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【名校试卷】甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学(文)试题 Word版含答案


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ?

A. 2
【答案】D

B. 1

C. 0

D. ? 1

2 2 2 2 【KS5U 解析】 (a ? i ) i ? a ? 1 ? 2ai i ? ?2a ? a ? 1 i ,因为 (a ? i) i 为正实数,所以

?

?

?

?

?a 2 ? 1 ? 0 ,解得a ? ?1 。 ? ?2a ? 0 ?
2.已知函数 f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是

A. 最小正周期为 ? 的奇函数

B. 最小正周期为 ? 的偶函数

C. 最小正周期为
【答案】A 【KS5U 解析】

? 的奇函数 2

D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

3.命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件; 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1 ] ∪[3,+∞ ) ,则

A. 或 q”为假 “p C.p 真 q 假
【答案】B 【KS5U 解析】

B.p 假 q 真 D. 且 q”为真 “p

4.下列说法正确的是

A. 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,

B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形, C. 有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台, D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
【答案】B 【KS5U 解析】选项 A 不正确,如图:

棱台是由棱锥截来的,故要求梯形的腰延长后要交与一点,故 C 不正确;以直角三角形的一 条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥,故 D 不正确。 5.函数 f (x) 是奇函数,且在( 0,?? )内是增函数, f (?3) ? 0 ,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集 为

A. {x | ?3 ? x ? 0或x ? 3} C. {x | x ? ?3或x ? 3}
【答案】D

B. {x | x ? ?3或0 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}

【KS5U 解析】 因为函数 f (x) 是奇函数,且在 0,?? ) ( 内是增函数,所以函数 f (x) 在 ??, 0 ) ( 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,所以 f (3) ? 0 ,所以当 ?3 ? x ? 0或x ? 3 时, f ( x ) ? 0 ;当

x ? ?3或0 ? x ? 3 时 , f ( x ) ?

0 所 以 不 等 式 x ? f ( x) ? 0 ,

的 解 集 为

{x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}。
6.已知数列 ?1 , a1 , a2 , ?4 成等差数列; ?1 , b1 , b2 , b3 , ?4 成等比数列,则

a2 ? a1 的值是 b2

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 1 或? 2 2

D.

1 4

【答案】A

【KS5U 解析】因为数列 ?1 , a1 , a2 , ?4 成等差数列,所以 a2 ? a1 ? d ?

?4 ? 1 ? ?1 ;因为 3

?1 , b1 , b2 , b3 , ?4 成等比数列,所以 b2 ? ?

? ?1? ? ? ?4 ? ? ?2 ,所以
2 2

a2 ? a1 ?1 1 ? ? 。 b2 ?2 2

7.过点 P(1,1) 的直线,将圆形区域 ( x, y ) x ? y ? 4 分为两部分,使得这两部分的面积之 差最大,则该直线的方程为

?

?

A. x ? y ? 2 ? 0
【答案】A

B. y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 0

D.x ? 3 y ? 4 ? 0

【KS5U 解析】 O 为圆心, 设 当直线与 OP 垂直时, 使得这两部分的面积之差最大。 因为 kop ? 1, 所以所求直线方程为 y ?1 ? ? ? x ?1? ,即x ? y ? 2 ? 0 。 8. 函数 y ?

x ln x x

的图像可能是

【答案】B 【KS5U 解析】 因为 f (? x) ?

? x ln ? x ?x

?

? x ln x x x ln x x ?

所以函数 y ? ? ? f ? x? ,

x ln x x

是奇函数,

因此选项 A、C 排除;又 x ? 0 时, y ?

x ln x ? ln x ,因此选 B。 x

9.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 且 g(3)=0.则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是

A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)
【答案】D

B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

【KS5U 解析】构造函数 F ? x ? ? f ( x) g ( x) ,因为当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,

所以当 x<0 时, F

'

? x ? ? ? f ( x) g ( x) ?

