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2011年新知杯上海市高中数学竞赛


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中 等 数 学

2011 年新知杯上海市高中数学竞赛
中图分类号: G424. 79 文献标识码: A 文章编号: 1005 - 6416 ( 2012 ) 06 - 0030 - 04

【说明】 解答本试卷不得使用计算器. 一、 填空题( 第 1 ~ 4 小题每小题 7 分, 第 5 ~ 8 小题

每小题 8 分, 共 60 分) 1. 方程组

A、 B 两点. 则 直 线 AC 、 BC 的 倾 斜 角 之 和 为 . 8. 甲、 乙两运动员乒乓球比赛正在进行 甲必须再胜 2 局才最后获胜; 乙必须再胜 中, 3 局才最后获胜. 若甲、 乙两人每局取胜的概 率都是 1 , 则甲最后获胜的概率是 2

{

y

x2 + 7 x + 12

= 1,

x + y =1

. 的解集是 2. 在平面直角坐标系中, 长度为 1 的线 点 段 AB 在 x 轴上移动 ( 点 A 在 B 的左边 ) , P( 0 , 1 ) 与 A 连成直线, 2 ) 与 B 连成 点 Q( 1, 直线. 则直线 PA 与 QB 的交点 R 的轨迹方程 是 . x2 y2 3. 已知 M 是椭圆 + = 1 在第一象限 16 9 MN y 轴, 垂 足 为 N. 当 的弧 上 一 动 点, △OMN 面 积 最 大 时, 其内切圆半径 r = . 4. 已知△ABC 的外接圆半径为 1 , A、 B 、 C 的平分线分别交 △ABC 的外接圆 B1 、 C1 . 则 于点 A1 、 AA1 cos A B C + BB1 cos + CC1 cos 2 2 2 = sin A + sin B + sin C
3

( 用最简分数作答) . 二、 解答题( 共 60 分) 9. ( 14 分) 对于两个实数 a、 b, min { a, b} 表 b 中的较小数. 求所有的非零实数 x, 使 示 a、 4 1 4 ≥8min x, . min x + , x x

{

}

{ }

10. ( 14 分 ) 如 图 1, O 为边 在 △ABC 中, BC 的中点, N分 点 M、 AC 上, 且 别 在 边 AB 、 AM = 6 , MB = 4 , AN = 4, NC = 3 , 90 °. 求 MON =
图1

A 的大小.

11. ( 16 分) 对整数 k, 定义集合 . S k = { n | 50 k≤n < 50 ( k + 1 ) , n Z} . S1 , …, S599 这 600 个集合中, 问: 在 S0 , 有 ? 多少个集合不含有完全平方数 12. ( 16 分 ) 求所有大于 1 的正整数 n, x2 , …, xn , 使得对任意正实数 x1 , 都有不等式 ( x1 + x2 + … + xn ) 2 ≥n( x1 x2 + x2 x3 + … + xn x1 ) .

5. 设 f( x) = asin[ ( x +1) ]+ b 槡 x -1 + 2, a、 b 为 实 常 数. 若 f ( lg 5 ) = 5 , 其中, 则 f( lg 20 ) = . 6. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A ( 3 , a ) 、 B ( 3 , b ) AOB = 45 ° , 点 使 其 中, a、 b均为整数, 且 a > b. 则 满 足 条 件 的 数 对 ( a, b) 共有 7. 已知 组. C 的方程为 C 交于

参 考 答 案
1. { ( 0, 1) , ( 2, -1) , ( -3, 4) , ( -4, 5) } . 一、 注意到, 2 y x + 7x + 12 = 1 ,

x2 + y2 - 4 x - 2 y + 1 = 0 , 2 与 直 线 y = ( tan 10 ° ) x + 槡

{

x + y =1

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?

{

y =1,

?

{

; x +7x +12 = 偶数, x +7x +12 =0, x + y =1 x + y =1; x + y =1
2 2

{

y = -1,

x1 =0, x2 =2, y1 =1; y2 = -1;

{

{

{

y≠0,

BB1 cos 同理, CC1 cos

B = sin C + sin A, 2

x3 = -3, x4 = -4, y3 =4; y4 =5.

