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导数习题分类精选


导数习题分类精选 2
导数定义

?x 2 例 1. y ? f ( x) ? ? ?ax ? b
思路:

x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

在x

? 1 处可导,则 a ?

b?

?x 2 y ? f ( x) ? ? ?ax ? b
lim?

在x

? 1 处可导,必连续 lim f ( x) ? 1 ?
x ?1

x ?1?

lim f ( x ) ? a ? b

f (1) ? 1



a ?b ?1 ?y lim? ?2 ?x ? 0 ? x

?x ? 0

?y ?a ?x



a?2

b ? ?1

例 2.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限:

(1)

?h ?0

lim

f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; 2h

(2)

?h ? 0

lim

f (a ? h 2 ) ? f (a) h

分析: 在导数定义中, 增量△x 的形式是多种多样, 但不论△x 选择哪种形式, △y 也必须选择相对应的形式。 利用函数 f(x)在 x 处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解: (1) lim
h ?0

?a

f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a) ? f (a) ? f (a ? h) ? lim h ? 0 2h 2h

f (a ? 3h) ? f (a) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ?0 h ?0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? lim ? lim 2 h ?0 3h 2 h ?0 ?h 3 1 ? f ' (a) ? f ' (a) ? 2b 2 2 ? lim
(2) lim
h ?0

? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim? h? 2 h ?0 h h ? ?

? lim
h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim h ? f ' (a) ? 0 ? 0 h ?0 h2
n

例 3.观察 ( x

)? ? nxn?1 , (sin x)? ? cos x , (cos x)? ? ? sin x ,是否可判断,可导的奇函数的导函数是偶函数,可导

的偶函数的导函数是奇函数。 解:若

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x) ?x f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?(? x) ? lim ? lim ?x ?0 ? x ? 0 ? ?x ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? ? ? f ?( x) ?x ?0 ??
f ( x) 为偶函数

f ( ? x) ? f ( x)



?x ?0

lim

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证:

f ? ? [ f (? x)]? ? f ?(? x) ? (? x)? ? ? f ?( x)
1

导数习题分类精选 2
已知函数

f ( x) 在定义域 R 上可导,设点 P 是函数 y ? f ( x) 的图象上距离原点 O 最近的点.

(1) 若点 P 的坐标为 ( a,

f (a)) ,

求证: a ?

f ( a) f ' ( a) ? 0 ;
y ? f ( x) 的图象上点 P 处切线垂直.

(2) 若函数

y ? f ( x) 的图象不通过坐标原点 O ,
2 2

证明直线 OP 与函数
2 2 2

证:(1)设 Q(x , f (x) )为 y = f (x)上的动点,则|OQ| = x + f ( x ), 设 F(x) = x + f ( x ), 则 F'(x)=2x +2f (x)f ' ( x ) 已知 P 为 y = f(x) 图形上距离原点 O 最近的一点, ∴|OP| 为 F(x)的最小值,即 F(x) 在 x = a 处有最小值, 亦即 F(x) 在 x = a 处有极小值 ∴ F'(a)=0, 即 2a+2f (a)f ' (a)=0
2

(2) 线段 OP 的斜率为

f (a ) ,y=f(x)之图形上过 P 点的切线 l 的斜率为 f ' (a) a f (a ) f '(a) = –1 a

由(1)知 f (a)f '(a) = – a, ∴图象不过原点,∴a ? 0,∴

∴OP⊥l,即直线 OP 与 y=f(x)的图形上过 P 点的切线垂直. 利用导数证明不等式 例 6.求证下列不等式 (1) x ?

x2 x2 x ? (0 , ? ?) (相减) ? ln(1 ? x) ? x ? 2 2(1 ? x)
x? 2x

(2) sin

?

x ? (0 ,

?
2

) (相除)

(3) x ? sin

x ? tan x ? x x ? (0 ,

?
2

)

证: (1)

f ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?

x2 ) f (0) ? 0 2


f ?( x) ?

1 x2 ?1 ?1? x ? ?0 1? x x ?1
恒成立



y ? f ( x ) 为 (0 , ? ? ) 上 ?

x ? (0 , ? ? )

f ( x) ? 0



x2 ln(1 ? x) ? x ? 2

x2 g ( x) ? x ? ? ln(1 ? x) 2(1 ? x)

g (0) ? 0

g ?( x) ? 1 ?

4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 4(1 ? x 2 ) 4(1 ? x) 2




g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上 ?

x ? (0 , ? ? ) x ?

x2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立 2(1 ? x)
2

导数习题分类精选 2
sin x 2 ? ? 令 f ( x) ? sin x / x x ? (0 , ) cos x ? 0 x ? 2 ? cos x( x ? tan x) ? f ?( x) ? f ?( x) ? 0 (0 , ) ? ∴ x ? (0 , ) 2 2 x 2 ? 2 2x f( )? ∴ sin x ? 2 ? ?
(2)原式 ? (3)令

x ? tan x ? 0



f ( x) ? tan x ? 2 x ? sin x

f (0) ? 0

f ?( x) ? sec 2 x ? 2 ? cos x ?
x ? (0 ,

(1 ? cos x)(cosx ? sin 2 x) cos2 x
(0 ,

?



2 tan x ? x ? x ? sin x

)

f ?( x) ? 0
2



?
2

)?

(理做)设 a≥0,f (x)=x-1-ln x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln x-2a ln x+1. (Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 2 ln x ? 2a ,x ? 0 , 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 ,于是 F ?( x) ? 1 ? 2 ? x ? 2 ,x ? 0 ,
2

x

x

x

x

列表如下:

x
F ?( x )
F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

?
?

?
? ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .

2) 内是减函数,在 (2, ? ∞) 内是增函数,所以,在 x 故知 F ( x ) 在 (0,
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x ) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .

, ? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0
从而当 x 故当 x

? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ? ∞) 内单调增加.

所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 .(利用单调性证明不等式)

? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

(全国卷 22) (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数 f(x)的最大值;(ii)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g(
a?b )<(b-a)ln2. 2

.(I)解:函数 f(x)的定义域是(-1,∞),

f ' ( x) ?

1 ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x=0,当-1<x<0时, f ' ( x) ? 0 ,当 x>0 1? x

时,

f ' ( x) ? 0 ,又 f(0)=0,故当且仅当 x=0时,f(x)取得最大值,最大值是0
g (b) ? 2 g (

a?b a?b 2a 2b ) ? a ln a ? b ln b ? (a ? b) ln ? a ln ? b ln . 2 2 a?b a?b b?a a ?b ? 0, ?1 ? ?0, 由(I)的结论知 ln(1 ? x) ? x ? 0( x ? ?1, 且x ? 0) ,由题设0<a<b,得 2a 2b
(II)证法一: g( a ) ? 3

导数习题分类精选 2
2a b?a b?a ? ? ln(1 ? )?? , a?b 2a 2a 2b a ?b a ?b ln ? ? ln(1 ? )?? a?b 2b 2b 2a 2b b?a a ?b ? b ln ?? ? ?0 所以 a ln a?b a?b 2 2 2a a?b 2a 2b a?b 2b 2b ? a ln ? b ln ? a ln ? b ln ? (b ? a) ln ? (b ? a) ln 2 又 a?b 2b a?b a?b 2b a ?b a ?b a?b ) ? (b ? a) ln 2 综上 0 ? g ( a ) ? g (b) ? 2 g ( 2 a?x ' ), (II)证法二: g ( x) ? x ln x , g ( x) ? ln x ? 1,设 F ( x) ? g ( a ) ? g ( x) ? 2 g ( 2 a?x ' a?x ' ' ' )] ? ln x ? ln 则 F ( x) ? g ( x) ? 2[ g ( ,当0<x<a 时 F ( x) ? 0 ,因此 F(x)在(0,a)内为减函数 当 x>a 时 2 2
因此 ln

F ' ( x) ? 0 ,因此 F(x)在(a,+∞)上为增函数 从而,当 x=a 时,F(x)有极小值 F(a) 因为 F(a)=0,b>a,所以 F(b)>0,即
0 ? g (a) ? g (b) ? g (
设 G ( x) ?

a?x ? ln 2 ? ln x ? ln(a ? x) 当 x>0时, G' ( x) ? 0 ,因此 G(x)在 2 a?b ) ? (b ? a) ln 2 (0,+∞)上为减函数,因为 G(a)=0,b>a,所以 G(b)<0.即 g ( a ) ? g (b) ? 2 g ( 2

a?b ) 2

F ( x) ? ( x ? a) ln 2 ,则 G ' ( x) ? ln x ? ln

(2009 全国卷Ⅱ理)(本小题满分 12 分)设函数 (I)求 a 的取值范围,并讨论

f ? x ? ? x2 ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
1 ? 2 In2 4

(II)证明: f ? x2 ? ? f ? x ? 的单调性;

解: (I)

f ? ? x ? ? 2x ?
2

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

令 g ( x) ? 2 x

? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ?

