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2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)


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2006 中国数学奥林匹克
(第二十一届全国中学生数学冬令营) 第一天
福州 1 月 12 日 上午 8∶00~12∶30 每题 21 分
? 0 ,求证:
2

一、 实数 a1 , a 2 , ? , a

n 满足 a1 ? a 2 ? ? ? a n
max ( a ) ?
1? k ? n 2 k

n 3

? ?a
i ?1

n ?1

i

? a i ?1 ? .

证明

只需对任意 1 ? k ? n ,证明不等式成立即可.

记 d k ? a k ? a k ?1 , k ? 1, 2, ? , n ? 1 ,则
ak ? ak , a k ? 1 ? a k ? d k , a k ? 2 ? a k ? d k ? d k ? 1 , ? , a n ? a k ? d k ? d k ? 1 ? ? ? d n ?1 , a k ?1 ? a k ? d k ?1 , a k ? 2 ? a k ? d k ?1 ? d k ? 2 , ? , a1 ? a k ? d k ?1 ? d k ? 2 ? ? ? d 1 ,

把上面这 n 个等式相加,并利用 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 可得
na k ? ( n ? k ) d k ? ( n ? k ? 1) d k ?1 ? ? ? d n ?1 ? ( k ? 1) d k ?1 ? ( k ? 2) d k ? 2 ? ? ? d 1 ? 0 .

由 Cauchy 不等式可得
( na k ) ? ? ( n ? k ) d k ? ( n ? k ? 1) d k ?1 ? ? ? d n ?1 ? ( k ? 1) d k ?1 ? ( k ? 2) d k ? 2 ? ? ? d 1 ?
2 2

? k ?1 2 n ? k 2 ? ? n ?1 2 ? ? ? ? i ? ? i ? ? ? di ? i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? n ?1 2 ? ? n ?1 2 ? n ( n ? 1)(2 n ? 1) ? n ?1 2 ? ? ? ? i ? ? ? di ? ? ? ? di ? 6 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? n ? n ?1 2 ? ? ? ? di ? , 3 ? i ?1 ?
3

所以

ak ?
2

n 3

? ? a?
i i ?1

n ?1

a i1 ? ?

2



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二、正整数 a1 , a 2 , ? , a 2006 (可以有相同的)使得

a1 a2

,

a2 a3

,?,

a 2005 a 2006



两不相等.问: a1 , a 2 , ? , a 2006 中最少有多少个不同的数?
解 答案: a1 , a 2 , ? , a 2006 中最少有 46 个互不相同的数.

由于 45 个互不相同的正整数两两比值至多有 45×44+1=1981 个,故
a1 , a 2 , ? , a 2 0 0 6 中互不相同的数大于 45.

下面构造一个例子,说明 46 是可以取到的. 设 p1 , p 2 , ? , p 46 为 46 个互不相同的素数,构造 a1 , a 2 , ? , a 2006 如下:
p1 , p1 , p 2 , p1 , p 3 , p 2 , p 3 , p1 , p 4 , p 3 , p 4 , p 2 , p 4 , p1 , ? , p1 , p k , p k ?1 , p k , p k ? 2 , p k , ? , p k , p 2 , p k , p1 , ? , p1 , p 45 , p 44 , p 45 , p 43 , p 45 , ? , p 45 , p 2 , p 45 , p1 , p 46 , p 45 , p 46 , p 44 , p 46 , ? , p 46 , p 22 , p 46 ,

这 2006 个正整数满足要求. 所以 a1 , a 2 , ? , a 2006 中最少有 46 个互不相同的数.

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2 三、正整数 m,n,k 满足: mn ? k ? k ? 3 ,证明不定方程

x ? 11 y ? 4 m
2 2



x ? 11 y ? 4 n
2 2

中至少有一个有奇数解 ( x , y ) .
证明 首先我们证明如下一个 引理:不定方程
x ? 11 y ? 4 m
2 2



或有奇数解 ( x 0 , y 0 ) ,或有满足
x 0 ? (2 k ? 1) y 0 (mod m )



的偶数解 ( x 0 , y 0 ) ,其中 k 是整数. 引理的证明 考虑如下表示
x , y为 整 数 , 且 0 ? x ? 2 m

x ? (2 k ? 1) y

,0? y?

m 2



?? m ? ? 则共有 ?2 m ? ? 1 ? ? ? ? 1? ? m 个 表 示 , 因 此 存 在 整 数 x1 , x 2 ? ? 0, 2 m ? , ? ? ? ? ? 2 ?

?

?

??

?

?