{

C = sin A + sin B. 2

故原式 = 2 . 5. - 1 . 显然, f( x) = asin[ ( x - 1 ) ]+ b 槡 x - 1 + 2. 令 t = x - 1. 则 f( t + 1 ) = asin t + b 槡 t + 2 = g( t) + 2 , g( t) = asin t + b 槡 t 是奇函数. 其中,
3 3 3

2. y( x - 2 ) = - 2 . 0) , B( a + 1, 0) , 设 A( a , 直线 PA 与 QB y) . 的交点为 R ( x, 当 a = 0 时, 两直线不相交, 故 a≠0 . x l PA : + y = 1, 此时, a l QB : y = - 2 ( x - a - 1) . a 2 . a

① ②

按题设 5 = f( lg 5 ) = f( 1 - lg 2 ) = g( - lg 2 ) + 2 = - g( lg 2 ) + 2 . g( lg 2 ) = - 3 . 从而, 故 f( lg 20) = f( 1 + lg 2) = g( lg 2) +2 = -1. 6. 6 . 设 AOX = α, BOX = β. 则 a b , tan β = . 3 3

y= - 由式①、 ②解得 x = a + 2 , 消去 a 即得点 R 的轨迹方程为 y( x - 2 ) = - 2 . 2 3. 槡 . 2 3sin θ) 0 < θ < 设 M( 4cos θ, S △MON = 1 | ON | | NM | 2

(

2

). 则

tan α =

由 a > b, 得 1 = tan 45 ° = tan( α - β) = tan α - tan β 3 ( a - b) = . 1 + tan α · tan β 9 + ab

1 = × 3sin θ × 4cos θ = 3sin 2 θ. 2 故当 θ = 4 ( S △MON ) 时,
max

= 3.

整理得( a + 3 ) ( b - 3 ) = - 18 . 因为 a > b, 且均为整数, 所以, ( a + 3, b - 3) = ( 18 , - 1) , ( 9, - 2) , ( 6, - 3) , ( 3, - 6) , ( 2, - 9) , ( 1, - 18 ) . b) 共有 6 组. 故满足条件的数对( a, 7. 200 °. C 的方程为( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 4 , 1 ) 到直线 y = ( tan 10 ° ) x + 槡 2的 圆心( 2 , 距离为 d= | 2tan 10 ° - 1 + 槡 2| < 2, 2 1 + tan 10 ° 槡 C 交于 A、 B 两点( 如图 2 ) .

ON = 3sin 此时,

32 = 槡, 4 2

NM = 4cos θ = 2槡 2, OM =

Rt△OMN 的内切圆半径 因此, 1 3槡 2 2 52 r= + 2槡 2 - 槡 =槡 . 2 2 2 2 4. 2 . 联结 BA1 . 由正弦定理得 A A A AA1 cos = 2sin B + · cos 2 2 2



9 52 +8 = 槡 . 2 2

(

)

(

)

= sin C + sin B.

即已知直线与

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中 等 数 学

图2

设直线 BC 的倾斜角为 α, 直线 AC 的倾 斜角为 β. 则 α = 10 ° + CBA, CAB = 10 ° + ( 180 ° - β) . 因为 CBA = CAB , 所以, α = 10 ° + 10 ° + ( 180 ° - β) ? α + β = 200 °. 11 8. . 16 甲获胜有如下六种可能: ( 1 ) 甲胜, 甲胜; ( 2 ) 甲胜, 乙胜, 甲胜; ( 3 ) 甲胜, , 乙胜 乙胜, 甲胜; ( 4 ) 乙胜, 甲胜, 甲胜; ( 5 ) 乙胜, 甲胜, 乙胜, 甲胜; ( 6 ) 乙胜, 乙胜, 甲胜, 甲胜. 1 1 1 1 1 1 其概率依次为 、 、 、 、 、 . 4 8 16 8 16 16 1 2 3 11 . 故所求的概率是 + + = 4 8 16 16 9. 当 x > 0 时, x+ 二、 4 4 · = 4; ≥2 x x x

x [ 2, +∞) . 此时, ( 2 ) 当 0 < x≤1 时, 原不等式为 1 4 ≥8 x ? x≤ . 2 1 0, . x 此时, 2 ( 3 ) 当 - 1 < x < 0 时, 原不等式为 4 8 2 x + ≥ ? x ≤4 . x x x ( - 1, 0) . 此时, ( 4 ) 当 x ≤ - 1 时, 原不等式为 4 4 x + ≥8 x ? x2 ≥ . x 7 x ( -∞, - 1] . 此时, 综上, 满足题意的 x 的取值范围为 1 ( -∞, 0 ) ∪ 0 , ∪[ 2, +∞) . 2 10. 解法 1 如图 3 , 延长 NO 至点 P , 使 OP = ON. 联结 BP 、 MP.