'

? 0 ,所以函数 F ? x ? ? f ( x) g ( x) 在 ? ??,0? 上单调

递增,又因为 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 F ? x ? ? f ( x) g ( x) 是奇 函 数 , 所 以 函 数 F ? x ? ? f ( x) g ( x) 在 ? 0, ??? 上 单 调 递 增 , 又 g(3)=0. 所 以

F ?3? ? F ( 3?) ,所以不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是(-∞,- 3)∪(0, 3)。 ? 0
10.如图所示,两个不共线向量 OA , OB 的夹角为 ? ,

??? ??? ? ?

M , N 分别为 OA 与 OB 的中点,点 C 在直线 MN 上,
且 OC ? xOA ? yOB( x, y ? R) ,则 x 2 ? y 2 的最小值为

??? ?

??? ?

??? ?

A.

2 4

B.

1 8

C.

2 2

D.

1 2

【答案】B 【 KS5U 解 析 】 因 为 M, N 分 别 为 OA 与 OB 的 中 点 , 所 以

??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? OC ? xOA ? yOB ? 2xOM ? 2 yON , 因 为 点 C 在 直 线 MN 上 , 所 以
1 ? x ? y ? ? 1 ,当且仅 2 x ? 2 y ? 1, x ? 0, y ? 0, 即x ? y ? , x ? 0, y ? 0 ,所以 x 2 ? y 2 ? 2 2 8
2

当 x=y 时取等号,因此选 B。 11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,如果实数

m, n 满足不等式 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 ,那么 m2 ? n2 的取值范围是

A. (9,49)
【答案】A

B. (13,49)

C. (9,25)

D. (3,7)

【KS5U 解析】对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ( x ) 是奇函数,又因为

f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 所 以 由 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 得 :
2 2 f ( m ? 6 m? 2 1 ? ? f 2( ? 8 )? f ? n ?? ,n所 以 m2 ? 6m ? 21 ? ?n2 ? 8n , 即 ) n n ? 8

? m ? 3?

2

? ? n ? 4 ? ? 4 ,所以 m2 ? n2 的最大值为 ? r ? 2 ? ,即 49;因此最小值为 ? r ? 2 ? ,
2 2 2

即 9, m ? n 的取值范围是(9,49) ,故选 A。
2 2

12.对于定义在 D 上的函数 f ( x ) ,若存在距离为 d 的两条直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 , 使得对任意 x ? D 都有 kx ? m1 ? f ( x) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ( x)( x ? D) 有一个宽 度为 d 的通道.给出下列函数:① f ( x) ?

1 ,② f ( x) ? sin x ,③ f ( x) ? x 2 ? 1 ,其中在 x

区间 [1, ??) 上通道宽度可以为 1 的函数有:

A. ①②
【答案】B

B. ①③

C. ①

D. ③

【KS5U 解析】因为在区间 [1, ??) 上, 0 ?

1 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) ? 在区间 [1, ??) 上通道 x x

宽度可以为 1;当 x ? 1 时,?1 ? sin x ? 1 ,所以函数 f ( x) ? sin x 的宽度最小为 2;当 x ? 1 时, f ( x) ?

x2 ? 1 表示双曲线 x2 ? y 2 ? 1在第一象限的部分,双曲线的渐近线为 y=x,故

可取另一直线为 y=x-2,满足在[1,+∞)有一个宽度为 1 的通道,因此选 B。

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.从 ?1,2,3,4,5? 中随机选一个数 a ,从 ?1,2,3,? 中随机选取一个数 b ,则 b ? a 的概率是 _____ 【答案】

1 5

【KS5U 解析】从 ?1,2,3,4,5? 中随机选一个数 a ,从 ?1,2,3,? 中随机选取一个数 b ,其结果记 为

? a, b ?



















