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一道高考客观题的多角度求解


?

辅教导 学 ?  

数 学 通 讯 —— 2 O O 9年 第 9期( 上半月)  



道 高考 客观题 的 多 角度 求 解 
任宪伟  

囤 国 圈 圈 
填空 题是 高考数 学 试题 的重 要题 型 , 具  有 小巧灵 活 、 结 构 简

单 、 概 念性 强 、 运 算 量不 

( 山 东 省 嘉 祥 县第 二 中学 ,2 7 2 4 0 4 )  

解法 1   当 直 线 AC、 B D 与 坐 标 轴 不 平 

行时 , 设 直 线 AC: y一 是 ( z一1 ) +  , 则 B D:  
一 一

大等特 点. 在 平 时训 练 时 , 应注意思考, 分 析  题意, 灵 活运用 有 关数 学 知 识 , 在 有 多种 角 度  可以解 决 问题 的时候 , 尽 量选择更合理 的解题 
角度 , 不 断提高解 题过程 的合理性 、 简捷性 , 以 


丢 (   一 1 ) +  
将 AC: 3 , 一k ( x一 1 ) +  代 入 z 。 +y  

4 , 可 得  + [ 如 +(   一是 ) ]  一 4 , 整理 得 
( 1+ k   )  z +2 最 (   一k ) x+ (   一是 )  一 

达 到巧解妙算 之 效果 , 力争 做 到“ 正确、 合理、  
迅速 ” 地 解答填 空题. 本文 介绍 2 0 0 9 年全 国卷  ( Ⅱ ) 第 1 6 题 的多种解题 视角 和方法 , 供 同学们 

4 — 0.  

设 方 程的两 根 为  ,   , 则 
I … z l十   2一


参考.  
题目   已 知 AC、 B D 为 圆0: z   +y  一  

2 志 ( 是 一4 2 )  
—  

’  

4的两 条相互 垂 直 的弦 , 垂 足为 M( 1 , √ 2 ) , 则  四边形 A BC D 的 面积 的最 大值 为  .  

( 足一√ 2 )  一 4  

X 1 X 2一 — 1  

’  

本题 是 全 国卷 ( Ⅱ)中 客观 题 的 压轴 题 ,   是 以解 析几 何 为 背 景 、 以 圆为 载 体所 设 计 的  几何 图形 面积 最值 问题 . 题 目设 计短 小精 悍 ,  
解题 思路 灵 活多 样 , 对 学 生 的数 学 能力 要 求  较高 , 具 有很 好 的选 拔功 能.  

l   A C   l =  
一 、

?I   z 。 一z   l  
= F -   = 

/ 『 干   ?、  

z  



 

) z 一4 ( k一  )   ( 1 +  ) +1 6 ( 1 +  )  

 ̄ / 1 + 


解决 本题 可 以从 求解 直线 被 圆所 截 得的  弦 长着 眼 , 但 需 经 过 复 杂 的运 算 才 能达 到 解 
决 问题 的 目的 , 不 适 用在 考试 时用 . 结合 图形 

2 , / 3 忌   +2   +2  
 ̄ / 1 +k  

同理 可求得 

还 可 以利 用 圆 的性质 结合 求最 值 的办法 进行 
考虑 , 可 以简 化运 算 , 迅速 得 出结果 .  

I 肋 I :— 2 ̄ / 2   k z   -2   4 " 2 k +



. 

角度 1   利用 解 析 几何 的 常规 解 法 , 联  立方 程 消 元 , 整理成关 于 z ( 或 )的 一元 二 
次方 程 , 根 据 方 程 根 与 系数 的关 系 得 到直 线  被 圆所 截 得 的 弦长 , 利 用 两 弦互 相 垂直 的关 

S 一 告I   A C   I ? I   B D     I

2   4( 3 k   +2  

+2 ) ( 2 k   一2  
1+ k  

+3 )  

系得 到 另 一条 弦 长 , 即可 得 到所 求 四边 形 面 
积 的 函数关 系式 , 最 后 利 用 求最 值 的 办法 求 
解 即可.  

