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高三年级第二学期开学数学测试文科2013.02.25


北京市***高三年级第二学期开学数学测试(文)
2013.2
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) 1. 若集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. ?1 , 2? B. x x ? 1

?

?

) D. R

?

?

C. ??1, 0,1?

2. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m ? , 则?‖ ? ‖ ). D.不存在

3.如果复数 z ? (a2- a ? 2) ? (a- i 为纯虚数,则实数 a 的值 ( 3 1) A. 等于 1 B.等于 2 C. 等于 1 或 2 D ? ABC 中, AC ? BC ? CD ? 2 , 4.在三棱锥

CD ? 平面 BCA ,

?ACB ? 90? . 若其主视图,俯视图
D

如图所示,则其左视图的面积为( A.

) C.

6

B. 2

3


D.

2
A

主视图

C B
俯视图

5. 函数 y ? cos 2 x 的图像可由 y ? sin 2 x 的图像( (A) 向右平移

? ? 个单位长度 (B) 向左平移 个单位长度 2 2 ? ? (C) 向右平移 个单位长度 (D) 向左平移 个单位长度 4 4 6.若 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是( )
1 1 1 1 2 2 ? B. ? ? 1 C. ab ? 2 D. a ? b ? 8 ab 2 a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7.设 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ,则 (a ? c ) ? (b ? c ) 的最小值为(
A. (A) ? 1 (B) 1? 2 (C)



2 ? 2 (D) ? 2

D1 B1 P

C1

8.如图, 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点, AP 的长度为 x, A1 P 设 若△PBD 的面积为 f(x),则 f(x)的图象大致是( )
D A

C B

1

y

y

O

x

O

x

(A)
y

(B)
y

O

x

O

x

(C) 选择题答题表 1 2 3 4

(D) 5 6 7 8

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) . 9.在 △ABC 中,若 b ? 3 , c ? 1 , cos A ?

1 ,则 a = 3

开始 k=1,S=0 S=S+2k k=k+1 k≥50 是 输出 S 结束 否

10 . 已 知 Sn 是 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 其 中

a2 ? -3, a8 ? 15, 则a5 =_______;S6 ? _______.

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? x ≤ 4, 11.设不等式组 ? 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取 ? y ? ?2 ?
一个点,则此点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是_________ 12. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为___________

? 1 x ?( ) ( x ? 0), 13. 已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f ( f (?1)) ? ________;若 f (2a2 ? 3) ? f (5a) , 则实数 ?1 ? 3 x( x ? 0), ?
a 的取值范围是_______________.
14. 过 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 一 点 M 作 直 线 MA, MB 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 设 a 2 b2

1 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对称,且 k1 ? k2 ? ? , 则此椭圆的离心率 3
为___________.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 已知向量 m ? ( ? 2sin x , ? 1 ) , n ? ( ? cos x , cos 2 x ) ,定义 f ( x) ? m ? n (1)求函数 f (x) 的表达式,并求其单调增区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a 、 b 、 c ,且 f ( A) ? 1, bc ? 8 ,求△ABC 的面积.

??

?

?? ?

3

16. (本小题满分 13 分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产 品, 在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品, 称其重量 (单 位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图(如 右). (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与 方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定;





2 12 4 4311 11 025 7 10 89

(注:方差 s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ... ? ( xn ? x) ], 其中 x为x1 , x2 ,..., xn 的平均数)
2 2 2 2

1 n

(Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概率.

4

17.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,

E F

AC与BD交于O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点.
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证: BD ^ AE ; (Ⅲ)若 AB =

C O A

B

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使
D EG 的值,若不存在, EO

CG ^ 平面BDE ?若存在,求出
请说明理由.

5

18.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2ax ? a , a ? R .
2 2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 [ , 2] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 f (x ) 的极值点.

1 2

6

19. (本小题满分 14 分) 已知长方形 ABCD , AB ? 2 2 , BC ? 1 .以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角 坐标系 xOy . (Ⅰ)求以 A , B 为焦点,且过 C 、 D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0, 2) 的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 MN 两点,是否存在直线 l ,使得以线段 MN 为直 径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
D y C

A

O

B

x

第 19 题图

7

20. (本小题满分 13 分) 已知每项均是正整数的数列 a1, a2 , a3 ,?, a100 ,其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1, 2,3?) ,设
? b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2, 3 ), g (m) ? b1 ? b2 ? ?? bm ?100m (m ? 1, 2,3?).