1 , ?1 ?、 , ?、 1 ?、 ?、 ?、 ?、 ?、 1、 ?,、 ?、 ?、 2 ?、 , ?、 , 1?、 2 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 3? ? ? ? ?
共有 5 ? 3 ? 15 种选取方法,其中满足 b ? a 有:?1, 2?、 ?、 ? ,共 3 种,所以 b ? a 的 ?1,3 ? 2,3 概率是

2

5,

,2

3 1 ? 。 15 5

14.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为 _______________。

【答案】

(8 ? ? ) 3 6

【KS5U 解析】由三视图知,该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体,其中圆锥的底 面半径为 1,高为 3 。四棱锥的底面为边长是 2 的正方形,高为 3 ,所以这个几何体的 体积为 V ?

1 1 1 (8 ? ? ) 3 ? ? ?12 ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 。 3 2 3 6

15.等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表中的同一列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? ______________.
第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

【答案】 2 ? 3

n?1

【KS5U 解析】易知 a1 , a2 , a3 分别是 2,6,18,所以 q ?
x
2

6 ? 3, 所以an ? 2 ? 3n ?1 。 2

2 ?1? 16. 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? , g ( x) ? ? ? ? m . 若 ?x1 ?[1, 2] , ?x2 ?[?1,1] , 使 x ?2?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是________________.
【答案】 [? , ??) 【KS5U 解析】 要使 ?x1 ?[1, 2] , ?x2 ?[?1,1] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 使 只需 f ( x ) ? x ?
2

5 2

2 在 [1, 2] x

?1? 的 最 小 值 大 于 等 于 g ( x) ? ? ? ? m 在 [?1,1] 上 的 最 小 值 , 因 为 ?2?

x

3 2 2 2 ? x ? 1? f ( x) ? 2 x ? 2 ? ? 0 在 [1, 2] 上成立,所以 f ( x ) ? x 2 ? 在 [1, 2] 单调递增,所 2 x x x '

以 f min ( x) ? f ?1? ? 1 ?
2

2 ?1? ? 3 。 因 为 g ( x) ? ? ? ? m 是 单 调 递 减 函 数 , 所 以 1 ?2?

x

5 ?1? ?1? gmin ( x) ? g ?1? ? ? ? ? m ,所以 ? ? ? m ? 3,即m ? ? 。 2 ?2? ?2?

选择、填空题答案: 1—5:DABBD 6—10:AABDB, 11—12:AB

13.

1 5 (8 ? ? ) 3 n?1 ; 14. ;15. 2 ? 3 ;16. [? , ??) 5 2 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的 两个观测点,现位于 A 点北偏东 45 ,B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60 且与 B 点 相距 20 3 海里的 C 点救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:
? ? ?



D



A

B

C

18.已知函数 f ( x) ?

2x ? 3 1 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? f ( ), n ? N * , 3x an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2 na2 n?1 , 求 Tn ; (3)若 Tn ?

m * 对 n ? N 恒成立,求 m 的最小值. 2
2 2x ? 3 2 1 1 2 ? ? , an ?1 ? f ( ) ? ? an , ?an ? 是以 1 为首项, 又 即 以 3 3x 3 x an 3

解: (1)因为 f ( x) ?

为公差的等差数列,所以 an ?

2 1 n? . 3 3

(2) Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2n a2n?1

4 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ? ? a2n (a2n?1 ? a2n?1 ) ? ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) 3 4 ? ? (2n 2 ? 3n) 9 20 m * * (3)由 n ? N ,?Tn ? 递减,所以 n ? 1 ,Tn 取最大值 ? ,由 Tn ? 时,n ? N 恒成立, 9 2 40 40 , 所以, mmin ? ? 所以, m ? (2Tn ) max ? ? . 9 9
19. (本小题 12 分)
? 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 是 边 长 为 2 3 的 菱 形 , ?BAD ? 120 且

PA ? 面ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点.
(1)证明: MN / /面ABCD (2)设 Q 为 PC 的中点 ,求三棱锥 M ? ANQ 的体积. 解:

P N M A Q D C

B

(2)因为高 h ?

1 1 3 3 6 , S?MNQ ? S ABCD ? ? 6 3 ? 8 8 4

V?