2  

数 学通 讯 —— 2 O O 9年 第 9期 ( 上半月)  

? 辅教导学 ?  

而 

的关 系求 出弦 长 的关 系式 , 进 而根 据题 意 得  到所 求 四边形 面积关 系 式 , 凭 借观 察 得 出两 



(   : ;   焦) 。
、   1上 k  

弦心距 的关 系式 , 巧妙 利用 基本 不 等式 即可 
得 到所求 .  

. ‘  

令t =  

, 则 关 于 忌的一 元 

解法 2   当直线 A C、 B D 与坐标 轴 不平  行时, 可设 直线 AC: Y= k ( z一 1 ) +  , B D:  

二 次方程 (   一t ) k 。 一k 一(   +£ ) :0 有解 ,  

所 以判 别式 △= 1 +4 (   一£ ) (   +£ ) ≥o ,   解得 £  ≤  9
,  

Y = 一÷( z 一1 ) +  , 则圆 心 到 直 线A C 、 肋 
的距离分 别 为   ̄ / 1 +k   。   两 弦 长分别 为  一   ̄ / 1 +k 。  .  

即 S   ≤  2  4 + - 9= T 即  ≤  +  = 5 ?  
.  

当 s: 5时 , £ 一土  3
.  

,  

z  =
】  

2  

, £ 。= 2  

,  

患一 一 2  

】  

1  

一 

’  

从而 

s 一 ÷l   A C【 . I   B D   I  
即 k: 3 —2   , 或 最一一 3 —2 厄 
当直 线 AC、 B D 与 坐 标 轴 平 行 时 ,弦 
AC、 B D 的长分 别为 2   和 2   , 则 

一2   4( 4一d   ) ( 4 一d ; ) .  
而  + d i 一  
3 , 故 

+ 

一 

s 一 丢 f   A C 卜 I   B D   I 一 2  < 5 .  
故 当 k一 3 —2   , 或 k=一3 —2   时,  

S一 2   J( 4一d   ) ( 4 一d ; )  
≤ ( 4 ~d } ) +( 4一d ; )  
= 8一 (   +d ; )= 8 — 3— 5 .  

四边 形 A : B C D 的面积最 大 , 最 大值 为 5 .  
评注  解法 1 是利用 关 于实 数 k 的方程 
一  

萼  

有 解 的 条 件 建 立 不 等 关 系   AC、 B D 的长 为 2  

当直 线 A C、 B D 与 坐 标 轴 平 行 时 ,弦 
和2   , 则 

求最 值 的 , 也 可借 助导 数来求 t 的最 值. 倘 若 

注 意到 (   +1 ) 。 +( 志 一√   ) 。一 3 +3 k 。 , 利 

s=   l   A c   1 .I 肋 I :2   <5 .  
故 四边 形 AB C D 的面积 的最 大值为 5 .  

用基本不等式便知 (   +1 ) z ( 正 一  ) z ≤ 


评 注  根据 点 到 直 线 的距 离公 式 确 定 
从 而 

圆心 与弦 间 的距 离 ( 即弦心 距 ) , 借 助 圆 的性  质求 解 圆的 弦长 , 比解 法 1的求解 简便 , 根据 

s一 2

√ 4 +  

求解 过 程 中 的关 系式 间 的等 量 的关 系 , 选择 
合适 的求 最值 的方法 是快 速解答 问题 的关 键 
所在 .  

≤ 2 √ 4 +   9 — 5 ,  
问题 的求解 就显得 更加简捷 .   角度 2   利用 圆心到直 线 的距 离可 以确 
定 弦  C   距, 根 据圃的半 径 、 弦  距 和 弦 长 一 半 

角度 3   与平面几 何相关 的数学 问题往  往离 不开 对 图形 的研究 与 利用 , 根 据题 意 结 
合图形 中 的几 何 性 质很 容 易 确 定 两 弦 的 中 

?

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数 学通 讯 — — 2 0 0 9年 第 9期( 上半月)  

3  

点、 圆心及 两互 相垂 直 弦的交 点 围成一 矩形 ,  

然 后 结合 图形 , 借 助题 意 条件 利 用 几何 性 质  得 到相 应 的结论 , 合 理利用 结论 , 恰 当运 用求 
最 值 的方 法 即可得 到所求 .  

