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2012年广东高考文科数学卷(试题和答案)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科 B 卷)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 + 4i = i
C. 4 + 3i D. 4 ? 3i

B. ?4 + 3i

2.设集合 U = {1, 2,3, 4,5, 6} , M = {1,3,5} ,则 CU M = A. {2, 4, 6} B. {1,3,5} C. {1, 2, 4} D. U

3.若向量 AB = (1, 2), BC = (3, 4) ,则 AC = A. (4, 6) B. (?4, ?6) C. (?2, ?2) D. (2, 2)

4.下列函数为偶函数的是 A. y = sin x B. y = x
3

C. y = e

x

D. y = ln

x2 + 1

?x + y ≤ 1 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1, 则 z = x + 2 y 的最小值为 ?x +1 ≥ 0 ?
A. 3 B. 1
°

C. ?5
°

D ?6

6.在 ΔABC 中,若 ∠A = 60 , ∠B = 45 , BC = 3 2 ,则 AC =

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π
2 2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3 x + 4 y ? 5 = 0 与圆 x + y = 4 相交 于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C.

3

D. 1

9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为 A. 105 B. 16 C. 15 D. 1
第 1 页 共 8 页

10.对任意两个非零的平面向量 α , β ,定义 α

β=

α ?β .若两个非零的平面向量 a , b 满足 a 与 b 的夹角 β ?β

?π π ? ?n ? θ ∈ ? , ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ? | n ∈ Z ? 中,则 a b = 4 2 2 ? ? ? ?
A.

5 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 y =

x +1 的定义域为________________________. x 1 2 ,则 a1 a3 a5 = _______________. 2

12.若等比数列 {a n } 满足 a 2 a 4 =

13.由正整数组成的一组数据 x1 , x 2 , x3 , x 4 , 其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据为 _______________________.(从小到大排列) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C 2 的

? 2t ?x = 1 ? ? x = 5 cosθ π ? ? 2 ( t 为参数) 则曲线 C 和曲线 C ( θ 为参数,0 ≤ θ ≤ ) ? 和 , 参数方程分别为 ? 1 2 2 ? y = 5 sin θ ? y = ? 2t ? ? 2 ?
的交点坐标为 .

15. (几何证明选讲选做题) 如图 3, 直线 PB 与圆 O 相切与点 B, 是弦 AC 上的点, PBA = ∠DBA , AD = m, AC = n , AB= D ∠ 若 则 .

A P D O · C
图3
第 2 页 共 8 页

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = A cos( (1) 求 A 的值; (2) 设 α , β ∈ [0,

x π π + ), x ∈ R ,且 f ( ) = 2 . 4 6 3 4π 30 2π 8 ) = ? , f (4β ? ) = ,求 cos(α + β ) 的值. 3 17 3 5

π
2

], f (4α +

word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:www.maths168.com) 17. (本小题满分 13 分) 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

[50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] .
(1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ( x ) 与数学成绩相应分数段的人数 ( y ) 之比如下表所示,求数学成绩在 [50,90 ) 之外的人数. 分数段 x :y

[50,60) [60,70)
1:1 2:1

[70,80)
3:4

[80,90)
4:5

18. (本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ⊥ 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 Δ PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ⊥ 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ⊥ 平面 PAB.

第 3 页 共 8 页

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和 sn ,数列 {sn } 的前 n 项和为 {Tn } ,满足 Tn = 2 S n ? n , n ∈ N .
2 *

(1) 求 a1 的值;? (2) 求数列 {an } 的通项公式.? ? ? ? ? 20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 上. (1) 求椭圆 C1 的方程;? (2) 设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y = 4 x 相切,求直线 l 的方程.?
2

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,且点 P(0,1) 在 C1 a 2 b2

? ? ? ? 21. (本小题满分 14 分) 设 0 < a < 1 ,集合 A = x ∈ R x > 0 , B = x ∈ R 2 x ? 3(1 + a ) x + 6a > 0 , D = A ∩ B .
2

