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全国理数第一章第二节


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第一章 § 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

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§ 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲
三年32考

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1. 理解命题的概念. 2. 了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析 四种命题间的相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

最新考纲 基础梳理

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第 二 节

自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选

基础梳理
1. ? 2. ? 命题 真假 的陈述句. 用语言、符号或式子表达的可以判断______ 四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
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(2)四种命题的真假判断 真假性 . ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的_________ 相同 . ②原命题的逆命题和否命题,它们的真假性________ 3. 充分条件、必要条件与充要条件

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疑难剖析
如何理解“A 是 B 的充分条件”与“A 的充分条件是 B”的差别? A 是 B 的充分条件,是指 A ?B. A 的充分条件是 B,是指 B ?A. 同理,A 的充要条件是 B,充分性是指 B?A,必要性是 A?B, 充分性应抓“条件是 B”;必要性应抓“A 是条件”.
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自主测评
判断下列命题是否正确. (1)一个命题非真即假.( )
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(2)“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立,则 p 成立”.( ) (3)若原命题为真, 则这个命题的否命题、 逆命题、 逆否命题中至少有一个为真. () (4)若 p 是 q 成立的充分条件,则 q 是 p 成立的必要条件.( (5)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则 )

?q” .(

)

解析:
(1)正确.根据命题的概念,只要是命题就一定能够判断真假.即一个命题 非真即假. (2)正确.根据命题与其逆否命题等价可得. (3)正确.∵原命题等价于逆否命题,∴逆否命题是真命题. (4)正确.由充分、必要条件的定义知是真命题. (5)错误. ∵“若 p,则 q”的否命题是“若 ?p,则 ?q” ,∴是假命题.

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(2014·北京高考)设 a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

)

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解析:a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例 如a=-2,b=1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.故选D.

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(2013·福建高考)设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在 直线 l:x+y-1=0 上”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

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解析: “x=2 且 y=-1”满足方程 x+y-1=0,故“x=2 且 y=-1” 可推出“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”;但方程 x+y-1=0 有无数 多个解,故“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”不能推出“x=2 且 y=- 1”,故“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”的充分 而不必要条件.故选 A.

(2014·揭阳阶段考试)命题“若 x2<1, 则-1<x<1”的逆否命题是



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解析: 根据命题的逆否命题的定义直接改写, 可得原命题的逆否命题为“若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1” .

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5. “在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为:___.

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解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°,结论:∠A,∠B都 是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中,若∠C≠90°, 则∠A,∠B不都是锐角”.

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题型分类 ·典例研析
题型1 ·四种命题的关系及真假的判断
例 1(1)以下关于命题的说法正确的有____________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数” 是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. (2)(2014·陕西高考)原命题为“若 an+an+1 2 <an, n∈N*, 则{an}为递减数列”, )
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关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A. 真,真,真 B. 假,假,真 C. 真,真,假 D. 假,假,假

思路点拨:先根据原命题写出要求的命题,再判断真假或利用互为逆否的命 题真假等价进行判断.

规范解答:(1)对于①,若 log2a>0=log21,则 a>1,∴函数 f(x)=logax 在其定 义域内是增函数,因此①是假命题,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命 题的定义可知, 该说法正确; 对于③, 原命题的逆命题是“若 x+y 是偶数, 则 x, y 都是偶数“, 是假命题, 如 1+3=4 是偶数, 但 3 和 1 均为奇数, 故③不正确; 是互为逆否命题,因此二者等价,∴④正确.综上可知正确的说法有②④. an+an+1 (2) <an,即 an+an+1<2an,则 an+1<an,∴{an}为递减数列,故原命题 2 为真,则其逆否命题也为真;若{an}是递减数列,则 an+1<an,∴an+an+1<2an, an+an+1 ∴ <an,故其逆命题也是真命题,则其否命题也是真命题.故选 A. 2 对于④,不难看出,命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”

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易错警示:注意命题中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中 “都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是.

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规律总结:1. 已知原命题写出该命题的其他命题时,要以各种命题的定义 为依据,先要分清命题的条件与结论. 2. . 命题真假的判断方法 (1) 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2) 利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.