知 其对 角线 , 引入 一 角 , 可将矩 形 的一组 邻边 
( 弦 的弦心距 )表示 出来 , 即可得 到 相 应 的 弦 

长( 用 引入 角表 示 ) , 然 后 利用 引入 角 将所 求  四边形 面 积 表示 出来 , 再选 用 恰 当 方法 求 其 
最 值.  

解法 4   如图 1 , 同解法 3 可得 } O E   f  +  

I   O F   I 。 一 I  

I  = 3 .  

而f   A C   i 一2  ̄ / ]  
I  

= - 『  

,  

解法 3   如图 1 , 分  别取 弦 A C、 B D 的 中点 
E、 F, 连 接 oE、 O F、 a ,  

l   B D   I 一2 ̄ / 1 面玎 = _ 『  下 , 则  
f   A C   I 。 +l   B D   l 。  

~  

4 ( I   O A   l 。+ l   O B   I 。 )一 4 ( 1   O E   l 。  
+I   O F   j   )  

则O E- l - A C, O F上 B D.   由题 意 可 知 四边 形 
. 

一 4× ( 4+ 4 )一 4× 3 — 2 0,  

O E MF为矩形 , l   0 M   I 一  
图 1  
.  

故 S一   I   A C} ?I   B D}   ≤ ÷( I   A C   l 。 +I   B D   l 。 )  
‘ 士  

设 LE O M —a ( a∈ [ o , 要] ) ,  
厶 

则l   O E   I :I   O M  l   c o s a一√ _ c o s a ,   l   O F   l — I   l   s i n a一 ̄ f 3 s i n a , 于是 

一百 1× 2 0= 5
. 

评 注 

由解 法 4可 以看 出, 结 合题 意条 

I   A C   l =2 、 仃 


= _ 『 研
.  

   

件, 利 用 图形 的直 观 、 形 象特 点可 以使解 题过 
程 更 简捷 .  

2 、   二  

I   B D   l =2  ̄ / ]  可 = - 1 矸


以上 四种 求解 方 法 , 对 于 做 解答 题 均 可  使用 , 解法 3 、 解 法 4对 于求 解客 观 题 是相 当 
节 省 时 间的 , 值 得 一用.  

2 、   =  

,  

则s 一告I   A C   l ? l   B D}  


由于 解 决 客 观 题 追 求 的 是 解 法 简 便 快 

2 ̄ / ( 4— 3 c o s   a ) ( 4— 3 s i n   a )  

捷, 可 利用 猜 想论证 之法 , 借用 基本 解法 也可 
以顺 利求 出 , 但 求解 时往 往应根 据 特例 、 特殊 
情 形 得 出 结 论. 注意到 A C、 B D 的地 位 是 平  等的 , 解决 本题 就 可 以猜 想 : 四边形 的 面积取  最 大值 时 , 要 么直 线 A C、 B D 平行 于 对称 轴 ,  



2   / 4  

9  


2 2
口 

≤ 2 √ 4 + 导 一 5 ,  
当 且仅当a 一詈, 即四 边形O E M F 为 正  
方形 时 , 四边形 A BC D 的面 积有最 大值 为 5 .   评 注  在 圆 中 研究 与 弦相 关 的几 何 问 
题时 , 通 常 取 弦 的 中点 , 借 助 圆 的性 质 ( 圆 心  与弦 的 中点连线 与 弦垂 直 )研究 图形 中隐含 
的性 质。  

要么弦 A C、 B D 的长 度 相 等 , 前 者 容易 得 出 
四边 形 的 面 积 , 后者只需弦 A C、 B D 相 等 得 

出相 应 的 直 线 斜 率 , 进 而 得 到 弦 AC、 B D 之  长 即得 四边 形 面 积 , 与前者 比较 取最 大 值 即  可 得 到所 求.  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —0 6 —1 2 )  

角度 4   在 平 面几 何 中研 究 几 何 问题 ,   往往应 注 意充 分 挖 掘 出图 形所 具 备 的性 质 ,  


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