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临川一中高二文科数学复习题


临川一中高二文科数学复习题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求 1.已知命题 p、q,“非 p 为真命题”是“p 或 q 是假命题”的( ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不 必要条件 2. 方程 2 x | x | ? y 2 ? 1满足的性质为 A.对应的曲线关于 y 轴对称 C. x 可以取任何实数 3
f ( x) ? x 2 ? 3 ln x





B. 对应的曲线关于原点成中心对称 D. y 可以取任何实数



f ' ( x) ? 1的解集为( )
3 C. (??, ? 1) ? (0, ) 2 3 D. (?1, 0) ? ( , ? ?) 2

A. (0, ? ?)

3 B. ( , ? ?) 2

2 4.给出下面结论:①命题 p : “ ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定为

; ?p : ?x ? R, x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” “ ?x ? M , P( x) ” ;

② 命 题 : ?x ? M , P( x) ” 的 否 定 为 : “ ④A,B

③若 ?p 是 q 的必要条件,则 p 是 ?q 的充分条件;

为 ?ABC 的两内角,则 " A ? B" 是 cos2 A ? cos2 B 的充分不必要条件; 其中正确结论的个数为 A.4 B.3 ( ( ) C.2 ) C.10 D.11 D.1

5.右图所示的程序框图的输出结果 A. 8 B.9

6、 、设圆 C 的圆心在双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0) 的右焦点上,且与此双曲线的渐近 2 a2

线相切,若圆 C 被直线 l : x ? 3 y ? 0 截得的弦长等于 2, 则 a ? A 14 B
6

(

)

C

2

D 2

? 7. 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n , 记向量 a ? (m, n) 与向量 b ? (1,?1) 的
1

夹角为 ? ,则 ? ? (0, ] 的概率是 2 A.
5 12

?

( C.
7 12

) D.
1 6

B.

1 2

8.观察 ( x3 ) ? 3x 2 , ( x5 ) ' ? 5 x 4 , (sin x) ' ? cos x ,由归纳推理得:若定义在 R 上的函 数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,记 g ( x)为f ( x) 的导函数,则 g (? x) =( A. f ( x) B. ? f ( x) C. g ( x) )

D. ? g ( x)

9. 在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P、Q、M、N 分别是线段 OA、 OB、OC、OD 的中点,在 A,P,M,C 中任取一点 记为 E,在 B、Q、N、D 中任取一点记为 F,设 A B G 为满足向量 OG ? OE ? OF 的点,则在上述 的点 G 组成的集合 A 中的点, 落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为( )
D P N M C Q

A.

5 12

B.

3 4

C.

1 4

D.

1 2

5 5 10 . 已 知 两 点 M (1, ), N (?4,? ) , 给 出 下 列 曲 线 方 程 : ① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0; ② 4 4
x 2 ? y 2 ? 3; ③

x2 x2 ? y 2 ? 1; ④ ? y 2 ? 1 。在这些曲线上存在点 P 满足 2 2

| MP |?| NP | 的所有曲线方程 是

( D.②③④ , 集



A.①③ B.②④ C.①②③ 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 已 知
2





A ? {( x, y )

x ? 2, y ? 2, x, y ? z}



B ? {( x, y ) ( x ? 2) ? ( y ? 2) 2 ? 4, x, y ? z} , 在 集 合 A 中 任 取 一 个 元 素 p , 则

p ? B 的概率是_______.

12 已知命题 p : 1 ?

x ?1 ? 2 ,命题 q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 (m ? 0) , ? p是 ? q 的必 3

要不充分条件,则实数 m 的取值范围___________ 13. AB 是抛物线 y 2 ? x 的一条焦点弦, AB ? 4 , AB 的中点到直线 x ? 若 则
1 ?0 2

的距离为___________
2

14. 已 知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 2 ln (x ? 1) ,若在 定义域内存在 x 0 ,使得 不等式
f ( x0 ) ? m ? 0 成立,则实数 m 的取值范围是___________

15. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? x , g ( x) ? x 2 ? x ? a , 若函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图象有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围___________ 四. 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有 500ml 和 700ml 两种 型号,某天的产量如右表(单位: 型号 甲样式 乙样式 丙样式 个): 500ml 2000 z 3000 700ml 3000 4500 5000 按样式进行分层抽样,在该天生产的杯子中抽取 100 个,其中有甲样式杯子 25 个. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 5 的样本,从这个 样本中任取 2 个杯子,求至少有 1 个 500ml 杯子的概率.

17 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4bx ? 1. (1)设集合 P={1,2, 3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b ,求函数 y ? f (x) 在区间[ 1,??) 上是增函数 的概率;
?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设 点 ( a , b ) 是 区 域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 ?y ? 0 ?
y ? f ( x)在区间[1,??)

上是增函数的概率。

18.