? m? y1 , y 2 ? ? 0, ? ,满足 ( x1 , y1 ) ? ( x 2 , y 2 ) ,且 2 ? ?

x1 ? (2 k ? 1) y1 ? x 2 ? (2 k ? 1) y 2 (mod m ) ,

这表明
x ? (2 k ? 1) y (mod m ) ,



这里 x ? x1 ? x 2 , y ? y 2 ? y1 。由此可得
x ? (2 k ? 1) y ? ? 11 y (mod m ) ,
2 2 2 2

2 2 故 x ? 11 y ? km ,因为 x ? 2 m , y ?

m 2

,所以

x ? 11 y ? 4 m ?
2 2

11 4

m ? 7m ,

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于是 1 ? k ? 6 .因为 m 为奇数,x 2 ? 11 y 2 ? 2 m ,x 2 ? 11 y 2 ? 6 m 显然没有整数解.
2 2 (1) 若 x ? 11 y ? m ,则 x0 ? 2 x , y 0 ? 2 y 是方程①满足②的解. 2 2 (2) 若 x ? 11 y ? 4 m ,则 x 0 ? x , y 0 ? y 是方程①满足②的解.
2 2 (3) 若 x ? 11 y ? 3 m ,则 ? x ? 11 y ? ? 11 ? x ? y ? ? 3 2 ? 4 m .
2 2

首先假设 3

m,若 x

0 (mod 3), y

0 (mod 3) ,且 x

y (mod 3) ,则

x0 ?

x ? 11 y 3

, y0 ?

x? y 3



是方程①满足②的解.若 x ? y
x0 ?

0 (mod 3) ,则

x ? 11 y 3

, y0 ?

y?x 3



是方程①满足②的解. 现在假设 3 m ,则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解.若方程①有偶数解
x0 ? 2 x1 , y 0 ? 2 y1 ,则

x1 ? 11 y1 ? m
2 2

?

36 m ? ? 5 x1 ? 11 y1 ? ? 11 ? 5 y1 ? x1 ? .
2 2

因为 x1 , y1 的奇偶性不同,所以 5 x1 ? 11 y1 , 5 y1 ? x1 都为奇数. 若 x ? y (mod 3) ,则 x 0 ? 若 x1
5 x1 ? 11 y1 3 5 x1 ? 11 y1
3

, y0 ?

5 y1 ? x1

是方程①的一奇数解. 是方程①的一奇数解.
2

y1 (mod 3) ,则 x 0 ?

, y0 ?

3 5 y1 ? x1
3
2

2 2 (4) x ? 11 y ? 5 m ,则 5 2 ? 4 m ? ? 3 x ? 11 y ? ? 11 ? 3 y ? x ? .

当5 则

2 () ,5 o d m 时, x ? ? 1(mod 5), y ? ? 2 (mod 5) , x ? ?m 若 或

m 1 () o d 5

y??



x0 ?

3 x ? 11 y 5

, y0 ?

3y ? x 5



是方程①满足②的解. 若 x ? ? 1(mod 5), y ? ? 2 (mod 5) ,或 x ? ? 2(mod 5), y ? ? 1(mod 5) ,则
x0 ? 3 x ? 11 y 5 , y0 ? 3y ? x 5



是方程①满足②的解.
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当 5 m ,则公式 ⑥ 和⑦仍 然给出方程① 的整数 解.若方程① 有偶数 解
x0 ? 2 x1 , y 0 ? 2 y1 ,则

x1 ? 11 y1 ? m ,
2 2

x1
2

y1 ( m o d 2 ) ,
2

可得 若

100 m ? ? x1 ? 33 y1 ? ? 11 ? y1 ? 3 x1 ? .
x1 ? y1 ? 0 (mod 5) ,或者 x1 ? ? 1(mod 5), y1 ? ? 2 (mod 5) ,或者
x1 ? 33 y 1 5 , y0 ? y 1 ? 3x 1 5

x1 ? ? 2(mod 5), y1 ? ? 1(mod 5) ,则 x 0 ?

是方程①的一奇数

解. 若 x1 ? ? 1(mod 5), y1 ? ? 2 (mod 5) ,或 x1 ? ? 2(mod 5), y1 ? ? 1(mod 5) ,则
x0 ? x1 ? 33 y1 5 , y0 ? y1 ? 33 x1 5

是方程①的一奇数解. 引理证毕. 由引理,若方程①没有奇数解,则它有一个满足②的偶数解 ( x 0 , y 0 ) .令
l ? 2 k ? 1 ,考虑二次方程

mx ? ly 0 x ? ny 0 ? 1 ? 0 ,
2 2

⑧ ,



x?

? ly 0 ?

l y 0 ? 4 mny 0? 4 m
2 2 2

2m

?

