 ?1? n ? ? n 2 2 2 2

例 4:求数列{

1 n ?1 + n ? 2 }的前 n 项和 S n n(n ? 1)

解:令 a n ?

1 n(n ? 1)

bn ? n ? 2 n?1

S n ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ? ? (an ? bn )

? S n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn )
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) 2 2 3 3 n n ?1 1 ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) ? S n ? (1 ? n ?1

? S n ? (1 ?

令 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1

① ②

2Tn ? 2 ? 2 ?22 ?3 ? 23 ? ?? n ? 2n

①式—②式: (1 ? 2)Tn ? 1 ? 2 ?22 ?23 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n

? Tn ? ?(1 ? 2 ?22 ?23 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n )
1 ? 2n T ? ? ( ? n ? 2n ) ? n 1? 2

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1
1 1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 n n ?1 n ?1 1 2 n 例 3:求数列{ ( x ? n ) }的前 n 项和 S n x 1 2 n 分析:将 a n ? ( x ? n ) 用完全平方和公式展开,再将其分为几个数列的和进行求解。 x
故: S n ? (1 ?
6

解: a n ? ( x ?
n

1 2 1 1 1 1 ) = ( x n ) 2 ? 2 ? x n ? n ? ( n ) 2 = x 2n ? 2 ? 2n = x 2n ? 2 ? ( ) 2n n x x x x x 1 1 1 S n ? [ x 2 ? 2 ? ( ) 2 ] ? [ x 4 ? 2 ? ( ) 4 ] ? ? ? [ x 2n ? 2 ? ( ) 2n ] x x x 1 1 1 ? S n ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? (2 ? 2 ? ? ? 2) ? [( ) 2 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n ] x x x

(首项 x ,公比 x 等比数列) (常数列) Ⅰ、令 Tn ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2n

2

2

(首项 ( ) ,公比 ( ) 等比数列)

1 x

2

1 x

2

① x ? 1 时, Tn ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2n = 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ② x ? 1 时, Tn ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2n =

x 2 ? x 2n ? x 2 x 2n?2 ? x 2 ? 1? x2 x2 ?1

Ⅱ、令 M n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2n Ⅲ、令 G n ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( )
2 4

1 x

1 x

1 x

2n

1 1 1 x x x 1 2 1 4 1 2n ② x ? 1 时, G n ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) x x x

2 4 2n ① x ? 1 时, Gn ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n

x 2n?2 ? x 2 1 1 1 1 1 ? ( ) 2 ? ( ) 2n ? ( ) 2 x x = x 2 x 2n?2 = x 2 ? x 2 n? 2 = x 1 x2 ?1 x2 ?1 1 ? ( )2 x x2 x2
=

x 2n?2 ? x 2 x2 x 2 ? ( x 2 n ? 1) ? = x 2 ? x 2 n ? 2 x 2 ? 1 x 2 n ?x 2 ? ( x 2 ? 1)

= 综上所述:

x 2n ? 1 x 2 n ( x 2 ? 1)

① x ? 1 时, S n ? Tn ? M n ? Gn ? n ? 2n ? n ? 4n ② x ? 1 时, S n ? Tn ? M n ? Gn ?

x 2n? 2 ? x 2 x 2n ? 1 ? 2n ? 2n 2 x2 ?1 x ( x ? 1)

这个题,除了注意分组求和外,还要注意分类讨论思想的应用。

7

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新 组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n)

(2)

sin 1 ? tan(n ? 1) ? tann cosn cos(n ? 1)

1 1 1 (3) a n ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1
(5) a n ?

(2n) 2 1 1 1 (4) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

例 1:求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

解:∵

1 1 1 = ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 2 3 3 n n ?1 1 ? Sn ? 1 ? n ?1 Sn ? 1 ? 1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

例 2:求数列

解:∵

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

Sn=

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 n n?2 ? ?

1 1 1 1 (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 ? = ? 4 2n ? 2 2n ? 4
=

例 3.已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ?

4 ? , (n ? N ) ,求其前 n 项和 S n n(n ? 1)

8

解析: ∵

4 1 1 ? 4( ? ) n(n ? 1) n n ?1



Sn ? 2 ?

4 4 4 4 ? ? …? ? 2(2 ? 1) 3(3 ? 1) (n ? 1)[(n ? 1) ? 1] n(n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ) ? 4( ? ? ?…? (n ? 1)[(n ? 1) ? 1] n(n ? 1) 2 2(2 ? 1) 3(3 ? 1)
? 4(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ) ? ? ? ? ?…? n ?1 n n n ?1 2 2 3 3 4 1 4n ? 4(1 ? )? n ?1 n ?1

另外根式 如: a n ?

1 n ?1 ? n

? n ?1 ? n

也可以用裂项法

六、合并求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项 放在一起先求和,然后再求 Sn.

例 1: 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.
解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
……

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5
9

七、拆项求和 先研究通项,通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,再代入公式求和。

例 1:求数 5,55,555,…,55…5 的前 n 项和 Sn

5 n 解: 因为 55…5= (10 ? 1) 9 n
所以 Sn=5+55+555+…+55…5 n =

n

5 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9

?

?

=

? 5 ?10(10n ? 1) ? n? ? 9 ? 10 ? 1 ?
50 5 50 ? 10 n ? n ? 81 9 81 1 2

=

解析:根据通项的特点,通项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和。

1 1 1 ? 3 ? ??? ? n n 4 8 2 1 1 解:由于: a n ? n n ? n ? n 2 2 1 1 1 1 则: S n = (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? ? ? n ) (等差+等比,利用公式求和) 2 4 8 2 1 1 (1 ? ( ) n ) 1 2 = n(n ? 1) ? 2 1 2 1? 2 1 1 n = n(n ? 1) ? 1 ? ( ) 2 2
例 2: S n = 1 ? 2

10


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