迁移发散1 (1)(2013·惠州模拟)关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下, 则{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题,下列结论成立的是 ( A. 都真 C. 否命题真 B. 都假 D. 逆否命题真 )

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(2)给定下列命题: ①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根; ②若x+y≠8,则x≠2或y≠6; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题. 其中真命题的序号是________.(填序号)

规范解答:(1)命题:“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则 {x|ax2+bx+ c<0}≠?”,这是一个真命题,∴其逆否命题也为真命题.但其逆命题:“若 {x|ax2+bx+c<0}≠?,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下”是一个假命题,∵

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当不等式ax2+bx+c<0的解集非空时,可以有a>0,即抛物线的开口可以向
上.因此其否命题也是假命题.故选D. (2)①∵Δ =4-4(-k)=4+4k>0,∴k>-1,∴①是真命题.②其逆否命题为 真,故②是真命题.③逆命题:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.④ 否命题:“若xy≠0,则x,y都不为零”是真命题. ∴① ② ④

题型2 ·充分条件与必要条件的判定
例 2 (1)(2014·天津高考)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 1
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(2)(2014·福建高考)直线 l: y=kx+1 与圆 O: x2+y2=1 相交于 A, B 两点, 则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的( ) 2 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

思路点拨:从充分性和必要性两个方面,分别构建命题证明真假,也可通过特值 否定.

规范解答:(1)先证“a>b” <-b|b|,从而 a|a|>b|b|.

? “a|a|>b|b|”.若 a>b≥0,则 a2>b2,

即 a|a|>b|b|;若 a≥0>b,则 a|a|≥0>b|b|;若 0>a>b,则 a2<b2,即-a|a| 再证“a|a|>b|b|” ? “a>b”. 若 a, b≥0, 则由 a|a|>b|b|, 得 a2>b2, 故 a>b;若 a,b≤0,则由 a|a|>b|b|,得-a2>-b2,即 a2<b2,故 a>b; 若 a≥0,b<0,则 a>b.而当 a<0,b≥0 时,a|a|>b|b|不成立. 综上, “a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.故选 C. (2)当 k=1 时,l:y=x+1,由题意不妨令 A(-1,0),B(0,1),则 S△AOB 1 1 = ×1×1= ,∴充分性成立;当 k=-1 时,l:y=-x+1,也有 S△AOB= ,∴ 2 2 2 必要性不成立.故选 A. 1

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易错警示:解答充分条件、必要条件的判断题,必须从正、逆两个方面进行 判断.

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规律总结:1.如何判断p是q的什么条件?
(1) 对命题“若p,则q”, 首先应分清条件是什么 (p) ,结论是什么 (q) . (2) 尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件,推理方法可以用直接证明法或 间接证明法. (3) 确定条件是结论的什么条件,抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大

范围 .
(4) 判断的结论需分四种情况: 充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.

2.判断充分性与必要性的常用方法:

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(1)定义法:①定条件.确定命题中哪个是条件,哪个是结论;②找推式.是
A?B形式,还是B?A形式;③下结论.根据定义下结论. (2)等价法:利用A?B与?B??A;B?A与?A??B的等价关系.一般地,对 于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,可运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断.若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要

条件;若A=B,则A是B的充要条件.
3. 如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,那么可以通过举 出恰当的反例来证明.

迁移发散 2(1)(2015·合肥月考)对于函数 y=f(x),x∈R, “y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2)(2014·新课标Ⅱ高考)函数 f(x)在 x=x0 处的导数存在. 若 p: f ′(x0)=0; q: x=x0 是 f(x)的极值点,则( ) A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 )

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规范解答:1)若 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x), ∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,∴y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,但若 y=|f(x)| 的图象关于 y 轴对称,如 y=f(x)=x2,它不是奇函数,故选 B. (2)∵f(x)在 x=x0 处可导,∴若 x=x0 是 f(x)的极值点,则 f ′(x0)=0, ∴q ?p,故 p 是 q 的必要条件; 反之,以 f(x)=x3 为例,f ′(0)=0,但 x=0 不是极值点, ∴p q,故 p 不是 q 的充分条件.故选 C.