(Ⅰ)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 , ①求 g (1), g (2), g (3), g (4) ;②求 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 的值; (Ⅱ)若 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50, 比较 g (m), g (m ? 1) 的大小.

8

参考答案
1 A 2 B 3 B 4 D 5 D 6 D 7 B 8 A

6. 【 解 析 】 由 基 本 不 等 式 , 4 ? a ? b ? 2 ab , 故

a?b ? 2, C 错 ; 2 a?b 2 1 1 a?b 1 1 1 1 b a ab ? ( ) ? 4 , ? , A 错; ( )( ? ) ? ? ( ? ) ? 1 , 故 B 错 ; 2 ab 4 4 a b 2 4 a b ab ?

2 2 2 16 ? (a ? b ) ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a ? b ,故 a 2 ? b2 ? 8 ,D 对,选 D。 )

(9)

2 2
9 25
12. 2 ? 2
50

(10)6;9

11.

1 (13) -5; (? ,3) 2

(14)

6 3

15.解: (1) f ( x ) ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 分 令?

2 sin(2 x ? ) ……3 4

?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ? ?

?
8

? k? ? x ?

故 f (x) 的递增区间为 [ ?

?

8

? k? ,

3? ? k? ] k ? Z ……6 分 8

3? ? k? 8

(2)由 f ( A) ? 1即 2 sin( 2 A ?

?
4

) ? 1 ,故 sin(2 A ?

?
4

)?

2 ……8 分 2

?2A ?
所以 A ?

?
4

? 2k? ?

?
4

,解得 A ? k? ?

?
4

,又由于 0 ? A ?

?
2

……10 分

?
4

, 故S ?

1 1 ? bc sin A ? ? 8 ? sin ? 2 2 ……12 分 2 2 4

2 16.17.解: (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 2 s乙 ,

则 X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , ……………………1 分 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , ……………………2 分 6
9

2 s甲 ?

1? 2 2 2 ?122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? 6?

2 2 2 ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?

? 21 ,
2 s乙 ?

……………………4 分

1? 2 2 2 124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113 ? ?? 6

2 2 2 ? ?115 ? 113? ? ?108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ?

? 29.33 ,

……………………6 分

2 2 由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;……………………7 分

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109? . ………………9 分
设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果:

?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
分 所以

………………11

P ? A? ?

4 . 15

………………13 分

17.解:解: (I)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ………………….2 分 又 OF 趟平面ACF , DE
G C O A B E F

平面ACF ,
D

所以 DE ∥平面 ACF ………….4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD 所以 EC ^ BD , 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD,

底面ABCD,

EC 又 AC 翘 =C, AC,EC

平面ACE,

所以 BD ^ 平面ACE , ………………………………..8 分

10

又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ^ AE …………………………………………..9 分 (III) 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 理由如下: 如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB =

2CE, CO =

2 AB = CE , 2

所以 CG ^ EO .…………………………………………………………………..11 分 由(II)可知, BD ^ 平面ACE, 而 BD ? 平面BDE, 所以, 平面ACE ^ 平面BDE, 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG

EO,

平面ACE,

所以 CG ^ 平面BDE …………………………………………………………. 13 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得

EG 1 = . …………………………………………… 14 分 EO 2

18.解: (Ⅰ) f (x ) 的定义域为 (0, ? ?) . 因为 f ?( x) ?

……………………………1 分

1 ? 2 x ? 0 ,所以 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数, x

当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 f (1) ? 1 . 所以 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 1. (Ⅱ)解法一: f ?( x) ? ……………………………3 分

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2( x ? a) ? x x
……………………………………4 分

设 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 ,

依题意,在区间 [ , 2] 上存在子区间使得不等式 g ( x) ? 0 成立. ……………5 分 注意到抛物线 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 开口向上,所以只要 g (2) ? 0 ,或 g ( ) ? 0 即可 ……………………………………6 分

1 2

1 2

9 , 4 1 1 3 由 g ( ) ? 0 ,即 ? a ? 1 ? 0 ,得 a ? , 2 2 2
由 g (2) ? 0 ,即 8 ? 4a ? 1 ? 0 ,得 a ?