1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均大于 ?1 的不相等的实根,其 2

充要条件为 ?

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, ⑶当 x ? ( x2,

f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数;

? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数;
1 ? a ? 0,?? ? x2 ? 0 , a ? ?(2 x22 +2x2 ) 2
4

(II)由(I) g (0)

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? f ? x2 ? ? x22 ? aln ?1? x2 ? ? x22 ? (2x22 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?
设h

? x ? ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ?

1 ), 2

则 h?

? x? ? 2x ? 2(2x ?1)ln ?1? x ? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln ?1? x ?
1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,? h( x) 在 [ ? , 0) 单调递增; 2 2

⑴当 x ? ( ?

⑵当 x ? (0, ??) 时, h?

? x ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递减。

1 1 1 ? 2 ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In 2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? . 4 x . 1 ? x) , h ( x ) ? 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln( 1? x
(1)证明:当 x (2)当 x

? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x);

kx ( k ? 0) 恒成立,求实数 k 的取值范围; k?x 1 x ' ? 解: (1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F ( x) = 1 ? , 1? x 1? x
? 0 时,不等式 g ( x ) ?
当x 在x 所以

? 0 时, F ' ( x) ? 0 ,所以函数 F ( x) 在(0, ? ?) 单调递增,又 F ( x)

? 0 处连续,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,

f ( x) ? g ( x) 。
? g ( x) ? kx , k?x

(2)设 G ( x )

则 G ( x ) 在(0, ? ?) 恒大于 0, G ( x)

? ln(1 ? x) ? k ?

k2 , k?x

1 k2 x 2 ? (2k ? k 2 ) x , G ' ( x) ? ? ? 1 ? x ( k ? x) 2 (1 ? x)(k ? x) 2
x 2 ? (2k ? k 2 ) x ? 0 的根为 0 和 k 2 ? 2k ,
即在区间(0, ? ?) 上, G' ( x) 若k
2

? 0 的根为 0 和 k 2 ? 2k ,

? 2k ? 0 ,则 G ( x) 在 (0, k 2 ? 2k ) 单调递减, ? 0 ,与 G ( x) 在(0, ? ?)
恒大于 0 矛盾; 5

且 G (0)

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若k 且 G (0)
2

? 2k ? 0 , G ( x) 在(0, ? ?) 单调递增,

? 0 ,满足题设条件,所以 k 2 ? 2k ? 0 ,所以 0 ? k ? 2. 。

1 x ?1 1 ? ln ? ; x ?1 x x 1 1 1 1 1 (2)已知: n ? N且n ? 2 ,求证: ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? 。 2 3 n 2 n ?1 1 1 (1)令 1 ? ? t ,由 x>0,∴t>1, x ? x t ?1 1 原不等式等价于 1 ? ? ln t ? t ? 1 t
(1)已知: x ? (0 ? ?) ,求证 令 f(t)=t-1-lnt, ∵

f ?(t ) ? 1 ?

1 当 t ? (1,??) 时,有 f ?(t ) ? 0 ,∴函数 f(t)在 t ? (1,??) 递增 t
即 t-1<lnt

∴f(t)>f(1) 另令 g (t )

? ln t ? 1 ?

1 t ?1 ,则有 g ?(t ) ? 2 ? 0 t t

∴g(t)在 (1,??) 上递增,∴g(t)>g(1)=0 ∴ ln t 综上得

? 1?

1 t

1 x ?1 1 ? ln ? x ?1 x x

(2)由(1)令 x=1,2,……(n-1)并相加得

1 1 1 2 3 n 1 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? 1? ??? 2 3 n 1 2 n ?1 2 n ?1 1 1 1 1 1 即得 ? ? ? ? ? ln ? 1 ? ? ? ? 2 3 n 2 n ?1
利用导数求和 例 7.利用导数求和: (1) (2) 。
n



分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度,由求导公式 ( x 另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解: (1)当 x=1 时,

)' ? nxn?1 ,可联想到它们是

; 当 x≠1 时, 6

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, 两边都是关于 x 的函数,求导得



(2)∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得 令 x=1 得 , 即 单调区间讨论 例.设 a

, 。



? 0 ,求函数 f ( x) ? x ? ln(x ? a)(x ? (0,??) 的单调区间.
1 2 x 1 ( x ? 0) . x?a

分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 解:

f ?( x) ?

?

当a

? 0, x ? 0 时

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
(i)当 a 即

? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x 2 ? (2a ? 4) ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0,??) 内单调递增.
? 1 时,对 x ? 1 ,有 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,

(ii)当 a 即

f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f ( x) 在 x=1 处连续,因此,
f ( x) 在(0,+ ? )内单调递增
? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .
1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .
7

函数

(iii)当 0

解得 x ? 2 ? a ? 2

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因此,函数

f ( x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??)

内也单调递增. 令

f ?( x) ? 0,即x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 ,解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .
f ( x) 在区间 (2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减.

因此,函数

(2009 安徽卷理) 已知函数

f ( x) ? x ?

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x



当? ? a

2

? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,

方程 g ( x)

? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 0 ? x1 ? x2 . 2 2
( x1 , x2 )
_ 单调递减 ?

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增 ?

x1
0 极大

x2
0 极小

( x 2 , ??)
+ 单调递增

此时

f ( x) 在 (0,

a ? a2 ? 8 ) 上单调递增, 2

在(

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 是上单调递减, 2 2

在(

a ? a2 ? 8 , ??) 上单 2

调递增.

3. 设 函 数

f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0

处取得极值,且曲线

y ? f ( x)

在点

(1,f (1)处 ) 的切线垂直于直线

x ? 2 y ?1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x ) 的单调性. f ( x)

8

导数习题分类精选 2

(3)
2 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根 ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时,

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k

w.w.w.k.s.5.u.c



x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增
g ?( x ) ? 0 故, 上为减函数 g ( x)在( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k)

函 数 当

x? ( 1 ? 1 ? k , 1?

) 1k ?时



时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数 x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) (2009 山东卷文)已知函数 已知 a

1 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a , b 满足什么条件时,

f ( x) 取得极值?(2)

? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

所以 当a

f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )
? 0 时,
9

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x f’(x) f (x) 所以 当a (-∞,x1) + 增函数
1

x1 0 极大值

(x1,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 增函数

f ( x) 在 x
? 0 时,
x f’(x) f (x)

, x2 处分别取得极大值和极小值.

(-∞,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,x1) + 增函数
2

x1 0 极大值

(x1,+∞) - 减函数

所以

f ( x) 在 x

1

, x2 处分别取得极大值和极小值.综上,当 a , b 满足 b

? a 时, f ( x) 取得极值.

(2)要使 即b ?

f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ? ) max 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? ? 2 2x 2 2 x2 2 x2 ?
所以 b ? ( ? 令 g '( x )

ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 2 2x

? 0得 x ?

1 a

或x

??

1 (舍去), a

当a

? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a

当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x

?

1 a

时, g ( x ) 取得最大,最大值为 g (

1 )?? a. a

所以 b ? ? 当0 ?

a
ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1] 上单调递增,当 x ? 1 2 2x a

a ? 1 时,

时 g ( x ) 最大,最大值为 g (1) 综上,当 a

??

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2
当0 ?

? 1 时, b ? ? a ;

a ? 1 时, b ? ?

a ?1 2

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该 10

导数习题分类精选 2
区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. (2009 浙江文)已知函数 (I)若函数

f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
(II)若函数

f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值;

f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 , ...

求 a 的取值范围. 解析 又? (Ⅰ)由题意得

f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
,解得 b

f (0) ? b ? 0 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?

? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 导函数 即函数

f ( x) 在区间 ( ?1,1) 不单调,等价于

f ?( x ) 在 ( ?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有
即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
2

f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,

整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1)

? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1

分离常数 已知函数 f ( x) ? x ln x .(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x 解:

? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围. 学科网


f ( x) 的定义域为(0,+?),

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x .

f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 1 ? 1? ?1 ? .从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增.所以,当 x ? 时, e e ? e? ?e ? (Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , 学科网 错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , 学科网 ,+?) 上为增函数,所以, x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 . 学科网 故 g ( x ) 在 (1 a ?1 错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? e ,此时,若 x ? (1 ,x0 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区 0? x?
间为减函数.所以 x ? (1 ,x0 ) 时, g ( x) ?