(

]

(

]

图3



4 x + ≤ - 4 < 4. 当 x < 0 时, x 4, x > 0; 4 4 = 故 min x + , 4 x x + , x < 0. x 1 , -1 < x <0 或 x >1; 1 又 min x, = x x x, x≤ -1 或 0 < x≤1. 所以, 有以下四种情形. ( 1 ) 当 x > 1 时, 原不等式为 8 4 ≥ ? x≥2 . x

{

}

{ }

{

{

由 BO = OC , 知 BP ∥AC , BP = CN = 3 . 因点 M 在 NP 的垂直平分线上, 所以, MP = MN. 令 MN = a. 则在 △AMN 和 △MBP 中, 由 余弦定理得 a2 = MN2 = 6 2 + 4 2 - 2 × 6 × 4cos A = 52 - 48cos A, a2 = MP2 = 3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4cos A = 25 + 24cos A. 2 消去 a 得 3 27 - 72cos A = 0 ? cos A = 8 3 ? A = arccos . 8 ?→ ?→ AN = b. 则 解法 2 设 AM = a,

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33 25 = 148 个集合含有平方数. S0 , S1 , …, S599 中, 综上, 有 600 - 13 - 148 = 439 个集合不含有平方数. 12. 当 n = 2 时, 不等式为 2 ( x1 + x2 ) ≥2 ( x1 x2 + x2 x1 ) ? ( x1 - x2 ) 2 ≥0 . 故 n = 2 满足题意. 当 n = 3 时, 不等式为 ( x1 + x2 + x3 ) 2 ≥3 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) ? ( x1 - x2 ) 2 + ( x2 - x3 ) 2 + ( x3 - x1 ) 2 ≥0. 故 n = 3 满足题意. 当 n = 4 时, 不等式为 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) 2 ≥4( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 ) ? ( x1 - x2 + x3 - x4 ) 2 ≥0 . 故 n = 4 满足题意. 下证: 当 n > 4 时, 不等式不可能对任意 x2 , …, x n 都成立. 正实数 x1 , 1 x3 = x4 = … = x n = . 取 x 1 = x 2 = 1, 5( n - 2) 则原不等式为

| a | = 6, | b | = 4. ?→ 5 ?→ 7 AC = b. 由题设知 AB = a, 3 4 因为 O 为边 BC 的中点, 所以, ?→ 1 ?→ ?→ 5 7 AO = ( AB + AC ) = a + b. 2 6 8 ?→ ?→ ?→ 1 7 又 MO = MA + AO = - a + b, 6 8 ?→ ?→ ?→ 5 1 NO = NA + AO = a - b. 6 8 NO, 因为 MO 所以, ?→ ?→ 5 7 3 MO · NO = - | a | 2 - | b | 2 + a · b =0 36 64 4 ?a · b = 9 ? 6 × 4cos A = 9 3 3 ? cos A = ? A = arccos . 8 8 11. 注意到, ( x + 1 ) 2 - x2 = 2 x + 1 ≤50 ( x N) ? x≤24 ( x N) . 2 S12 , S0 , S1 , 而( 24 + 1 ) = 625 于 是, …, S12 中含有的平方数都不超过 25 2 , 且每个 集合都是由连续 50 个非负整数组成的. 故每 个集合至少含有 1 个平方数. S14 , …, S599 中, 在集合 S13 , 若含有平方 2 数, 则都不小于 26 . 2x + 1 ≥53, S13 , S14 , 而当 x ≥26 时, 从而, …, S599 中, 每个集合至多含有 1 个平方数. S599 中最大数是 另一方面, 600 × 50 - 1 = 29 999 , 2 2 S14 , …, S599 中 而 173 < 29 999 < 174 , 故 S13 , 2 含有的平方数不超过 173 . S13 , S14 , …, S599 中有且仅有 173 - 因此,

[ 1 + 1 + ( n - 2) 5( n1- 2) ] 2 n -3 + ≥n [ 1 + 5 ( n - 2 ) 25 ( n - 2 ) ]
2 2

2n 121 n( n - 3 ) + , ≥n + 25 5 ( n - 2 ) 25 ( n - 2 ) 2 121 < 5 ≤n 矛盾. 这与 25 3、 4. 所以, 满足题意的正整数 n 为 2 、 ( 熊 斌 顾鸿达 李大元 刘鸿坤 叶声扬 命题) ?

檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 ( 上接第 20 页) 由 B3 XP = BXP - BXB3 = BXA - BC2 B3 , 因 B 3 C 3 X = A2 C 3 X = A2 B 2 X 则 B3 XP = BAX - BAC2 = C 2 B 2 X = C 2 A3 X = B 3 A3 X , = C2 AX = C2 A3 X = B3 A3 X. X、 A3 、 C3 、 B3 四点共圆, 所以, 即点 X 在△A3 B3 C3 根据弦切角逆定理, 知 PQ 与 △A3 B3 C3 的外接圆上. 的外接圆切于点 X , 即 PQ 是 △A3 B3 C3 外接 过点 X 作圆 Γ 的切线 PQ. X 为切点. 圆和圆 Γ 的公切线, 注意到, 由此得 △A3 B3 C3 的外接圆与圆 Γ 必相 BC2 B3 = BTL = BAT = BAC2 . 切( 内切) , 切点就是 X.


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