11

所以 a ?

9 , 4
9 ). 4
……………………………………8 分

所以实数 a 的取值范围是 ( ??, 解法二: f ?( x) ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 , ? 2( x ? a) ? x x
1 2

……………………………4 分

依题意得,在区间 [ , 2] 上存在子区间使不等式 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 成立. 又因为 x ? 0 ,所以 2a ? (2 x ? ) . 设 g ( x) ? 2 x ?

1 x

……………………………………5 分

1 1 ,所以 2a 小于函数 g ( x) 在区间 [ , 2] 的最大值. 2 x 1 又因为 g ?( x ) ? 2 ? 2 , x
由 g ?( x ) ? 2 ?

1 2 ? 0 解得 x ? ; 2 x 2 1 2 ? 0 解得 0 ? x ? . 2 x 2

由 g ?( x ) ? 2 ?

所以函数 g ( x) 在区间 ( 所以函数 g ( x) 在 x ?

2 1 , 2) 上递增,在区间 ( , 2 2

2 ) 上递减. 2

1 ,或 x ? 2 处取得最大值. 2 9 9 9 1 又 g (2) ? , g ( ) ? 3 ,所以 2 a ? , a ? 2 4 2 2 9 所以实数 a 的取值范围是 ( ??, ) . ……………………………………8 分 4
(Ⅲ)因为 f ?( x) ?

2 x 2 ? 2ax ? 1 ,令 h( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 1 x

①显然, a ≤ 0 时, (0, ??) 上 h( x) ? 0 恒成立, 当 在 这时 f ?( x) ? 0 , 此时, 函数 f ( x ) 没有极值点; ②当 a ? 0 时, ……………………………………9 分

(ⅰ) ? ≤ 0 , 0 ? a ≤ 2 时, (0, ??) 上 h( x) ≥ 0 恒成立, 当 即 在 这时 f ?( x) ≥ 0 , 此时,函数 f ( x ) 没有极值点; (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ……………………………………10 分

2 时,

12

易知,当

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 时, h( x) ? 0 ,这时 f ?( x) ? 0 ; ?x? 2 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 或x? 时, h( x) ? 0 ,这时 f ?( x) ? 0 ; 2 2
2 时, x ?

当0 ? x ?

所以,当 a ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 是函数 f ( x ) 的极大值点; x ? 是函 2 2
……………………………………12 分

数 f ( x ) 的极小值点.

综上,当 a ≤ 2 时,函数 f ( x ) 没有极值点; 当a ?

2 时, x ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 是函数 f ( x ) 的极大值点; x ? 是函数 f ( x ) 的 2 2
………

极小值点.

19.解:(Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 , 设椭圆的标准方程是

?

??

2,0 ,

? ? 2,1?.
y C

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , 所 以 a2 b2

D

2a ? A C? B C? 4 ? 2 2,
? a ? 2 ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .
A O B x

? 椭圆的标准方程是

x2 y2 ? ? 1 ……6 分 4 2

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 设 M , N 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? .联立方程: ? 消去 y 整理得 1 ? 2k 2 x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 , 则 x1 ? x2 ? ? 以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON , 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 ,

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4



?

?

8k 4 . x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

4 1? k 2 16k 2 ? ?4?0 即 1 ? k x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 ,所以, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

2

?

?

?

8 ? 4k 2 ? 0, 得 k 2 ? 2, k ? ? 2 ,所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2x ? 2 . 即 1 ? 2k 2
经过验证 k ? ? 2 满足 ? ? 0 ,所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得

13

以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. ……14 分

20.解: (I)① 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 , 所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 ,

100 . 所以 g (1) ? ?60, g(2) ? ?90, g(3) ? ?100, g(4) ? ?

………8 分

② a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 ? 40 ?1 ? 30 ? 2 ? 20 ? 3 ? 10 ? 4 ? 200 ……….10 分 (II) 一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm?1 ? 100 时取等号. 因为 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) . 14 分

14


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