1 ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 e 1 f ( x ) 取得最小值 ? . 学科网 e

g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾.
? ln x ? 1 x

综上,满足

1] . 条件的 a 的取值范围是 (??,

学科网

, ? ?) 上恒成立,即不等式 a 解法二:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1

, ? ?) 恒成立 . 对于 x ? [1



1 1? 1? 1 1 1? 1? , 则 g ?( x) ? ? 2 ? ?1 ? ? . 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , x x? x? x x x? x? , ? ?) 上的增函数, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1,所以 a 的取值范围是 (??, 1] . 故 g ( x ) 是 (1 g ( x ) ? ln x ?
[广东省海珠区 2009 届高三综合测试二理科数学第 21 题](本小题满分 14 分) 已知

f ?x? ? x ln x, g ?x? ? x 3 ? ax2 ? x ? 2
f ?x ? 的单调区间;
11

(Ⅰ)求函数

导数习题分类精选 2
(Ⅱ)求函数

f ?x ? 在 ?t , t ? 2??t ? 0? 上的最小值;

(Ⅲ)对一切的 x ? (Ⅰ)

?0,???, 2 f ?x? ? g ' ?x? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f ' ? x ? ? 0, 解得 0 ? x ? , e

? 1? ? f ?x ?的单调递减区间是 ? 0, ?; ……2 分 ? e?
1 令f ' ?x ? ? 0, 解得 x ? , e

?1 ? ? f ?x ?的单调递减区间是 ? ,?? ?. ……4 分 ?e ?
1 ,t 无解;……5 分 e 1 1 1 1 (ⅱ)0<t< <t+2,即 0<t< 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ;……7 分 e e e e 1 1 (ⅲ) ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在[t , t ? 2]单调递增, e e
(Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<

f ( x) min ? f ( t ) ? tlnt ……9 分

1 ? 1 0?t ? ?e ……10 分 ? f ( x) min ? e , 1 ? t? ?tlnt e
(Ⅲ)由题意: 2 x ln x 即 2 x ln x 可得 a

? 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 2 在 x ? ?0,??? 上恒成立

? 3x 2 ? 2ax ? 1

3 1 x? ……11 分(分离常数) 2 2x 3x 1 ? 设 h? x ? ? ln x ? , 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? ……12 分 1 3 1 ' ? ? 2 ?? 则 h ?x ? ? x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3 ? ln x ?
当0

? x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0

? 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2……13 分
? a ? ?2 .
12

导数习题分类精选 2
a ( a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)求函数 F ( x ) 的单调区间; 学科网 x 1 (Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值; 学 2
已知函数

f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

科网 解 析 :( I )

F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

a ? x ? 0? x



F '? x? ?

1 a x?a ? ? 2 ? x ? 0? x x2 x



a?0

, 由

,∴ F '? x , ? ? ? F ? x ? 在 ? a, ?? ? 上单调递增。 ? ? 0 ? x?? a 递减。∴ F (II) F ' 离常数)

由F'

? x? ? 0 ? x ??0, a ? ,∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调

? x ? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ?? ? 。 学科网
x?a x ?a 1 ? 1 2 ? 0 ? x ? 3? ,k ? F ' ? x0 ? ? 0 2 ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 ? x0 ? 2 ? x x0 2 ? 2 ?max
学科网(分

? x? ?

当 x0

1 1 2 1 1 ? x0 取得最大值 。∴ a ? ,∴ amin ? ? 1 时, ? x0 2 2 2 2

学科网 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有

设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x

? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b

f ( x) ? c 2 成立,求 c 的取值范围. 学科网

则 当

x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c 2 恒成立,所以 9 ? 8c ? c 2 ,解


c ? ?1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) . 学科网

18.(2009 全国卷Ⅰ理)本小题满分 12 分。设函数

f ? x ? ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 在

两个 下面

极值点 x1、x2 ,且 x1 ?[?1 , 0], x2 ?[1, 2]. (I)求 b、c 满足的约束条件,并在 的坐标平面内,画出满足这些条件的点

? b, c ? 的 区 域 ; (II) 证 明 :

?10 ? f ? x2 ? ?
13

导数习题分类精选 2
分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。

f ? ? x ? ? 3x2 ? 6bx ? 3c

由 题 意 知 方 程

f ? ? x? ? 0
故有 0

有 两 个 根

x1、x2 且x1 ?[?1 , 0], x2 ?[1, 2].

则 有

f ? ? ?1? ? 0,f ? ? 0? ? 0, f ? ?1? ? , 0 f ??

? ?2

右图中阴影部分即是满足这些条件的点

? b, c ? 的区域。

(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用 消元的手段,消去目标 (如果消 c 会较繁琐)再利用 x 2 的范围,并借助(I)中的约束 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 中的 b ,

条件得 c ? [?2, 0] 进而求解,有较强的技巧性。 解析 由题意有 . .②(消元) f ? ? x2 ? ? 3x22 ? 6bx2 ? 3c ? 0 .①又 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 .

消去 b 可得

1 3c f ? x2 ? ? ? x23 ? x2 .又? x2 ?[1, 2] ,且 c ?[?2, 0] 2 2

? ?10 ? f ( x2 ) ? ?

1 2

21.[浙江省富阳新中 2008(上)高三期中考试数学(理科)试卷第 22 题] (本小题满分 15 分) 设函数

f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 ;
? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值;
f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围;

(Ⅰ)若 b (Ⅱ)如果

(Ⅲ)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n

? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

21.[浙江省富阳新中 2008(上)高三期中考试数学(理科)试卷第 22 题] 解: (Ⅰ)由题意知,

f ( x) 的定义域为 (?1,??) ,

b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?
当 x ? [1, 2) 时,

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1

f / ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f / ( x) ? 0 ,
f ( x) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x) 单调递增,
……………………………5 分

所以当 x ? [1, 2) 时, 所以

f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3

14

导数习题分类精选 2
(Ⅱ)由题意

f / ( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, x ?1 x ?1

即 2x

2

? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根,

设 g ( x)

?? ? 4 ? 8b ? 0 1 ? 2 x 2 ? 2 x ? b ,则 ? ,解之得 0 ? b ? ;…………10 分 2 ? g (?1) ? 0

(Ⅲ)当 b=-1 时,函数 令函数 h

f ?x? ? x 2 ? ln(x ? 1) ,

?x? ? x 3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1)
1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? x ?1 x ?1
,?当x ? [0,??)时,h
/

则h

/

?x ? ? 3x 2 ? 2 x ?

1 (换元,令 ? x ) ?x ? ? 0 n

所以函数 h 即x
2

?x? 在 [0,??) 上单调递增,又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时,恒有 h?x? ? h(0) ? 0
1 1 1 1 ? (0,?? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n
恒成立.

? x 3 ? ln(x ? 1) 恒成立.取 x ?

显然,存在最小的正整数 N=1, 使得当 n

1 1 1 ? N 时,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n

恒成立.

……………15 分
天 · 星 o

(天津文 21) 设函数 ,其中 a ? R . f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x ? R )

(Ⅰ)当 a (Ⅱ)当 a (Ⅲ)当 a

? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程;
T

m 权

? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;

e s

o ? 3 时,证明存在 k ???1 x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立. , 0? ,使得不等式 f (k ? cos o

本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程,函数的极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力 n

. c t 2 3 2 o f (2) ? ?2 ,且 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ?1) ? ? x ? 2 x ? x ,得 e m s ? ?5 . f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1, f ?(2) o 天 o 2 ? 2) 处的切线方程是 y ? 2 星 ? ?5( x ? 2) ,整理得 所以,曲线 y ? ? x( x ? 1) 在点 (2, n 版
及分类讨论的思想方法.满分 14 分.

5星 x ? y ?8 ? 0 .





15
t e s

导数习题分类精选 2
(Ⅱ)解:

f ( x) ? ? x( x ? a)2 ? ? x3 ? 2ax2 ? a2 x

f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) .


f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或 x ? a. 3

由于 a

? 0 ,以下分两种情况讨论.

(1)若 a

? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x

a? ? ? ?∞, ? 3? ?
?

a 3
0

?a ? ? ,a ? ?3 ?

a

(a,∞ ? )

f ?( x )

?

0

?

因此,函数

f ( x) 在 x ?

a ?a? 处取得极小值 f ? ? ,且 3 ?3?

4 ?a? f ? ? ? ? a3 ; 27 ?3?
函数

f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f (a ) ,且

f (a) ? 0 .
(2)若 a

? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x

? ?∞,a?
?

a

? a? ? a, ? ? 3?

a 3
0

?a ? ? ∞? ? , ?3 ?
?

f ?( x )
因此,函数

0

?

f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a ) ,且

f (a) ? 0 ;
函数

f ( x) 在 x ?

a ?a? 处取得极大值 f ? ? ,且 3 ?3?

4 ?a? f ? ? ? ? a3 . 27 ?3?
16

导数习题分类精选 2
(Ⅲ)证明:由 a

? 3 ,得

a ? 1 ,当 k ???1 , 0? 时, 3

k ? cos x ≤ 1, k 2 ? cos2 x ≤1 .
由(Ⅱ)知,

f ( x) 在 ? ?∞, 1? 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) , x ? R
2

只要 k ? cos x ≤ k 即

? cos2 x( x ? R)

cos2 x ? cos x ≤ k 2 ? k ( x ? R)
2 2



1? 1 ? 设 g ( x) ? cos x ? cos x ? ? cos x ? ? ? ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2 . 2? 4 ?
要使①式恒成立,必须 k 所以,在区间
2

? k ≥ 2 ,即 k ≥ 2 或 k ≤ ?1 .

