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2017圆与圆的方程教案2.doc


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圆与圆的方程
3

教学时间

1、知识与技能: 使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的 标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法,由已 知条件导出圆的方程. 2、 过程与方法: 三 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数 维 法由已知条件导出圆的方法, 熟练地用待定系数法由已知条件导 目 出圆的方程, 培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能 标 力. 3、情感.态度与价值观: 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学 科的基础知识和基本方法打下牢固的基础.

(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径; 教学重点 (2)能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. 教学难点 教学方法 圆的一般方程的特点. 观察、思考、探究.

课时序数
教 学 流 程

第二课时 个案设计

[新课导入]
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前面,我们已讨论了圆的标准方程 (x-a) +(y-b) =r ,现 将展开可得 x +y -2ax-2by+a +b -r =0.可见,任何一个圆 的方程都可以写成 x +y +Dx+Ey+F=0.请大家思考一下:形 如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程的曲线是不是圆?下面我们来深 入研究这一方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程” .
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[互动过程 1]
探究一:圆的一般方程的定义
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1.分析方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的轨迹

将方程 x +y +Dx+Ey+F=0 左边配方得:

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(1)

(1)当 D +E -4F>0 时,方程(1)与标准方程比较,可以看 出方程

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半径的圆;

(3)当 D +E -4F<0 时,方程 x +y +Dx+Ey+F=0 没有实 数解,因而它不表示任何图形.

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2.引出圆的一般方程的定义
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当 D +E -4F>0 时,方程 x +y +Dx+Ey+F=0 称为圆的一 般方程.

[互动过程 2] 圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题: 问题:观察圆的一般方程 x +y +Dx+Ey+F=0,(D +E -4F>0).的系数可得出什么 结论?启发学生归纳结论.
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(1)x 和 y 的系数相同,不等于零,即 A=C≠0; (2)没有 xy 项,即 B=0;
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(3)D +E -4AF>0.

[典例讲解]
例 1:求下列圆的半径和圆心坐标:

(1)x +y -8x+6y=0,

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(2)x +y +2by=0. 解析:先配方,将方程化为标准形式,再求圆心和半径. 解:(1)圆心为(4,-3),半径为 5;(2)圆心为(0,-b), 半径为|b|,注意半径不为 b. 点拨: 由圆的一般方程求圆心坐标和半径, 一般用配方法, 这要熟练掌握.

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变式训练1: 1. 方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示圆的充 要条件是( ) 或 者 k < - 1

A . k > 4 B.-1<k<4 C . k=4 D.以上答案都不对

或 者

k= - 1

2.圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴切于原点, 则有( ) A.F=0,DE≠0 F2=0,D≠0 C. D2 + F2=0 , E ≠ 0 +E2=0,F≠0
答案:1.A 2.C

B.E2+

D. D2

例 2:求过三点 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程. 解析:已知圆上的三点坐标,可设圆的一般方程,用待定 系数法求圆的方程.
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解:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,由 O、A、B 在 圆上,则有

解得:D=-8,E=6,F=0, 故所求圆的方程为 x +y -8x+6=0. 点拨:1.用待定系数法求圆的方程的步骤: (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式; (2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程; (3)解方程组,求出 a、b、r 或 D、E、F 的值,代入所设方 程,就得要求的方程. 2. 关于何时设圆的标准方程, 何时设圆的一般方程: 一般说来, 如果由已知条件容易求圆心的坐标、 半径或需要用圆心的坐标、 半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆 心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程. 变式训练2:求圆心在直线 l:x+y=0 上,且过两圆 C 1 ∶x +y -2x+10y-24=0 和 C 2 ∶x +y +2x+2y-8=0 的交 点的圆的方程.
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?x 2 ? y 2 - 2x ? 10y - 24 ? 0 解:解方程组 ? 2 ,得两圆交点为 2 ? x ? y ? 2x ? 2y - 8 ? 0
(-4,0),(0,2).

设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r ,因为两点在所求圆上,
2 2 ? (?4 ?a ) 2 +b =r ?2 2 2 且圆心在直线 l 上所以得方程组为 ? a +(2-b) =r ? a+b=0 ?

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解得a=-3,b=3,r= 10 .

故所求圆的方程为:(x+3) +( y-3) =10.

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2

(五)总结反思、共同提高
1.圆的一般方程的定义及特点; 2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径; 3.用待定系数法,导出圆的方程.

【作业布置】 课本 P80 1,2

【板书设计】

【教后反思】


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