3 2 4

20. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2 ? a) x , (1)讨论 f ( x ) 的单调性, (2)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) . a a a

解:(1) f (x)的定义域为(0,+∞)
f ?( x) ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? x x

(ⅰ) 若 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x)在(0,+∞)内单调递增

(ⅱ) 若 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 得 x ?
1 x ? ( , ??) 时 f (x)单调递减 a 1 1 (2) 设 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x) a a

1 1 , 且 x ? (0, ) 内单调递增 a a

? g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax

g ?( x) ?

a ?a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2

1 时, g ?( x) ? 0 ,而 g (0) ? 0 ∴ g ( x) ? 0 a 1 1 1 即 0 ? x ? 时 f ( ? x) ? f ( ? x) a a a
当0 ? x ? 21. (本小题 12 分) 已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上,半径为 1 ,直线 l : y ? 圆心 M 在直线 l 的下方, (1)求圆 M 的方程;

4 1 x ? 被 M 截得的弦长为 3 ,且 3 2

t (2)设 A(0, ) , B(0, t ? 6) (?5 ? t ? 2) ,若圆 M 是 ?ABC 的内切圆,求 ?ABC 的面积 S

的最大值和最小值. 解: (1)设圆心 M (a,0) ,由已知的点 M 到直线 l : 8x ? 6 y ? 3 ? 0 的距离为

1 ,所以 2

8a ? 3 8 ?6
2 2

?

1 ,又 M 在 l 下方, 8a ? 3 ? 0 ,所以 8a ? 3 ? 5 ,得,故 M : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 2

(2)设直线 AC : y ? k1 x ? t , BC : y ? k2 x ? t ? 6 ,由 ?

? y ? k1 x ? t , 6 得 xc ? k1 ? k2 ? y ? k2 x ? t ? 6

由圆 M 与直线 AC 相切,所以

k1 ? t 1 ? k12

? 1 得 k1 ?

1? t2 1 ? (t ? 6)2 ,同理 k2 ? 2t 2(t ? 6)

AB ? 6 ,所以 k1 ? k2 ?

3(t 2 ? 6t ? 1) 1 6 1 ,所以 s ? ? ? 6 ? 6 1? 2 2 t ? 6t 2 k1 ? k2 t ? 6t ? 1

?5 ? t ? ?2 ,所以 ?2 ? t ? 3 ? 1 ,
2 2 所以, t ? 6t ? 1 ? (t ? 3) ? 8 ?[?8, ?4] Smax ? 6 ? (1 ? ) ?

1 4

15 2

1 27 Smin ? 6 ? (1 ? ) ? 8 4
22.选考题(本小题 10 分) 请从下列三道题当中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,请在答题卷上注 明题号。
22—1.设函数

f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3

(1)解不等式 f ( x) ? 5x ? 1 , (2)若 g ( x) ?

1 定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

解:(1)原不等式等价于:
1 3 3 ? ?1 ? ? 1? ?x ? ? ?x? ?x ? 2 或 ?2 2 或 ? 2 因此不等式的解集为 ? x x ? ? ? 3? ? ?9 x ? 3 ?1 ? 5 x ? x ? ?5 ? ? ?

(2) 由于 g ( x) ?

1 的定义域为 R f ( x) ? m

∴ f ( x) ? m ? 0 在 R 上无解

又 f ( x) ?| 2 x ?1| ? | 2 x ? 3|?| 2 x ?1 ? 2 x ? 3|? 2 ∴-m<2, 即 m>-2

即 f ( x)min ? 2

22—2.如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交

BC 于 E ,

AB ? 2 AC ,
(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 AC ? 1, BC ? 2 时,求 AD 的长.
B D

A

C E

证明:(1) 连接 DE, ∵ACDE 为圆的内接四边形. ∴△BDE∽△BCA 即 ∴∠BDE=∠BCA 又∠DBE=∠CBA

BE DE ? 而 AB=2AC ∴BE=2DE BA CA

又 CD 是∠ACB 的平分线

∴AD=DE 从而 BE=2AD.


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