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2.4.2等比数列前n项和公式修改稿


2.4.2等比数列前n项和公式

复习:
等差数列 等比数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d an?1 ? an ? d
an ? am ? (n ? m)d

an?1 ? an q
an ? am q
n?m

an ?1 ?q an

性质

am ? an ? ar ? as
Sn

m?n ? r ? s

(m, n, r, s ? N * )

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

引入新课
1 2 2 2
2 3

2

4



263

这一格放 的麦粒可 一对成一 座山!!!

263

引入新课
分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为:

1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以1为首项公比是2的等比数列, 麦粒的总数为:

2

3

63

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 .
63

S64 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 . (1) 2 3 63 2S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ). 2 3 63 64 (2) 即2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 .
2 3 63

? 2S64 ? S64 ? (2 ? 2
64

2

?2 ?2 ?
3 4

?2 ?2 )
63 64

?(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? 2 )
2 3 4 63

?S64 ? 2

?1 ?18446744073709551615

? 1.84 ?10

19

2 30

-1

这种求 和的方 法,就是 错位相 减法!

=1 07 37 41 82 3

请同学们考虑如何求出这个和?

回答:

S64 ? 2 ?1 ?
64

? 1.84 ?10

19

如果1000粒麦粒重为40克, 那么这些麦粒的总质量就是 7300多亿吨。根据统计资料显 示,全世界小麦的年产量约为 6亿吨,就是说全世界都要 1000多年才能生产这么多小麦, 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。

如何求等比数列的Sn:
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

错位相减法
n ?2 n?1

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

? a1q


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q
n

a1 ? an q a1 ? a1q Sn ? ? 1? q 1? q

q ? 1时

注意:

? na1 (q ? 1) ? n S n ? ? a1 ? a1q (q ? 1) ? ? 1? q n a1 ? an q a1 ? a1q ? q ? 1时 : S n ? 1? q 1? q

1.使用公式求和时,需注意对 q 的情况加以讨论;

? 1和 q ? 1

2.推导公式的方法:错位相减法。

公式应用:

1 1 1 例1:求等比数列 , , , ? 的前8项的和。 2 4 8

例2 已知等比数列 ?an ? , a1 ? 27, a9 ? 求前8项的和.

1 243

.

1. 根据下列条件,求相应的等比数列?an ?的 S n

1 (1) a1 ? 8, q ? , n ? 5; 2 1 ( 2) a1 ? 2.7, q ? ? , n ? 6. 3 a3 ? ?1? a1 ? 2 , S3 ? 14.则q ?

? 2? a1 ? ?1, a4 ? 216 则 q ?

, S4 ?

已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .

例2.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今 起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)? 分析:第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 5000?1.1 则n年内的总产量为:
2

……

? 5000 ?1.1 台
2

n?1


n ?1

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1

例3 、求和

a ? a2 ? a3 ? ??? ? an?1 ? an (a ? 0)
分析: 解:(1)该数列为等比数列,记为 ,

?an?

其中a1 ? a, q ? a
当a ? 1 时,Sn ? na ? n

a(1 ? a n ) 当a ? 1时,Sn ? 1? a

反思推导求和公式的方法——错位相减法, 可以求形如?xn ? yn ?的数列的和,其中 等差数列, ?yn ?为等比数列.

?xn ?为

思考:
1 2 3 4 n Sn ? ? ? ? ??? n 求和: 2 4 8 16 2
n 1 a ? ? n ? 设 n 2n (提示: 2n

,其中?n?为等差数列, ,利用错位相减法求和.)

1 ?1? ? n ? 为等比数列,公比为 2 ?2 ?

练习: 2 3 n 1.求和: Sn ? x ? 2x ? 3x ? ??? nx ( x ? 0)
2. 已知数列 Cn ? (4n ?1) * 2n?1 , n ? N * , 求Sn.

三、小结:
1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及 公式的应用; 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和,求和时注 意公比 q

作业 P69 1,2

课后思考?等比数列前 n 项和还可借助和式的代 数特征进行恒等变形 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an

? a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 )
? a1 ? q( S n ? an )

a1 ? a n q S ? n 当q≠1时, 1? q

当q=1时, S n ? na1


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