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2014一轮复习三角函数公式(学生) -


高中数学

授课教师:李川

教学模式:一对一

学生:

三角函数公式
●考试目标 主词填空 1.两角和与差的三角函数. (1)cos(α ±β )= cos? cos ? ? sin ? sin ? ; (2)sin(α ±β )= sin ? cos ? ? cos? sin ? ;<

br />tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

(3)tan(α ±β )=

2.倍角公式. (1)sin2α =2sinα cosα ; (2)cos2α =2cos2α -1=1-2sin2α =cos2α -sin2α ; 2 tan? (3)tan2α = . 1 ? tan2 ? 3.半角公式. (1)sin

?
2

??

1 ? cos? ; 2

(2)cos

1 ? cos? ? =? ; 2 2 1 ? cos? ? =? . 1 ? cos? 2

? (3)tan

●题型示例 点津归纳 【例 1】 (1) 化简下列各式:

3 1 cos15°- cos75°; 2 2

(2)tan19°+tan41°+ 3 tan19°?tan41°. ? 【解前点津】 (1)考虑
3 1 , 所对应的特殊角,逆用差角的正弦公式; 2 2

(2)展开 tan(19°+41°)变形即得. 【规范解答】 (1)原式=sin60°?cos15°-cos60°?sin15° =sin(60°-15°)=sin45°= (2)∵tan(19°+41°)=
2 ; 2

tan19? ? tan 41? , 1 ? tan19? ? tan 41?

∴ 3 ?(1-tan19°?tan41°)=tan19°+tan41°,∴原式= 3 .

1

【解后归纳】 对三角函数公式进行逆用或变用,是必须掌握的一项基本功. 【例 2】 已知

? 3? 12 3 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 值. 2 4 13 5

【解前点津】 进行“角变形”.用α +β 及α -β 的形式表示 2α ,就能与条件 对上号! 【规范解答】 由条件知:(α -β )是第一象限角,(α +β )是第三象限角. 故 sin(α -β )>0,cos(α +β )<0 所以, sin(α -β )= 1 ? cos2 (? ? ? ) ? 1 ? ?
5 ? 12 ? ; ? ? 13 ? 13 ? ? 3? ? 5?
2 2

cos(α +β )=- 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? 1 ? ? ? ? ? ?

4 . 5

∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )?cos(α +β )+cos(α -β )?sin(α +β ) =
5 ? 4 ? 12 ? 3 ? 56 . ??? ? ? ??? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 ? 5 ? 65

【解答归纳】 应用三角公式,为了与条件对上号,掌用的变形手段有: ①变角,(本题就是对角进行变形).②变名,(改变函数名称).③变式,(改变式子结构). 【例 3】 已知-

?
2

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
2

,且 tanα ,tanβ 是方程 x2+6x+7=0 的两个根,求

α +β 的值. 【解前点津】 先计算 tan(α +β )的值及α +β 的取值范围,再确定α +β 值. 【规范解答】 ①∵-

?
2

?? ?

?
2

,?

?
2

?? ?

?
2

,∴-π <α +β <π .

由根与系数的关系得:tanα +tanβ =-6<0,tanα ?tanβ =7>0, ∴tanα <0,tanβ <0,+∴-π <α +β <0. tan? ? tan ? ?6 3 ②∵tan(α +β )= ? ? 1 ,∴α +β =- ? . 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 7 4 【解后归纳】 考察α +β 的取值范围,是一项精细的工作, 要善于综合利用 “各种信息” , 去伪存真,从而达到“准确定位”. 【例 4】 已知 sinα +sinβ =
2 ,求 cosα +cosβ 的取值范围. 2

【解前点津】 令 m=cosα +cosβ ,利用条件,构造关于 m 的方程. 【规范解答】 设 cosα +cosβ =m ① 又 sinα +sinβ =
2 2

②.
1 1 3 +m2 ? cos(α +β )= m 2 ? . 2 2 4

①2+②2 得:2+2cos(α +β )= ∵-1≤cos(α -β )≤1, ∴-1≤

m2 3 14 14 14 14 ≤m≤ ,故- ≤cosα +cosβ ≤ . ? ≤1 解之:- 2 4 2 2 2 2

【解后归纳】 本题的解答体现了“方程思想”构造方程,并利用三角函数的有界性,是 解题的基本思路. 2

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●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.已知 sinα ?sinβ =1,那么 cos(α +β )的值等于 A.-1 B.0 C.1 D.±1 ? 2.若 A,B 是△ABC 的内角,并且(1+tanA)?(1+tanB)=2,则 A+B 等于 A.

( ( (k∈Z) ( )

)

? 4

?

B.

3? 4

? C.

5? 4

D. k? ?

?
4

3.若 0<α < A.
1 27

? 7 1 <β <π ,且 cosβ =- ,sin(α +β )= ,则 sinα 的值是 2 9 3
B.
5 27

)

C.

1 3

D.

23 27

4.在△ABC 中,若 sinA?sinB<cosA?cosB,则三角形的外心位于 A.三角形外部 B.三角形内部 C.三角形边上 D.不能确定 5.在锐角三角形 ABC 中,若 tanA+tanB>0,则 tanA?tanB 的值是 A.大于 1 B.小于 1 ? C.可能等于 1 D.与 1 的大小关系不定 6.已知 sinα +sinβ +sinγ =0,cosα +cosβ +cos=0,则 cos(β -γ )= A.-
1 2

(

)

(

)

(

)

B.

1 2

C.-1

D.1

? ? ? 2? ?, 3 ? ? tan? ? tan ? ? 2 ? ? tan ? ? 0, α 、β ∈ ? 0, ? ? ,则α +β = 7.若 tanα = 3 ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ?