0? 上存在 k ? ?1 ,使得 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立. ??1,

求取值范围 (2009 江西卷文)设函数 值; (2)若方程

f ( x) ? x 3 ?

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x ,

f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大

f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

解析

(1)

f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,
? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 ,
得m ?

因为 x ? ( ??, ??) ,

f ' ( x) ? m ,



3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0

恒成立, 所以

?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x 所以 当 x 故当

? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;

? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?


5 ?a; 2

当x 解得

? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; a ? 2或a ?

f (2) ? 0

f (1) ? 0 时,

方程

f ( x) ? 0 仅有一个实根.

5 . 2
(Ⅰ)当

. ( 2009 天 津 卷 文 ) 设 函 数

1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

m ? 1时, 曲

线

y ? f ( x)在点( 1,f( 1 )) 处的切线斜率(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点 0,
x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
解析 当 m

? 1时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 所以曲线 y ? f ( x)在点( 1,f( 1 )) 处的切线 3
17

导数习题分类精选 2
斜率为 1 (2)解析

f ' ( x) ? ? x 2 ? 2x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
当 x 变化时,

因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m

f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:
(1 ? m,1 ? m)
-

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。

2 1 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = m 3 ? m 2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解析 由题设, f ( x) ? x( ? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 4 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x 2 ? 3 , 且 ? ? 1 ? ( m ? 1) ? 0 3 3 1 1 m ? ? (舍),m ? 2 2 3 ?1 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
函数 若1 ? 则

,解得

x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,
0 ,于是对任意的

1 f ( x) ?? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 3
1 3 3 ? 0 ,解得 ? ?m? 3 3 3

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m 2 ?
1 3 , ) 2 3

综上,m 的取值范围是 (

2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 .设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;(2)若

a?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的题号涂黑。 18

导数习题分类精选 2
(21)解析(Ⅰ)当 a=1 时,对函数 令

f ( x) 求导数,得
列表讨论 (-1,3) —

f ' ( x) ? 3x2 ? 6 x ? 9. f ( x), f ' ( x) 的变化情况:
3 0 极小值-26

f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3.
(??, ?1)
+

x
f ' ( x)

?1
0 极大值 6

(3, ??)
+

f ( x)
所以,

?

?

?

f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26.

(Ⅱ) 若

f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称.

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a 2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a 2 .
由|

f ' ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 ? 12a, 于是有

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.
1 4 f ' (1) ? ?12a得 ? ? a ? 1,由f ' (4a) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] ? [ ? ,1] ? [0, ], 即a ? ( , ]. 4 3 5 4 5
由 若 a>1,则 | 所以使 |

f ' (a) |? 12a2 ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ' ( x) |? 12a 不恒成立.

1 4 f ' ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ]. 4 5
a ? x2 ? ln x x 1 ? ? ? a ? R , x ? [ , 2] ? 2 ? ?

已知函数 f(x)=

(Ⅰ)当 a ?[?2,

1 ) 时, 求 f ( x) 的最大值; 4
2

(Ⅱ) 设 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x , 取值范围;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)当-2≤ a <

k 是 g ( x) 图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数 a ,使得 k ? 1 恒成立?若存在,求 a 的

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 , x2 ? . 时,由 f '( x ) =0 得 x1= 4 2 2

显然-1≤x1<

1 1 ?1 ? ?1 ? , <x2≤2,? x1 ? ? , 2 ? , x2 ? ? , 2 ? . 2 2 ?2 ? ?2 ?
19

导数习题分类精选 2
又 f '( x ) =-

? x ? x1 ?? x ? x2 ?
x2



1 ≤x≤x2 时, f '( x ) ≥0, f ( x ) 单调递增; 2

当 x2<x≤2 时, f '( x ) <0, f ( x ) 单调递减,

∴ f ( x ) max= f (x2)=

2a 1 ? 1 ? 4a

?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? ln 2 2

1 ? 1 ? 4a . 2 7 (Ⅱ)答: 存在 a ? (??, ] 符合条件 4
=-

1 ? 4a ? ln

解: 因为 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x = ax ? x
2

3

不妨设任意不同两点

p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2

则k

?

3 y1 ? y2 a( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x13 ) 2 ? ? a ? ( x12 ? x1 x2 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2



k ? 1 知: a ?

1+ ( x1

2

2 ? x1x2 ? x2 )

因为

3 ?7 ? 2 2 2 ? 3x12 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ? 3x2 ? 12 ,所以 1+ ( x12 ? x1x2 ? x2 ) ? ? ,13 ? , 4 ?4 ?
7 ] 符合条件。 4

故存在 a ? (??,

已知函数

f ( x) ? ln(e x ? a)(a ? 0) . y ? f ?1 ( x)及f ( x) 的导数 f ?( x); f ?1 ( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围.

(1)求函数 y= f(x)的反函数

(2)假设对任意 x ? [ln( 3a), ln(4a)],不等式| m ? 解: (1)? e
x

? 0,? y ? ln a,? y ? f ?1 ?x? ? ln e x ? a , ?x ? ln a? ;

?

?

y? ?

ex 1 ? 1? x x e ?a e ?a

(2) x ? [ln( 3a), ln(4a)],不等式| m ?

f ?1 ( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0

20

导数习题分类精选 2
? f ?1 ?x? ? ln f ??x? ? m ? f ?1 ?x? ? ln f ??x?
? ln e x ? a ? ln

?

?

ex ex x ? m ? ln e ? a ? ln ex ? a ex ? a

?

?

? ln

ex ex ? a e2x ? a 2 ex ex ? a e2x ? a 2 m ? m ? ln ? e ? ? ex ? a ex ex ? a ex

?

?

?

?

t ?t ? a ? t 2 ? a2 , v?t ? ? , t ? e x , t ? ?3a,4a ? 令: u ?t ? ? t?a t

?

?

? v? ? t ? ?

t 2 ? a2 t 2 ? 2at ? a 2 ? ? 0, t ? 3 a , 4 a , u t ? ?0 ? ? ? ? t2 (t ? a)2
12 8 a, v(t ) 的最小值为 v (3a ) ? a, 而不等式② 5 3 12 8 ln( a ) ? m ? ln( a ). 5 3 ?

所以 u (t ), v(t ) 都是增函数.因此当 t ? [3a,4a ] 时,u (t ) 的最大值为 u ( 4a ) 成立当且仅当 u(4a) 解法二:由 | m ?

? e m ? v(3a), 即

12 8 a ? e m ? a ,于是得 5 3

f ?1 ( x) | ? ln( f ?( x)) ? 0 得

ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x ? m ? ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x.
设 ? ( x)

? ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x,? ( x) ? ln(e x ? a) ? ln(e x ? a) ? x,

3a), ln(4a)] 恒成立等价于 ? ( x) ? m ? ? ( x). ③…7 分 于是原不等式对于 x ? [ln(
由 ? ?( x)

?

ex ex ex ex ? ? ? 1 , ? ( x ) ? ? ? 1 ,注意到 ex ? a ex ? a ex ? a ex ? a

0 ? e x ? a ? e x ? e x ? a, 故有 ? ?( x) ? 0,? ?( x) ? 0 ,从而可 ? ( x)与? ( x) 均在
[ln(3a), ln(4a)] 上单调递增,因此不等式③成立当且仅当

? (ln(4a)) ? m ? ? (ln(3a)).即 ln(

12 8 a ) ? m ? ln( a ). 5 3

【点晴】求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较简单. w.w.w.设函数 (Ⅰ)证明:

f ( x) ? e x ? e? x .
f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ;

(Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 解: (Ⅰ) 由于 e
x

f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

f ( x) 的导数 f ?( x) ? e x ? e? x .

? e-x ≥ 2 ex ? e? x ? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 .
21

导数习题分类精选 2
(当且仅当 x

? 0 时,等号成立) .

(Ⅱ)令 g ( x) ?

f ( x) ? ax ,则

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x

? 0 时, g?( x) ? ex ? e? x ? a ? 2 ? a ≥ 0 ,

? ) 上为增函数, 故 g ( x ) 在 (0,∞
所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即

f ( x) ≥ ax .

(ⅱ)若 a

? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 2



此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? 综上,满足条件的 a 的取值范围是 k.s.5.u.c.o.m

g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾.