? ly 0 ? x 0 2m

这表明方程⑧至少有一个整数根 x1 ,即
mx1 ? ly 0 x1 ? ny 0 ? 1 ? 0 ,
2 2



上式表明 x1 必为奇数.将⑨乘以 4n 后配方得

? 2 ny 0 ? lx1 ?

2

? 11 x1 ? 4 n ,
2

2 2 这表明方程 x ? 11 y ? 4 n 有奇数解 x ? 2 ny 0 ? lx1 , y ? x1 .

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2006 中国数学奥林匹克
(第二十一届全国中学生数学冬令营) 第二天
福州 1 月 13 日 上午 8∶00~12∶30 每题 21 分 四、在直角三角形 ABC 中, ? ACB ? 90 ? ,△ABC 的内切圆 O 分

别与边 BC,CA, AB 相切于点 D,E,F,连接 AD,与内切圆 O 相 交于点 P,连接 BP,CP,若 ? BPC ? 90 ? ,求证: AE ? AP ? PD .
证明 设 AE = AF = x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n. 因为 ? ACP ? ? PCB ? 90 ? ? ? PBC ? ? PCB ,所以 ? ACP ? ? PBC .
A P E C B F

D

Q

延长 AD 至 Q,使得 ? AQC ? ? ACP ? ? PBC ,连接 BQ,CQ,则 P,B,Q, C 四点共圆,令 DQ=l,则由相交弦定理和切割线定理可得
yz ? nl ,

① ②

x ? m (m ? n) .
2

因为 ? ACP ∽ ? AQ C ,所以

AC AQ
2

?

AP AC

,故 ③

( x ? z ) ? m (m ? n ? l ) .

在 Rt △ACD 和 Rt △ACB 中,由勾股定理得
( x ? z ) ? z ? (m ? n) ,
2 2 2

④ ⑤

( y ? z) ? ( z ? x) ? ( x ? y) .
2 2 2

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③-②,得 ①÷⑥,得 所以 ②×⑦,结合④,得
2

z ? 2 zx ? ml ,
2



yz z ? 2 zx yz
2

?
?

n

, ,
2 2

1?

m m?n
m
2

z ? 2 zx
2



x ?

x yz z ? 2 zx
2

2

? (m ? n) ? ( x ? z ) ? z ,

整理得

x y z ? 2x

2

? 2 z(x ? z) .



又⑤式可写为

x?z ?

2 xy y?z
? 4z





由⑧,⑨得 又⑤式还可写为 把上式代入⑩,消去 y ? z ,得

x z ? 2x

y?z

. ,

⑩ 11 ○

y?z?

2 xz x?z

3 x ? 2 xz ? 2 z ? 0 ,
2 2

解得 代入○得, 11 将上面的 x,y 代入④,得

x?

7 ?1 3

z,

y ? (2 7 ? 5) z ,

m?n?

2( 7 ? 1) 3 ?

z,

结合②,得

m?

x

2

7 ?1 6 z,

m?n n?

z,

从而

7 ?1 2

所以, x ? m ? n ,即 AE ? AP ? PD .

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五、实数列 ? a n ? 满足: a1 ?
a k ?1 ? ? a k ?

1 2
1

, , k ? 1, 2 , ? .

2 ? ak

证明不等式
? ? n ? 1? ? ? 2( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? n n ? ?? 1 ? ? 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 1 ?? ? 1?? ? ? 1? . ? ? ? 1? ? n ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? an ?
1 2 , n ? 1, 2 , ? .

证明

首先,用数学归纳法证明: 0 ? a n ?
1 2

n ? 1 时,命题显然成立.

假设命题对 n ( n ? 1) 成立,即有 0 ? a n ? 设 f ( x) ? ? x ?
1



? 1? , x ? ? 0 , ? ,则 f ( x ) 是减函数,于是 2?x ? 2?

a n ?1 ? f ( a n ) ? f ( 0 ) ?

1 2

,

1 1 a n ?1 ? f ( a n ) ? f ( ) ? ? 0 , 2 6

即命题对 n+1 也成立. 原命题等价于
? ? ? ? ? ? 1 ?? 1 ? ? 1 n n ? 1?? ? ? 1? . ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 2?a ? a ?? ? a ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? an 1 2 n ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ?
n n

设 f ( x ) ? ln ?

?1

1 1? ? ? ? 1 ? , x ? ? 0 , ? ,则 f ( x ) 是凸函数,即对 0 ? x1 , x 2 ? ,有 2 2? ?x ? ?

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x ? x2 ? f ? 1 . ?? 2 ? 2 ?

事实上, f ?

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? 等价于 ?? 2 ? 2 ?
? 2 ? ? 1 ?? 1 ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? 1? , ? ? x1 ? x 2 ? ? x1 ? ? x2 ?
2

?

