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一元二次不等式的解法


一元二次不等式 及其解法 (说课)

教材的地位和作用 教 材 分 析 教学目标分析
教学重点、难点分析 教法、学法分析 创设情景,引入新课 教 学 过 程 分 析 合作交流,探索解法 典例剖析,应用解法

归纳小结,发展深化
当堂检测,巩固提升 分层作业,拓展延伸

一、教材分析
1、教材的地位和作用
《一元二次不等式及其解法》是高中数学必修5 第三章《不等式》的第二节内容,是高中数学研究的 一个重要课题。在此之前,学生已经学习了一元二次 方程、二次函数和不等式的性质,这为过渡到本节的 学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面其它不等式 类型的转化和求解打下了基础。本节课既是本章的重 点,也是整个高中数学的重点。

2、教学目标分析
? 知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不
等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次 不等式的方法。

? 过程与方法:培养学生的数形结合能力,掌握
分类讨论的思想方法,发展学生的抽象概括能力 和逻辑思维能力。

? 情感与态度:要求学生能够严谨、全面的分析
问题,养成良好的学习习惯和思维品质。

3、教学重点、难点分析
教学重点: 从实际问题中抽象出一元二次不等式模 型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数 形结合的思想。
教学难点:理解二次函数,一元二次方程与一 元二次不等式的关系。

二、教法和学法分析
? 教法分析:
探 究 发 现 小 组 讨 论 动 手 操 作

? 学法指导:
动 手 操 作 自 主 探 究 合 作 交 流

现代技术教学手段

三、教学过程分析
一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法 创设情景,引入新课 合作交流,探索解法 典例剖析,应用解法 归纳小结,发展深化 当堂检测,巩固提升 分层作业,拓展延伸

1、创设情景,引入新课 公司A:每小时1.5元 公司B:1.7元,1.6元,1.5元,…… 问题:一次上网在多长时间内能够保证选择公司A的 上网费用小于或等于选择公司B所需费用?

2、合作交流,探索解法

2?5x?0 思考一元二次不等式 x
怎样去求解。那么对于一般的 不等式 a x 2 ? bx ? c ? 0 或 a x2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 又怎样 去寻求解集呢?

方程或不等式 ( a> 0) Δ >0



集 Δ =0
? b? ?? ? ? 2a ?

Δ <0

请 同 ax2+bx+c=0 {x|x=x1 或 x=x2} 学 们 完 成 表 图象(草图) x1 x2 格
ax2+bx+c >0

?

x1=x2

?x | x ? x1或x ? x2 ? ? x | x ? ? ?
?

b? ? 2a ?

R
?

ax2+bx+c <0

?x | x1 ? x ? x2 ?

?

3、典例剖析,应用解法
(1) - 3 x 2 ? 6 x

?2

教师分析例题、学生按照老师的 分析过程以及课堂知识,进行反 馈练习。 设计意图:有利于学生对知识的 巩固运用

方法小结:
用二次函数图象解一元二次不等式其方法步骤: 1、先求判别式Δ (若Δ ≥0求出相应方程的解) 2、再画出二次函数图象;

3、根据图象写出不等式的解集。

注意:若a<0时,先变形!

4、归纳小结,发展深化
(1)知识结构: 解一元二次不等式的方法步骤是: 1、化正 (把二次项系数化成正数) 2、解方程(解一元二次方程的实数根) 3、画图象(画二次函数的图像) 4、写解集(写出一元二次不等式的解集) (2)思想方法: 数形结合 分类讨论 转化

5、当堂检测,巩固提升

解下列关于x的不等式 (1)x ? 4 x ? 9 ? 0
2

(2)3x ? 7 x ? 10
2

(3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

6、分层作业,拓展延伸
必做题:习题3.2
选做题:习题3.2

A组
B组

1、2
4、5

一元二次不等式 及其解法 (讲课)

两个网络服务公司(Internet Serice Provider)的资费标准: 电信:每小时收费1.5元 网通:用户上网的第一小时内收费1.7元,第二 小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元.(若用 户一次上网时间超过17小时,按17小时计算)? <不妨设该同学一次上网不超过17小时>

一次上网在多长时间以内能够保证选择电信 比选择网通所需费用少?

分析:假设一次上网x小时, 则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知,网通收费1.7 ,1.6,1.5 ,1.4,……
∵1.7,1.6,1.5,1.4,…… 是以1.7为首项,以-0.1为公差的等差数列 ∴网通公司的收取费用为 1.7 x ?

x (35 ? x ) 如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少,则1.5 x ? 20
整理得

x( x ? 1) x(35 ? x) (?0.1) ? 2 20

x 2 ? 5x ? 0

这是什么?

一元二次不等式
象 x ? 5x ? 0 这样只含一个 未知数,并且未知数最高次数 为2的不等式。
2

思考:
那么一元二次不等式 x ? 5x ? 0 怎样 去求解呢?
2

y
我们来考察它与其所对的二次 y ? x 2 ? 5x 的关系: 函数
(1)当 x (2)当 x (3)当
y>0,x轴 上方

?0 ?0



x ? 5 时,y ? 0
● O ● 5

x
y=0,x 轴上



x ? 5 时,y ? 0
y<0,x轴 下方

时, y ? 0 0? x?5

下结论:
结合图像知不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集
是{x | 0 ? x ? 5}

推广:
ax2 ? bx ? c ? 0 那么对于一般的不等式

或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)又怎样去寻求解集呢?

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0

△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= ? 2a {x|x≠
? b } 2a

△<0
y

y x1 O

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

O 没有实根

x

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

R Φ

{x|x1< x <x2 }

Φ

例1、解不等式 -3x2+6x > 2

解: 不等式-3x2+6x > 2变形为:
3x2-6x+2 < 0

∵△>0,方程3x2-6x+2= 0的两根为:

3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? 3 3
∴不等式3x2-6x+2 < 0的解集是:

? 3 3? ? x ? 1? ? ?x | 1 ? 3 3? ?

解一元二次不等式的步骤:
? 化标准:将不等式化成标准形式(右边为0、 最高次的系数为正); ? 考虑判别式:计算判别式的值,若值为正, 则求出相应方程的两根; ? 下结论:注意结果要写成集合或者区间的形 式

课堂练习

解下列关于x的不等式 (1)x ? 4 x ? 9 ? 0
2

(2)3x ? 7 x ? 10
2

(3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

10 (1):R (2)x ? ?-1, 3

?

(3)

?

课堂小结

这节课我们学习了一元二次不等式的解 法,同学们下去可以多注意以下两点 ? 1、三个二次的关系,注意结合图像; ? 2、将一元二次不等式化为标准形式;

作业:
必做题:习题3.2
选做题:习题3.2

A组
B组

1、2
4、5


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