2? . ? ?∞,

导数与数列

已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x) 的导数;设 a1 ? 1 , an?1 ? an ? (n=1,2,……) (1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; (3)记 bn ? ln

f (an ) f '(an )

an ? ? (n=1,2,……) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 an ? a

2 解析: (1)∵ f ( x) ? x ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) ,

∴? ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ; ,? ? 2 2
1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 2 4 4 ? an ? ? an ? 2an ? 1 2an ? 1
22

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

导数习题分类精选 2
5 1 5 ?1 4 ? 1 ,∵ a ? 1 ,∴有基本不等式可知 a ? 5 ? 1 ? 0(当且仅当 a ? 5 ? 1 时取等号) = (2an ? 1) ? ,∴ a2 ? ?0 1 1 2 4 2 an ? 1 2 2 2 2
同,样 a3 ?

5 ?1 5 ?1 ,……, an ? , ? ? (n=1,2,……) 2 2 (a ? ? )(an ? ? ) an ? ? ? (an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ? ? , (3) an ?1 ? ? ? an ? ? ? n 2an ? 1 2an ? 1
(an ? ? ) 2 (a ? ? )2 1? ? 3? 5 3? 5 ? ln ? 2 ln ,同理 an ?1 ? ? ? n , bn ?1 ? 2bn ,又 b1 ? ln 2an ? 1 2an ? 1 1?? 2 3? 5

an ?1 ? ? ?

Sn ? 2(2n ? 1)ln

3? 5 2

导数与解析几何 3.(2009 安徽卷理)已知函数

f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线
( D. )

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
A.

y ? 2x ?1
A 由

B.

y?x

C.

y ? 3x ? 2

y ? ?2 x ? 3

答案 解析

f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 得几何 f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x)2 ? 8(2 ? x) ? 8 , f (2 ? x) ? x2 ? 4x ? 4 ,∴ f ( x) ? x2 ∴ f / ( x) ? 2 x ,∴切线方程 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ?1 ? 0


即 2 f ( x) ? A

(2009 江西卷理)设函数 点 (1, A. 4 答案 A

f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在
( D. ? )

f (1)) 处切线的斜率为
B. ?

1 4

C. 2

1 2

解析由已知 g ?(1) ? 2 ,而 若曲线

f ?( x) ? g ?( x) ? 2 x ,所以 f ?(1) ? g ?(1) ? 2 ?1 ? 4 故选 A
.

f ? x ? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
解析 由题意该函数的定义域 x

解析

? 0 ,由 f ? ? x ? ? 2 ax ?

1 。因为存在垂直于 y 轴的切线,故此时斜率为 0 ,问题 x

转化为 x

? 0 范围内导函数 f ? ? x ? ? 2ax ?

1 存在零点。 x
23

导数习题分类精选 2
解法 1 (图像法)再将之转化为 g 合可得显然没有交点,当 a 或是

? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? x 存在交点。当 a ? 0 不符合题意,当 a ? 0 时,如图 1,数形结

1

? 0 如图 2,此时正好有一个交点,故有 a ? 0 应填 ? ??,0 ?

?a | a ? 0? 。
y ? xn?1 (n ? N * ) 在 点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 与
. x 轴的交点的横坐标为

.(2009 陕 西 卷 理 ) 设 曲 线

x n , 令 an ? lg xn , 则

a1 ? a2 ?? ? a9 9的值为
答案 -2

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) 令y=0得切点的横坐标:xn ? n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ? ? ...? ? ? lg ? ?2 2 3 99 100 100

19.(2009 浙江文)已知函数 (I)若函数

f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
(II)若函数

f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值;

f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 , ...

求 a 的取值范围. 解析 又? (Ⅰ)由题意得

f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
,解得 b

f (0) ? b ? 0 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?

? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 导函数 即函数

f ( x) 在区间 ( ?1,1) 不单调,等价于

f ?( x ) 在 ( ?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有
即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
2

f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,

整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 零点 (07 广东) 已知 a 是实数,函数 解:若 a

? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1

f ?x? ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围.
,显然在

?0

,

f ( x) ? 2 x ? 3

?? 1,1?上没有零点, 所以
解得

a ? 0.



? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0 ,

a?

?3 ? 7 2
24

导数习题分类精选 2
①当

a?

?3 ? 7 2

时,

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ??1,1? 上;

②当

f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在

??1,1? 上也恰有一个零点.
③当

y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点时,



a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或? ?1 ? ? ?1 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

? 5或a ?

?3 ? 5 2
a ?1


综上所求实数 a 的取值范围是

a?

?3 ? 5 2

.

若函数

f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值 ?

4 , 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数

f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.
1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

(2009 福建卷理) (本小题满分 14 分)已知函数

f ( x) ?

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 M (

f ( x) 的单调区间; ( 2 )令 a ? ?1 , 设函数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点
P( m, 意的 m

x1 , f ( x1 ) ), N( x 2 , f ( x2 ) ) ,

f (m) ), x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题: (I)若对任
线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点, 试确定 t 的最小值, 并证明你的结论; (II) 若存在点 Q(n ,f(n)), ? ( x1 , x 2 ),

x

? n<

m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给出求解过程)
2

解法一:(Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1 . 从而 f ( x) ? ①当 a>1 时,

1 3 x ? ax2 ? (2a ? 1) x, 故f '( x) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1). 令 f '( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 ? 2a. 3

1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

25

导数习题分类精选 2
x

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a, ?1)
- 单调递减

(?1, ??)
+ 单调递增

f '( x ) f ( x)
由此得,函数 ②当 a ③当 a

f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 。

? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 此时有 f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x) 的单调增区间为 R ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 同理可得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a )

综上:当 a 当a 当a

? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ;

? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) .

(Ⅱ)由 a

? ?1 得 f ( x ) ?

1 3 x ? x 2 ? 3 x 令 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由(1)得 M( ?1,

f ( x) 增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f ( x) 在处 x1 ? ?1, x2 ? 3 取得极值,故

5 )N( 3, ?9 ) 。观察 f ( x ) 的图象,有如下现象:①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f ( x ) 在 3
f ( x) 之差 Kmp- f '(m) 的值由正连续变为负。 f '(m) 的 m 正负有着密切的关联;

点 P 处切线的斜率

②线段 MP 与曲线是否有异于 H,P 的公共点与 Kmp- ③Kmp-

f '(m) =0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 Kmp- f '(m) 的 m 就是所求的 t 最小值,下面给出证明并确定的 t f ( x) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率 f '(m) ? m2 ? 2m ? 3 ;

最小值.曲线

线段 MP 的斜率 Kmp ?

m 2 ? 4m ? 5 当 Kmp- f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2 3

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 直线 MP 的方程为 y ? ( 3 3
当m

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 令 g ( x) ? f ( x) ? ( 3 3

? 2 时, g '( x) ? x2 ? 2x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 ,可判断 f ( x) 函数在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, 2) 上单

调递减,又 g (?1) ?

g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上没有零点,即线段

MP 与曲线

f ( x) 没有异于

M,P 的公共点。当

26

导数习题分类精选 2
m ? ? 2,3?
时 ,

g( 0 ? )?

m 2 ? 4m ? 3

2 0 . g (2) ? ?(m ? 2) ? 0

所 以 存 在

m ? ? 0,2?

使 得

g (? )? 0即



m ??2 , ? 3 时 MP , 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点
(2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 解法二: (1)同解法一. (2)由 a

综上,t 的最小值为 2.

?1,3?

1 ? ?1 得 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 3x ,令 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(1)得的 f ( x) 单调增 3

区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数在处取得极值。故 M( ?1,

5 ).N( 3, ?9 ) 3

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y ? x ? m2 ? 4m ? 5 m2 ? 4m ? ? 3 3 (Ⅰ) 直线 MP 的方程为 y ? x? .由 ? 3 3 ? y ? 1 x3 ? x 2 ? 3x ? 3 ?
3 2 2 2 得 x ? 3x ? (m ? 4m ? 4) x ? m ? 4m ? 0 线段 MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数

g ( x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m在(-1,m)上有零点.因为函数 g ( x) 为三次函数,所以 g ( x) 至多有三个零点,两个极
值点 . 又 g (?1) ? g (m) ? 0 . 因此 , g ( x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g ( x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值点和一个极小值点 , 即

g '( x) ? 3x2 ? 6 x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.

??=36 ? 12 (m2 ? 4m ? 4)>0 ? 2 2 ?3(?1) ? 6 ? (m ? 4m ? 4) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6m ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?

??1 ? m ? 5 ? 即 ?m ? 2或m ? ?1, 解得2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

又因为 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 已知函数 (2)设 a (1)求曲线 y ? f ( x ) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; f ( x) ? x3 ? x .

? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) .

解: (1)求函数 曲线

f ( x) 的导数; f ?( x) ? 3x2 ? 1.

y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为: y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .
2

(2)如果有一条切线过点 ( a,b) ,则存在 t ,使 b ? (3t 于是,若过点 ( a,b) 可作曲线 则方程 2t
3

?1)a ? 2t 3 .

y ? f ( x) 的三条切线,

? 3at 2 ? a ? b ? 0 ,有三个相异的实数根.
27

导数习题分类精选 2


g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ,则

g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at ? 6t (t ? a) .