(

)

A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

8.如果 tan A.n 9.tan

A m ? ,那么 m?cosA-n?sinA= 2 n

( D.m (

)

B.-n

C.-m

?
12

? cot

?
12

的值为 ? B.3 C.4 D.6

)

A.2 二、思维激活

?? ? 2 cos? ? 2 sin ? ? ? ? ?4 ? 10.计算: ? ?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 3 cos? ?3 ?

.

? ? 1 11.已知:sinα = ,2π <α <3π ,则 sin ? cos = 2 2 3
?? ? ? (1 ? sin ? ? cos? ) ? ? sin ? cos ? 2 2? ? 12.已知 0<α <π ,化简: = 2 ? 2 cos?

.

. .

13.函数 y=sinx? ?1 ? tan x ? tan ? 的最小正周期是
?

?

x? 2?

3

三、能力提高 14.已知 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0,求 tanx.

15.已知 4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0,求:

cos 2 x ? sin 2 x 之值. (1 ? cos 2 x) ? (1 ? tan 2 x)

16.求 sin10°?sin50°?sin70°的值.

17.在△ABC 中,tanB+tanC+ 3 tanB?tanC= 3 .且 3 tanA+ 3 tanB+1=tanA?tanB, 试判断△ABC 的形状.

4

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第3课

三角函数公式习题解答

1.A 由条件知 sinα =±1 且 sinβ =±1,故α =β =2kπ + π. 2.A ∵tan(A+B)= 3.C

? ? 或 2kπ - ,(k∈Z) ? α +β =2kπ ± 2 2

? tan A ? tan B =1 而 0<A+B<π 故 A+B= . 4 1 ? tan A ? tan B
2 ? ?7? ?

sinα =sin[(α +β )-β ]=sin(α +β )?cosβ -cos(α +β )?sinβ
? 7 ? 1? ? ? ?1?
2

= ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ? ? ? . 9 ? 3? ? 3 ?9? ? ? 3?
?

1

4.A 由条件得 cos(A+B)>0, ? C 是钝角. 5.A tanA?tanB=
1 ? tan(A ? B) tan C ? 1? ?1. (tan A ? tan B) tan A ? tan B

6. A 由条件得 1=(-sinα )2+(-cosα )2(sinβ +sinγ )2+(cosβ +cosγ )2 =2+2(cosβ cosγ +sinβ sinγ )cosβ cosγ +sinβ sinγ =cos(β -γ )=- 7.B 由条件可得:tanβ =
4 6 ?3 3 ,故 24
2 ? 4 6 ?3 3 ?? 2 ? 24 ? 2 ? ? 4 6 ?3 3 ? ??? ? ? 2 ? ? 24 ? ? ?
1 ? tan2

1 . 2

? 3 ?1 ? ? tan? ? tan ? ? tan(α +β )= = 1 ? tan? ? tan ? ? 1 ? 3 ?1 ? ? ?

? 3 ,? ? ? ? ?

?
3

.

8.C

A A 2 tan 2 ?n? 2 由万能公式得:mcosA-n?sinA=m? 2 A 2 A 1 ? tan 1 ? tan 2 2

? m?

?m? 1? ? ? ?n? ?m? 1? ? ? ?n?

2

2

?n?

?m? 2? ? ?n? ?m? 1? ? ? ?n?
cos sin
2

?

m ? (n 2 ? m 2 ) ? 2m n2 m2 ? n2

? ?m

sin

?
12 ?

?
12 ? 1 sin

9.C 原式=
cos

?

?

?
12

12

12

? cos

?
12

?

2 sin

?
6

? 4.

10. 2 +2cos

∵ 分 子 = 2 cos α - 2sin

? ? ? cos α +2cos sin α = 2 sin α , 分 母 =2sin cos α 4 4 3

? sinα - 3 cosα =sinα ,∴原式= 2 . 3

11.由条件知:π <

?
2

?

3 ? ? ? ? π 故 sin <0,cos <0,sin +cos <0, 2 2 2 2 2
2

∴sin

? +cos ? =- ? sin ? ? cos ? ? ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? 1 ? ? 2 3 . ? ? 2 2? 3 3 ? 2 2
5

12.分子= ? 2 sin cos ? 2 cos 2 ? 2 2 2 ?

?

?

?? ? ? ?? ? ? ? sin ? cos ?
? ? 2 2 2?

? 2 cos

?? ? ?? ? ? sin ? cos ? ? 2 cos (? cos ? )
2? 2 2?

分母= 2 ? 2(2 cos 2

?
2

? 1) ? 2 cos

? .故原式=-cosα .
2

13.2π . 14.由条件得:(sinx+cosx)+2sinx?cosx+2cos2x=0 ? (sinx+cosx)?(1+2cosx)=0, ∴sinx+cosx=0 或 1+2cosx=0,∴tanx=-1,± 3 15.由条件得:(2sinx-cosx)? [(2sinx+cosx)-3]=0, ∵2sinx+cosx-3≠0,∴2sinx-cosx=0, ∴tanx=

1 4 4 3 3 ? tan2x= ,sin2x= ,cos2x= ,∴原式= . 2 3 5 5 2 8 sin 20? ? cos 20? ? cos 40? ? cos 80? sin 160? 1 ? ? . 8 sin 20? 8 sin 20? 8

16.原式=cos20°?cos40°?cos80°=

17.由 tanB+tanC+ 3 tanB?tanC= 3 得:tanB+tanC= 3 (1-tanB?tanC), ∴tanA=-tan(B+C)=- 3 ,∴A=

2? . 3

由 3 tanA+ 3 ?tanB+1=tanA?tanB 得:-3+ 3 tanB+1=- 3 ?tanB. 解之:tanB= ?

3 ? ? ,∴B= ,C=π -(A+B)= ,故△ABC 是等腰三角形. 3 6 6

6


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