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题型3 ·充分条件与必要条件的应用
例3 (2014?郑州模拟)设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+ 1)≤0,若? p是? q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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思路点拨:根据充分不必要条件,可以知道?p对应的集合是?q对应的集合的真
子集,根据真子集的定义可以得出结论.

规范解答:设 A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}. ? ? 1 ? ? ? ? 解|4x-3|≤1,得 ≤x≤1,故 A=?x? ≤x≤1?;(2 分) 2 ? ?2 ? ? ? 1 解 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得 a≤x≤a+1,故 B={x|a≤x≤a+1}.(4 分) ? ? 1 ? ? ? ? ? ∴ ?p 所对应的集合为?RA= x?x< 或x>1?, 2 ? ? ? ? ? ?q 所对应的集合为?RB={x|x<a 或 x>a+1}.(6 分)

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由 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,知?RB? ?RA,(8 分)

? 1 ?a≤ , 1 1 2 ∵a= ,a+1=1 不能同时成立,∴? 解得 0≤a≤ . 2 2 ? ?a+1≥1.
? 1? ? ? 故所求实数 a 的取值范围是?0, ?.(12 分) 2? ?

易错警示:本题中,由于是真子集的关系而误认为区间端点不能取得,从而得到错

? 1 ? a< , 2 误结果? 实际上,这两个等号只要不同时成立就能满足集合之间的关系, ? ?a+1>1, ? 1 ? a= , 2 显然方程组? 无解,所以两个端点值都可取. ? ? a +1 = 1

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规律总结:1.集合与充要条件 设集合A={ x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件q},则有 (1)若A?B,则p是q的充分条件,若A? B,则p是q的充分不必要条件; (2)若B?A,则p是q的必要条件,若B? A,则p是q的必要不充分条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; 也可用下图表示: (4)若A ? B,且B ? A,则p是q的既不充分也不必要条件

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基 础 梳 理

2. ?p与?q的关系, 可以利用互为逆否的命题真假等价转化为p, q的关系处理, ?p是?q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件,?p是?q的充分不必 要条件,则p是q的必要不充分条件.

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迁移发散3已知p:x2-4x-12≤0,q:|x-m|≤m2 (m ∈ R),若?p是?q的

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必要不充分条件,求实数m的取值范围.

规范解答:设命题 p 对应的集合为 P,命题 q 对应的集合为 Q, ∵ ?p 是 ?q 的必要不充分条件,∴p 是 q 的充分不必要条件, 则 P? Q.(2 分) ∵命题 p:x2-4x-12≤0,∴P=[-2,6]. 又命题 q:|x-m|≤m2(m∈R),∴Q=[m-m2,m+m2],(6 分) ∴m-m2≤-2 且 m+m2≥6,又当 m=2 时,P=Q,不满足条件, ∴m∈(-∞,-3]∪(2,+∞).(10 分)

数学思想应用 —— 转化与化归思想在充要条件关系中的应用
已知命题p:-2≤x≤10,命题q:x2-2x+1≤m2(m>0).若?p是?q的必要不 充分条件,则实数m的取值范围为________.

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思路点拨:由命题p成立得x的范围为A,由命题q成立求得x的范围为B,由题 意可得A?B,可得关于m的不等关系式,由此求实数m的取值范围.

规范解答:由 p:-2≤x≤10,记 A={x|-2≤x≤10};q:x2-2x+1≤m2 即 x2-2x +(1-m2)≤0(m>0),得 1-m≤x≤1+m.记 B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}, ∵?p 是?q 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件, 即 p?q, 且q p,

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?m>0, ?m>0, ? ? ∴A? B.要使 A? B,又 m>0,则只需?1+m≥10,或?1+m>10, ?1-m<-2 ?1-m≤-2. ? ?
∴m≥9,故所求实数 m 的取值范围是[9,+∞).