当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t )

(??, 0)

0

(0,a)

a
0

(a, ? ?)

?

0

?

?



极大值 a ? b



极小值 b ?

f (a)



g (t )
由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? 当a?b 当b?

f (a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有一个实数根;
,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根;

? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ?

3a 2

a f (a) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根.综上,如果过 (a,b) 可 2

作曲线

?a ? b ? 0, y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,则 ? ?b ? f (a) ? 0.



?a ? b ? f (a ) .

、已知函数.

f ( x) ? 2 x3 ? ax 与 g ( x) ? bx2 ? cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线.

(1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程; (2)设 F ( x) 解:(1)∵

?

mg ( x) ? ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 ,求 F(x)的单调区间. 8x

f ( x) ? 2 x3 ? ax 过点 P(2,0), ∴a=-8 f ( x) ? 2 x3 ? 8x ,

f ?( x) ? 6 x2 ? 8x
∴切线的斜率 k ∵ g ( x) ? bx
2

? f ?(2) ? 16

? cx 的图像过点 P(2,0), ∴4b+2c=0,
f ?(2) ? g ?(2) ? 4b ? c ? 16 ,解得:b=8,c=-16

∵ g ?( x) ? 2bx ? c, ∴ g ( x) ? 8x
2

?16 x

16 (x-2) 切线方程为 y= .即 16x-y-32=0
(2) ∵

F ( x) ? m( x ? 2) ? ln( x ?1)

( x ? 1)
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导数习题分类精选 2
1 mx ? m ? 1 ? ( x ? 1) x ?1 x ?1 1 m[ x ? (1 ? )] m ∵m<0 ∴ 1 ? 1 ? 1 当 m<0 时, F ?( x) ? m x ?1 1 1 , ??) 时 F ?( x) ? 0 又 x>1 当 x ? (1,1 ? ) 时 F ?( x) ? 0 当 x ? (1 ? m m 1 , ??) ∴F(x)的单调减区间是 (1 ? m 1 ∴F(x)的单调增区间是(1, 1 ? ) m 1 1 即 m<0 时,F(x)的单调递增区间是(1, 1 ? ),单调减区间是( 1 ? , ?? ) 。 m m 1 2 2.已知函数 f(x)=1n x,g(x)= x ? a (a 为常数),若直线 l 与 y=f(x)和 y=g(x)的图象都相切,且 l 与 y=f(x)的图象相切于定点 P(1, 2 F ?( x) ? m ?
f(1) ) .
(1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)当 k∈R 时,讨论关于 x 的方程 f(x +1)-g(x)=k 的实数解的个数. 解: (1)∵f′(x)=
2

1 x

,∴f(1)=1

∴k1=1,又切点为 P(1,f(1) ,即(1,0)

∴l 的解析式为 y=x-1, y=x-1 ∵l 与 y=g(x)相切,由 y=
2

,消去 y 得 x -2x+2a+2=0

2

1 2 x ?a 2

1 2 1 2 1 (2)令 h(x)=f(x +1)-g(x)=1n(x +1) ? x ? 2 2 2x x ( x ? 1)( x ? 1) ∵h′(x)= -x=,则 x ? ?1或0 ? x ? 1时, h?( x) ? 0, h( x) 为增函数, 2 1? x 1? x2
∴△=(-2) -4(2a+2)=0,得 a=2 2

-1<x<0 或 x>1 时, h?( x) ? 0.h( x)为减函数. 故 x=±1 时,h(x)取极大值 1n2, x=0 时,h(x)取极小值 因此当 解;当 k<

1 2



k∈(1n2,+∞) ,原方程无解;当 k=1n2 时,原方程有两解;当

1 2

<k<1n2 时,原方程有四解;当 k=

1 2

时,原方程有三

1 2

时,原方程有两解

29

导数习题分类精选 2
已知函数 (I)求 a

f ( x) ?
2

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [ ?11) , , (1, 3] 内各有一个极值点. 3 2

? 4b 的最大值;
2

(II)当 a 在点

? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1,f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过函数 y ? f ( x) 的图象(即动点

,求函数 f ( x ) 的表达式. A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的一侧进入另一侧)

解: (I)因为函数

f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [ ?11) , , (1, 3] 内分别有一个极值点,所以 f ?( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 在 3 2

[ ?11) , , (1, 3] 内分别有一个实根,
设两实根为 x1,x2 ( x1
2 ,则 x2 ? x1 ? a ? 4b ,且 0 ? x2 ? x1 ≤ 4 .于是 ? x2 )

x2 ? 3 ,即 a ? ?2 , b ? ?3 时等号成立.故 a 2 ? 4b 的最大值是 , 0 ? a2 ? 4b ≤ 4 , 0 ? a 2 ? 4b ≤16 ,且当 x1 ? ?1
16. (II)解法一:由

f ?(1) ? 1 ? a ? b 知 f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线 l 的方程是

2 1 y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ,即 y ? (1 ? a ? b) x ? ? a , 3 2
因为切线 l 在点 所以 g ( x)

A(1,f ( x)) 处空过 y ? f ( x) 的图象,

2 1 ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ? ? a] 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,则 3 2

x ? 1 不是 g ( x) 的极值点.
而 g ( x)

?

1 3 1 2 2 1 x ? ax ? bx ? (1 ? a ? b) x ? ? a ,且 3 2 3 2

g?( x) ? x2 ? ax ? b ? (1 ? a ? b) ? x2 ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)( x ? 1 ? a) .
若1 ?

?1 ? a ,则 x ? 1 和 x ? ?1 ? a 都是 g ( x) 的极值点.
? ?2 ,又由 a 2 ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

所以 1 ? ?1 ? a ,即 a

1 3 x ? x2 ? x . 3

解法二:同解法一得 g ( x)

2 1 ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ? ? a] 3 2 1 3 a 3 ? ( x ? 1)[ x 2 ? (1 ? ) x ? (2 ? a)] . 3 2 2
A(1,f (1)) 处穿过 y ? f ( x) 的图象,所以 g ( x) 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,于是存在 m1,m2

因为切线 l 在点 ( m1

. ? 1 ? m2 ) 30

导数习题分类精选 2
当 m1

? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 ; ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 .
3a ? ? 3a ? ? x 2 ? ?1 ? ? x ? ? 2 ? ? ,则 2 ? ? 2? ?

或当 m1

设 h( x ) ?

当 m1

? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 ; ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 .
? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h(1) ? 2 ?1 ? 1 ?

或当 m1

由 h(1) ? 0 知 x 所以 a

3a ?0, 2

? ?2 ,又由 a 2 ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

1 3 x ? x2 ? x . 3

导数与不等式综合

已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则 A.3 B. 5 C.2 D. 3

f (1) 的最小值为( C ) f '(0)

2
设二次函数

2

f ( x) ? x2 ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x 2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 .

(I)求实数 a 的取值范围; (II)试比较

f (0) f (1) ? f (0) 与

1 的大小.并说明理由. 16

本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法,考查推理和运算能力. 解法 1: (Ⅰ)令 g ( x) ?

f ( x) ? x ? x2 ? (a ?1) x ? a ,

?? ? 0, ? 1? a ?a ? 0, ?0 ? ?1 , ? ? ? 0 ? a ? 3? 2 2 . 则由题意可得 ? ? ??1 ? a ? 1 , 2 ? g (1) ? 0, ? ?a ? 3 ? 2 2,或a ? 3 ? 2 2, ? ? ? g (0) ? 0,
故所求实数 a 的取值范围是 (0, 3? 2 (II)

2) .

f (0)?f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? 2a2 ,令 h(a) ? 2a 2 .