? x1 ? x 2 ?

2

? 0.

所以,由 Jenson 不等式可得
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f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? ? f ? x n ? ? x ? x2 ? ? ? xn ? f ? 1 , ?? n n ? ?



? ? n ? 1? ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ?1. ? ? a 1 ? ? a 2 ? ? an ?

另一方面,由题设及 Cauchy 不等式,可得

? ?1 ? a i ? ? ?
i ?1 i ?1

n

n

1 a i ? a i ?1
n
2

?n

?

? (a
i ?1

n

?n? ? a i ?1 )

n

2

i

a n ?1 ? a1 ? 2

?a
i ?1

n

?n
i

? ? ? ? n n ? ? n ? n? ? 1? , n n ? ? 2 ? ai 2 ? ai ? ? i ?1 ? i ?1 ?
2

所以

? ( 1? a
i ?1

n

i

)

?a
i ?1
n

n

i

? ? ? ? n n ? ? n ? 1? , n ? ? a i? 2 ? a i ? ? ? 1 i ?i 1 ? ?
n n



? ? ? ? ? (1 ? a1 ) ? (1 ? a 2 ) ? ? ? (1 ? a n ) ? n n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2?a ? a ?? ? a ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a n 1 2 n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ? ? ?

? ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1? ? ? 1?? ? ? 1? , ? a1 ? ? a2 ? ? an ?

从而原命题得证.

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六、设 X 是一个 56 元集合.求最小的正整数 n,使得对 X 的任意 15 个子集,只要它们中任何 7 个的并的元素个数都不少于 n,则这 15 个子集中一定存在 3 个,它们的交非空.
解 n 的最小值为 41.

首先证明 n ? 41 合乎条件.用反证法.假定存在 X 的 15 个子集,它们中任 何 7 个的并不少于 41 个元素,而任何 3 个的交都为空集.因每个元素至多属于 2 个子集, 不妨设每个元素恰好属于 2 个子集 (否则在一些子集中添加一些元素, 上述条件仍然成立) ,由抽屉原理,必有一个子集,设为 A,至少含有 ?
? 2 ? 56 ? ? ?1 ? 15 ?

=8 个元素,又设其它 14 个子集为 A1 , A2 , ? , A14 .考察不含 A 的任何 7 个子集,
7 都对应 X 中的 41 个元素, 所有不含 A 的 7-子集组一共至少对应 41C 14 个元素. 另

一方面,对于元素 a,若 a ? A ,则 A1 , A2 , ? , A14 中有 2 个含有 a,于是 a 被计算
7 7 ,A 了 C14 ? C12 次; a ? A , A1 ,A2 , ?41 若 则 7 7 中有一个含有 a, 于是 a 被计算了 C14 ? C13

次,于是
41 C14 ? (56 ? A )( C14 ? C12 ) ? A ( C14 ? C13 )
7 7 7 7 7

? 56( C14 ? C12 ) ? A ( C13 ? C12 )
7 7 7 7

? 56( C14 ? C12 ) ? 8( C13 ? C12 ) ,
7 7 7 7

由此可得 196 ? 195 ,矛盾. 其次证明 n ? 41 . 用反证法.假定 n ? 40 ,设 X ? ?1, 2 , ? , 56? ,令
A i ? ?i , i ? 7, i ? 14, i ? 21, i ? 28, i ? 35, i ? 42, i ? 49? , i ? 1, 2, ? , 7 ,

B j ? ? j , j ? 8, j ? 16, j ? 24, j ? 32, j ? 40, j ? 48? , j ? 1, 2, ? , 8 .
? ? ) 显然, Ai ? 8( i ? 1, 2, , 7 ), Ai ? A j ? 0 (1 i ? j ? 7, B j ? 7( j ? 1, 2, ? , 8) , Bi ? B j ? 0(1 ? i ? j ? 8) , Ai ? B j ? 1(1 ? i ? 7,1 ? j ? 8) ,于是,对其中任何 3 个

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子集,必有 2 个同时为 Ai ,或者同时为 B j ,其交为空集. 对其中任何 7 个子集 Ai , Ai , ? , Ai , B j , B j , ? , B j ( s ? t ? 7) ,有
1 2 s 1 2 t

Ai1 ? Ai2 ? ? ? Ais ? B j1 ? B j2 ? ? ? B jt ? Ai1 ? Ai2 ? ? ? Ais ? B j1 ? B j2 ? ? ? B jt ? st
? 8 s ? 7 t ? st ? 8 s ? 7(7 ? s ) ? s (7 ? s )

? ( s ? 3) ? 40 ? 40 ,
2

任何 3 个子集的交为空集,所以 n ? 41 . 综上所述,n 的最小值为 41.

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