规律总结:在判断含参数的充分条件与必要条件时,如果直接解决比较困难时, 可以先用等价转化思想,将复杂的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般 在涉及字母参数的取值范围的充要关系中,常要利用集合的包含、相等关系来 判断,这是解题的关键.

迁移发散:(2014?汕头模拟)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x≤1 +m(m>0). (1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围; (2)若m=5,“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数x的取值范围.

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规范解答:(1)解得,p:-1≤x≤5,∵p 是 q 的充分条件,∴[-1,5]是 [1-m,1+m]的子集,(2 分)

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?m>0, ? ∴?1-m≤-1,得 m≥4,∴实数 m 的取值范围为[4,+∞).(6 分) ?1+m≥5, ?
(2)当 m=5 时,q:-4≤x≤6.由题意知,p 与 q 一真一假,(8 分)

?-1≤x≤5, 当 p 真 q 假时,由? 得 x∈? ;(10 分) x <- 4 或 x > 6 , ? ?x<-1或x>5, 当 p 假 q 真时,由? 得-4≤x<-1 或 5<x≤6. -4≤x≤6, ?
∴实数 x 的取值范围为[-4,-1)∪(5,6].(12 分)

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题型4 ·命题等价转化的应用
例 4 已知条件 p:5x>a+1 或 5x<1-a(a≥0)和条件 q: 2 >0,请选 2x -3x+1 取适当的非负数 a 的值,分别利用所给的两个条件作为 A,B 构造命题:“若 A,则 B”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题,则这样的一 个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 1

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1-a 1+a 思路点拨:解 p 中的不等式组,可得 x< 或 x> ,解 q 中的不等式我们 5 5 1 可得 x< 或 x>1, 若要利用所给的两个条件作为 A, B 构造命题: “若 A, 则 B”, 2 1-a 1 1+a 并使得构造的原命题为真命题, 而其逆命题为假命题, 只需满足 ≤ , 且 5 2 5 ≥1(端点等号不可同时取得)即可.

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规范解答:
已知条件 p:5x<1-a 或 5x>a+1, 1 +a ∴x< 或 x> .(2 分) 5 5 已知条件 q,即 2x2-3x+1>0,∴x< 3 1 2 或 x>1.(4 分) p. 1 -a

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令 a=4,则 p:x<- 或 x>1,此时必有 p?q 成立,且 q 5 故可以选取的一个非负实数 a=4.(7 分) A 为 p,B 为 q,对应的命题是“若 p,则 q”.

综上可知,这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题.(10 分)

点评: 本题考查的是四种命题的真假判断及充要条件的性质, 若要利用所给的两个 条件作为 A,B 构造命题:“若 A,则 B”,并使得构造的命题为真命题,而其逆 命题为假命题,则 A 为 B 的充分不必要条件,可得 A? B.

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规律总结:在判断命题的真假时,常常运用等价转化的思想,需牢牢掌握原命 题和逆否命题等价,逆命题和否命题等价的规律.

题型5 ·充要条件的证明
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例5 已知ab≠0,证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

思路点拨:
性,即“a+b=1 ?a3+b3+ab-a2-b2=0”. 先证明充分性,即“a3+b3+ab-a2-b2=0 ?a+b=1”,再证明必要

规范解答:充分性:若 a3+b3+ab-a2-b2=0, 则(a+b-1)·(a2-ab+b2)=0,(2 分) 由 ab≠0 得 a+b-1=0,所以 a+b=1 成立,充分性得证.(6 分) 必要性:若 a+b=1,则由以上对充分性的证明知 a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,必要性得证.(10 分) 综上,a+b=1 成立的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.(12 分)

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易错警示:充要条件的证明易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件,把

充分条件当成必要条件而致误.

规律总结:证明充要条件的基本方法是从“充分性”和“必要性”两个 方面分别进行证明.一般有两种格式: (1)A成立是B成立的充要条件,此时条件是A,故充分性是 A?B,必要 性是B?A; (2)A成立的充要条件是B成立,此时条件是B,故充分性是 B?A,必要 性是A?B.

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