31

导数习题分类精选 2
? 当 a ? 0 时, h(a) 单调增加,? 当 0 ? a ? 3 ? 2 2 时, 0 ? h(a) ? h(3 ? 2 2) ? 2(3 ? 2 2)2 ? 2(17 ?12 2)
1 1 1 ? 2? ? ,即 f (0)?f (1) ? f (0) ? 16 17 ? 12 2 16
解法 2: (I)同解法 1. (II)? .

f (0) f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? 2a2 ,由(I)知 0 ? a ? 3 ? 2 2 ,

于是 ∴4 2a ?1 ? 12 2 ?17 ? 0 .又 4 2a ? 1 ? 0,

1 1 1 ? (32a 2 ? 1) ? (4 2a ? 1)(4 2a ? 1) ? 0 , 16 16 16 1 1 2 ? 0 ,故 f (0) f (1) ? f (0) ? . 即 2a ? 16 16 2a 2 ?
解法 3: (I)方程

f ( x) ? x ? 0 ? x2 ? (a ?1) x ? a ? 0 ,由韦达定理得

?? ? 0, ? x ? x ? 0, 1 2 ? ? x1 ? x2 ? 1 ? a , x1 x2 ? a ,于是 0 ? x1 ? x2 ? 1 ? ? x1 x2 ? 0, ?(1 ? x ) ? (1 ? x ) ? 0, 1 2 ? ? ?(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0

?a ? 0, ? ? 0 ? a ? 3? 2 2 . ? ?a ? 1, ? ?a ? 3 ? 2 2或a ? 3 ? 2 2
故所求实数 a 的取值范围是 (0, 3? 2

2) .
x1 ? x2 ? 1 ,得

(II)依题意可设 g ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,则由 0 ?

f (0) f (1) ? f (0) ? g (0) g (1) ? x1x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? [ x1 (1 ? x1 )][ x2 (1 ? x2 )]
1 1 ? x ? 1 ? x1 ? ? x2 ? 1 ? x2 ? ?? 1 ? ? ? ? ,故 f (0) f (1) ? f (0) ? 16 . 2 2 ? ? ? ? 16
2 2

已知函数

f ( x) ? ln x ? f ( x ? 1) ? x 的最大值;

(Ⅰ)求函数 g ( x)

32

导数习题分类精选 2
(Ⅱ)当 0 (Ⅰ)解:?

? a ? b 时,求证: f (b) ? f (a ) ?

2a (b ? a ) a2 ? b2

f ( x) ? ln x, g ( x) ? f ( x ? 1) ? x

? g ( x) ? ln(x ? 1) ? x
当 ?1 ?

( x ? ?1) g ?( x ) ?
当x

1 ? 1 ,令 g ?( x) ? 0, 得 x ? 0 x ?1

x ? 0 时, g ?( x) ? 0

? 0 时 g ?( x) ? 0 ,又 g (0) ? 0

? 当且仅当 x ? 0 时, g ( x) 取得最大值 0
(Ⅱ)证明:

f (b) ? f (a) ? ln b ? ln a ? ln x) ? x
2

由(1)知 ln(1 ?

b a a ?b ? ? ln ? ? ln(1 ? ) a b b a ?b b?a f (b) ? f (a) ? ? ? b b

又?0 ? a ? b,?a

? b2 ? 2ab
? f (b) ? f (a ) ? 2a (b ? a ) a2 ? b2

1 2a b ? a 2b(b ? a) ? ? 2 ? ? 2 2 b a ?b b a ? b2

(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分)设 并讨论 f(x)的单调性;(2)证明:当 ? 解析(Ⅰ)

f ( x) ? e x (ax2 ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。(1)求 a 的值,

? [0, ]时, f( cos ? ) ? f(sin? ) ? 2 2

?

f '( x) ? ex (ax2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知,
2分 于是

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1 .
故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, 从而

f '( x) ? ex (?x2 ? x ? 2) ? ?ex ( x ? 2)( x ? 1) .
当 x ? (?2,1) 时,

f '( x ) <0;

f '( x ) >0.

f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加.………6 分 f ( x) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e ,
从而对任意 x1 , x 2 ? [0,1] ,有 从而

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 最小值为 而当 ?

f (0) ? 1 .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 .

…10 分

? [0, ] 时, cos ? ,sin ? ? [0,1] . 2

?

f (cos? ) ? f (sin? ) ? 2 …12 分
(2)

(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x ,a ? 1 。 (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性; 2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

证明:若 a

? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有

33

导数习题分类精选 2
解析 (1)

f ( x) 的定义域为 (0, ??) 。 f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? 2分 x x x

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a

? 2 ,则 f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 x



f ( x) 在 (0, ??) 单调增加。

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a

? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ;

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a (II)考虑函数

f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。

? 2 ,同理可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加.

g ( x ) ? f ( x) ? x ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ?

x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x
, 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当

由 于 1<a<5, 故

g ?( x) ? 0

x1 ? x2 ? 0


时有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0
时 ,

,即

f(x x) ? 1 x? 2 x? 0 1 )? f ( 2
f( ? x) f( ?2 x1 ? x2
1





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 x1 ? x2



0 ? x1 ? x2



x ?) ?

f( x1 ) f( · · · · · · · ·12 分 ? ?1· x2 x1
2

x)

(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分)已知函数 (1)若

f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x (1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间;

f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明 ? ? ? <6.

(Ⅱ)

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x ? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a]. f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而 f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].

由条件得: 因为

f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以 x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? )
34

导数习题分类精选 2
? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? 又 (?

? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故 ? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
于是 ?

? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6.

? ? ? 6.

.已知函数 (Ⅰ)若 k (Ⅱ)若 k

f ( x) ? e x ? kx,x ? R .
? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间;
? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

(Ⅲ)设函数 F ( x) ? 解: (Ⅰ)由 k 由 由

f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ? N? ) .

n

? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .

? ?) , f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1, 1) . f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,

(Ⅱ)由

f ( ?x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数.
f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ? ?) 上单调递增. f ?( x) ? ex ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) ,此时 f ( x) 在 [0,

于是等价于

1] 时, ①当 k ? (0,


f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.
? 0 .当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

, ? ?) 时, ln k ②当 k ? (1

x
f ?( x ) f ( x)

(0, ln k )
?
单调递减

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递增

? ?) 上, 由此可得,在 [0,
依题意, k

f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

? k ln k ? 0 ,又 k ? 1, ?1 ? k ? e .综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .

(Ⅲ)? F ( x) ?

f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,
35

导数习题分类精选 2
? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F (2) F (n ?1) ? en?1 ? 2 , ?? F (n) F (1) ? en?1 ? 2.
由 此 得 ,
n ?1

[ F (1) F (2)?F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
? 2) ,n ? N? .
f ( x) , x
n 2



F (1) F (2)? F (n) ? (e



f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) , f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,且对任意正数 x 均有 f ?( x) ?
(Ⅰ) 判断函数 F ( x )

?

f ( x) 在 (0, ? ?) 上的单调性; x

(Ⅱ) 设 x1 , x 2 ? (0, ? ?) ,比较 (Ⅲ)设 x1 , x 2 , ? 证明你的结论.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 f ( x1 ? x2 ) 的大小,并证明你的结论;

x n ? (0, ? ?) ,若 n ? 2 ,比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) 与 f ( x1 ? x2 ? ?? xn ) 的大小,并

解:(Ⅰ)由于

f ?( x) ?

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,而 x ? 0 ,则 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 得, x x

xf ?( x) ? f ( x) f ( x) ? 0 ,因此 F ( x ) ? 在 (0, ? ?) 上是增函数. 2 x x f ( x) (Ⅱ)由于 x1 , x 2 ? (0, ? ?) ,则 0 ? x1 ? x1 ? x2 ,而 F ( x ) ? 在 (0, ? ?) 上是增函数, x
则 F ?( x) ? 则 F ( x1 ) ?

F ( x1 ? x2 ) ,即

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) ? ,∴ ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) ? x1 f ( x1 ? x2 ) (1) , x1 x1 ? x2

同理

( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ? x2 ) (2) f ( x2 )] ? ( x1 ? x2 ) f ( x1 ? x2 ) ,而 x1 ? x2 ? 0 ,

(1)+(2)得: ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? 因此

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) .
x1 , x 2 ? (0, ? ?) ,则 0 ? x1 ? x1 ? x2 ?? ? xn ,而 F ( x ) ?
f ( x) 在 (0, ? ?) 上是增函数,则 x

(Ⅲ)证法 1: 由于

F ( x1 ) ? F ( x1 ? x2 ? ?? xn ) ,即


f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? , x1 x1 ? x2 ? ? xn

( x1 ? x2 ? ?? xn ) f ( x1 ) ? x1 f ( x1 ? x2 ? ?? xn ) ( x1 ? x2 ? ?? xn ) f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ? x2 ? ?? xn )
…………… 36

同理

导数习题分类精选 2
( x1 ? x2 ? ?? xn ) f ( xn ) ? xn f ( x1 ? x2 ? ?? xn )
以上 n 个不等式相加得:

( x1 ? x2 ? ?? xn )[ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn )] ? ( x1 ? x2 ? ?? xn ) f ( x1 ? x2 ? ?? xn )
而 x1 ? x2

? ?? xn ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ?? xn )
证法 2:数学归纳法 (1)当 n (2)当 n 即

? 2 时,由(Ⅱ)知,不等式成立; ? k (n ? 2) 时,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ?? xn ) 成立,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xk ) ? f ( x1 ? x2 ? ?? xk ) 成立,
? k ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xk ) ? f ( xk ?1 ) ? f ( x1 ? x2 ? ?? xk ) + f ( xk ?1 )

则当 n

再由(Ⅱ)的结论,

f ( x1 ? x2 ? ?? xk ) + f ( xk ?1 ) ? f [( x1 ? x2 ? ?? xk ) ? xk ?1 ]

f ( x1 ? x2 ? ?? xk ) + f ( xk ?1 ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 )
因此不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ?? xn ) 对任意 n ? 2 的自然数均成立.