已知过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,斜率为 2 2 的直线交抛物线于

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点,且 AB ? 9 ,

(1) 求 抛 物 线 的 方 程 ; 2 ) O 为 坐 标 原 点 , C 为 抛 物 线 一 点 , 若 (

Oc ? OA ? ? OB ,求 ? 的值
3

19 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx 的 图 象 过 点 (?4n,0)
2

, 且

f ' (0) ? 2n(n ? N * ) 。
(1)若数列 {an } 满足
1 a n ?1 ? f '( 1 ) ,且 a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式; an
n k ?1

(2)对于(2)中的数 列 {an } ,求证: ? a k ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n <5

20.

已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3, 其中 a 为实数,

(1) 设 t ? 0 为常数,求函数 f (x) 在区间 [t , t ? 2] 上的最小值; (2) 若对一切 x ? (0,??) ,不等式 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围

21.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ? ln x ? 1 , g ( x) ? ? ln x ? 1? e x ? x (其中 e 为自然对数的 底数) . (1)判断函数 f ( x) 在 区间 ? 0, e ? 上的单调性; (2)是否存在实数 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在, 求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.[来 [
x2 y 2 3 22. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,以原点为圆心,椭圆 3 a b

a x

短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A, B 分别是椭圆的左右两个顶点,

P 为椭 圆 C 上的动点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,证明: k1 ? k 2 为定值; (3) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若 并说明轨迹是什么曲线.
OP OM ? ? ,求点 M 的轨迹方程,

4

文科数学试题参考答案(2012.1.18) 一.选择题: 1 2 B D 3 B
6 25

4 C

5 A

6 C
9 4

7 C

8 C

9 B

10 D

二 填空题:.11 P ? 四. 解答题: 16 解

12 [9, ? ?) 13

14 [1,??) 15 (-4,0)

(1) z=2500

(2)

7 . 10
1 ?8? 8 3?1 3 ?8?8

5 1 17,解(1)∴所求事件的概率为 ? (2)∴所求事件的概率为 P ? 2 15 3 1

2

18 解 (1) y ? 8 x
2

(2) ? ? 0, 或 ? ? 2 ∴ an ?
4 (2) (n ? N * ) ; (2n ? 1) 2

19 解: (1)

?a
k ?1

n

k

1 1 1 1 1 1 ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? 4 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ........ ? ( ? ) ? (5 ? ) ? 5 2 2 3 n ?1 n n

当 n ? 1 时,显然成立; 20 解

21(1)解:∵ f ?( x) ? ?

a 1 x?a ? ? 2 .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a . x2 x x ①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增.

②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递 减,当 x ? ? a, e ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e ? 上单调递增, ③若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递减. (2)解:∵ g ( x) ? ? ln x ? 1? e x ? x , x ? ? 0, e ? ,

5

e ?1 ? g ?( x) ? ? ln x ? 1?? e x ? ? ln x ? 1? ? e x ?? ? 1 ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 x ?x ? 1 [来由(1)可知,当 a ? 1 时, f ( x) ? ? ln x ? 1 .此时 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 上的最 x 1 1 小值为 ln1? 0,即 ? ln x ? 1 ? 0 .当 x0 ? ? 0, e? , e x0 ? 0 , ? ln x0 ? 1 ? 0 ,∴ x0 x
x

解. 而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g ?( x0 ) ? 0 无实数解.

?1 ? g ?( x0 ) ? ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1 ? 1 ? 0 . ? x0 ? 曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数

故不存在 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直 22 解: Ⅰ) 椭圆方程为 (
x2 y 2 ? ? 1. (Ⅱ) P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) , A(? 3, 0) , 设 3 2 y0 y0 x2 y 2 2 2 2 B( 3, 0) ,则 0 ? 0 ? 1 ,即 y0 ? 2 ? x0 , 则 k1 ? , k2 ? , 3 2 3 x0 ? 3 x0 ? 3
2 0

2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) y 2 3 ?3 即 k1 ? k2 ? 2 ? 2 ?? , 2 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 3

(Ⅲ)设 M ( x, y) ,其中 x ? [? 3, 3] . 由已知

OP OM

2 2

2 x2 ? 2 ? x2 2 3 ? x ? 6 ? ?2 , ? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得 x2 ? y 2 3( x 2 ? y 2 )

整理得 (3? 2 ? 1) x 2 ? 3? 2 y 2 ? 6 ,其中 x ? [? 3, 3] .----8 分
3 时,化简得 y 2 ? 6 , 3 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 6(? 3 ? x ? 3) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段; -------------9 分

①当 ? ?

②当 ? ?

3 时,方程变形为 3

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ? [? 3, 3] , 6 6 3? 2 ? 1 3? 2

当0?? ?

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 3 ? 3 ? x ? 3 的部分; -------------11 分

3 ? ? ?1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 3 ? 3 ? x ? 3 的部分; -------------12 分 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. -------------14 分



6


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