.

已知函数

f ( x ) 的定义域为

I,导数

f '( x) 满足 0 ? f ' ( x) ? 2 且 f '( x) ? 1 ,常数 c1 为方程 f ( x) ? x ? 0 的实数根,

常数 c2 为方程

f ( x) ? 2 x ? 0 的实数根。

(I)若对任意

?a,b? ? I ,存在 x0 ?? a,b? ,使等式

f (b ) ? f ( a ) ? (b ? a ) f ' ( x 0 ) 成立。求证:方程 f ( x) ? x ? 0 不存在异于 c1 的实数根;
(II)求证:当 x ? c 时,总有 2

f ( x) ? 2 x 成立;

x2 ,若满足, | x1 ? c1 |? 1,| x2 (III)对任意 x1、
求证: |

? c2 |? 1,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4
f ( x) ? x ? 0 有异于 c1 的实根 m,即 f (m) ? m

证明: (I)假设方程 则有 m ? c1 因为

? f (m) ? f (c1 ) ? ? m ? c1 ? f '( x0 ) 成立
的实数 37

m? c1 , 所 以 必 有 f '( x0 ) ? 1 , 但 这 与 f '( x) ? 1 矛 盾 , 因 此 方 程 f ( x) ? x ? 0 不 存 在 异 于 c1

导数习题分类精选 2
根。………………4 分 (II)令 h( x) ? 又∵h(c2 )

f ( x) ? 2 x,∵h '( x) ? f '( x) ? 2 ? 0

∴函数 h ( x ) 为减函数

? f (c2 ) ? 2c2 ? 0

∴当 x ? c 时, h( x) ? 0 ,即 2

f ( x) ? 2 x 成立………………8 分

(III)不妨设 x ? x2 1 又∵f

∵f '( x) ? 0,∴f ( x) 为增函数,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

'( x) ? 2 ,∴函数 f ( x) ? 2 x 为减函数,即 f ( x1 ) ? 2x1 ? f ( x2 ) ? 2x2
即|

∴ 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2( x2 ? x1 )

f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 2 | x2 ? x1 |

| x2 ? x1 |?| x2 ? c1 ? c1 ? x1 |?| x2 ? c1 | ? | c1 ? x1 |? 2 ∴| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4

设函数

? 1? f ( x) ? ?1 ? ? (n ? N , 且n ? 1, x ? N ) . ? n?
? ? 1? ? n?
n

n

(Ⅰ)当 x=6 时,求 ?1 ?

的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数 x,证明

f ( 2 x ) ? f ( 2) > f ?( x)( f ?( x)是f ( x)的导函数 ); 2
n k

? 1? (Ⅲ)是否存在 a ? N ,使得 an< ? ?1 ? ? k? k ?1 ?

< (a ? 1)n 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及 创新意识。

? 1 ? 20 (Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,这项是 C 1 ? ? ? 3 ?n? n
3 5 6

3

(Ⅱ)证法一:因

? 1? ? 1? f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n? ? n?
2

2n

2

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? n? ? n? ? n? ? n? ? n?

2n

n

n

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 f ' ? x ? ? n? ? 2? ? n? ? n?
38

n

n

导数习题分类精选 2
证法二:
2n 2



? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? n? ? n? ? n? ? n? ? n?

2n

2

n

? 1? ? ?1 ? ? ? n?

? 1? ? 1? 而 2 f ? x ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? n? ? n?
'

n

故只需对 ? 1 ?

? ?

1? ? 1? ? 和 ln ?1 ? ? 进行比较。 n? ? n?
1 x ?1 x

令g 由

? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,有 g ' ? x ? ? 1 ? x ?

x ?1 ? 0 ,得 x ? 1 x
x ? 1 时, g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减;当 1 ? x ? ?? 时, g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增,所以在 x ? 1 处 g ? x ?

因为当 0 ? 有极小值 1 故当 x

? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 ,

从而有 x ? ln x 故有 ?1 ?

? 1 ,亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x

? ?

1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? 恒成立。 n? ? n?

所以

f ? 2x ? ? f ? 2? ? 2 f ' ? x ? ,原不等式成立。
?1
2 k m

(Ⅲ)对 m ? N ,且 m 有 ?1 ?

? ?

1? 0 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? k ? 1 ? m? 1 ? ? ? Cm ? Cm ? ? ? ?Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? m? ?m? ? m? ? m? ? m?
2 k

m

m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1??? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1??2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 2! ? m ? k! m! ? m? ? m?
? 2?
? 2?

m

1? 1? 1 ? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ?
1 1 1 1 ? ??? ??? 2! 3! k! m!

? 2?

1 1 1 1 ? ??? ??? 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

39

导数习题分类精选 2
1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?
? 3? 1 ?3 m
k
m

1? ? ?1? 又因 C ? ? ? 0 ? k ? 2,3, 4,?, m ? ,故 2 ? ?1 ? ? ?3 ? m? ?m?
k m

∵ 2 ? ?1 ?

? ?

n 1? ? 1? ,从而有 2 n ? ? 3 ? ? ?1 ? ? ? 3n 成立, k? m? k ?1 ? n k

m

k

? 1? 即存在 a ? 2 ,使得 2n ? ? ?1 ? ? ? 3n 恒成立。 k? k ?1 ?
构造 1. 已知函数 (1) 若函数 (2)

f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b

y ? f ( x) 图象上任意不同两点连线的斜率都小于 1,则 ? 3 ? a ? 3 ; 若 x ? [0,1],函数 y ? f ( x ) 图象上任一点切线的斜率为 k ,求 k ? 1 时 a 的取值范围。

解答( 1 )设 A (

x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是函数图象上任意不同两点,则
, 即 , y1 ? x1 ? y2 ? x 2 构 造 函 数

y1 ? y2 ? 1 ,显然 x1 ? x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2
, 则

y1 ? y2 ? x1 ? x2

g ( x) ? f ( x) ? x

g ( x)

在 R 上 是 减 函 数 , 则

g?( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 R 上恒成立,故 ? ? (2a)2 ?12 ? 0 ,解之得 ? 3 ? a ? 3
(2)当 x ? [0,1]时, k

? f ?( x) ? ?3x2 ? 2ax ,即对任意的 x ? [0,1], k ? 1 ,即 ?3 x 2 ? 2ax ? 1 在 x ? [0,1]成立,

由于

? ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 ? ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 ? f ?(1) ? ?3 ? 2a ? 1 a ? ? ? , 则 必 需 满 足 ?0 ? ? 1 或 ?a 或 ?a ,解得 f ?(0) ? 0? 1 3 ? ? ?1 ? ?0 ?3 ?3 ? a a2 ? f ( ) ? ? 1 ? 3 3 ?

1? a ? 3
导数与二项式定理 . 已知函数 f (x ) =

1 2 x + lnx. 2 2 3 x 的图象的下方; 3
40

(I)求函数 f (x )在[1,e]上的最大、最小值; (II)求证:在区间[1,+∞ ) 上,函数 f (x )的图象在函数 g (x ) =

导数习题分类精选 2
n n n (III)求证:[ f ? (x )] - f ? (x )≥2 -2(n∈N*).

解: (I)易知 f (x )在[1,e]上是增函数.

1 2 1 e + 1;f (x )min = f (1 ) = . 2 2 (1 ? x )(1 ? x ? 2 x 2 ) 1 2 2 3 1 2 (II)设 F (x ) = x + lnx- x ,则 F ? (x ) = x + -2x = . x 2 3 x ∵ x>1,∴ F ? (x )<0,故 F (x )在(1,+∞)上是减函数, 1 又 F (1) =- <0,∴ 在(1,+∞)上,有 F (x )<0, 6 1 2 2 3 2 3 即 x + lnx< x ,故函数 f (x )的图象在函数 g (x ) = x 的图象的下方. 2 3 3
∴ f (x )max = f (e ) = (III)当 n = 1 时,不等式显然成立;
n n 当 n≥2 时,有:[ f ? (x )] - f ? (x ) = (x +

1 n 1 n ) -(x + ) x xn 1 1 1 1 1 n-1 2 n-2 1 n-2 2 n-4 n ?1 n ?1 = Cn x · + Cn x · + … + C n x· = Cn x + Cn x + … + C n x· 2 n?2 n ?1 x x x x 1 1 1 1 1 2 n ?1 n-2 n-4 n-2 = [ C n (x + ) + C n (x + ) + … + Cn ( + x )] n?2 n?4 n?2 2 x x x 1 1 2 n ?1 n ≥ (2 C n + 2 C n + … + 2 Cn ) = 2 -2. 2

注:第二问可数学归纳法证

41


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