{

}

{

}

(1) 求集合 D (用区间表示) ;? (2) 求函数 f ( x) = 2 x ? 3(1 + a ) x + 6ax 在 D 内的极值点.?
3 2

第 4 页 共 8 页

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案

数学(文科 B 卷)
答案制作:广州市第二中学 一、选择题 1-5:DAADC 6-10:BCBCD 邓军民 湛江农垦实验中学 徐庆培

a 10. 【提示】 b =

a b

? cos θ =

b n1 n nn 1 2 2 b ? cos θ = 2 , ∵ , a= 两式相乘, cos θ = 1 2 , 0 < cos θ < , 得 2 2 2 4 a

∴0 <

n1n2 1 1 < ,即 0 < n1n2 < 2 ,由于 n ∈ Z ,故 n1n2 = 1 ,即 n1 = n2 = 1 , a b = . 4 2 2

二、填空题 11. [?1, 0) ∪ (0, +∞) ;

1 13. 1,1,3,3 ; 14. (2,1) ; 15. mn ; 4 x + x2 + x3 + x4 x +x = 2 ①;中位数,不妨设为 x2 , x3 ,则 2 3 = 2 ②; 13【提示】平均数 1 4 2
12.

标准差 s =
2

( x1 ? 2 ) + ( x2 ? 2 ) + ( x3 ? 2 ) + ( x4 ? 2 )
2 2 2

2

4
2 2 2

=1,

即 ( x1 ? 2 ) + ( x2 ? 2 ) + ( x3 ? 2 ) + ( x4 ? 2 ) = 4 ③, 由于 x1 , x 2 , x3 , x 4 , 为整数,所以 ( xi ? 2 ) 只能为 0、1、 、4, xi 只能取 0、1、2、3、4;
2

由①、②得 x1 + x4 = 4 ④ x2 + x3 = 4 ⑤,两两可能的组合为 ( 0, 4 ) , (1,3) , ( 2, 2 ) .列举如下:

( 0, 0, 4, 4 ) , ( 0,1,3, 4 ) , ( 0, 2, 2, 4 ) , (1,1,3,3) , (1, 2, 2,3) , ( 2, 2, 2, 2 ) 共六中可能,
其中满足③的只有 (1,1,3,3) . 三、解答题 16.解: (1)∵ f ( ) = A cos ?

π

3

π 2 ?1 π π ? A = 2 ,∴ A = 2 ? + ? = A cos = 4 2 ?4 3 6?

(2)由(1)得 f ( x) = 2 cos( +

x π ), 故 4 6

f (4α +

4π ?1 ? 4π ) = 2 cos ? ? 4α + 3 3 ?4 ? 2π ?1 ? 2π ) = 2 cos ? ? 4β ? 3 3 ?4 ?

π? 30 15 ? π? ? ? + ? = 2 cos ?α + ? = ?2sin α = ? ,∴ sin α = 2? 17 17 ? 6? ?
8 4 ? π? ? + ? = 2 cos β = , cos β = 5 5 ? 6?
第 1 页 共 4 页

f (4β ?

π 8 3 ∵α , β ∈ [0, ] , cos α = 1 ? sin 2 α = , sin β = 1 ? cos 2 β = , 17 5 2 8 4 15 3 13 ∴ cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β = ? ? ? = ? . 17 5 17 5 85
17. 解: (1)由 ( 0.04 + 0.03 + 0.02 + 2a ) × 10 = 1 ,解得 a = 0.005 ; (2)设这 100 名学生语文成绩的平均分为 x ,则

x = 55 × 0.05 + 65 × 0.4 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.05 = 73
(3)对 x, y 的值列表如下(列表主要为了方便叙述,不列也可以) 分数段

[50,60) [60,70)
1:1
5 5

[70,80)
3: 4
30 40

[80,90)
4:5
20 25

x: y
x

2 :1
40 20

y

由上表可知数学成绩在 [50,90 ) 之外的人数为 100 ? ( 5 + 20 + 40 + 25 ) = 10 人. 18. 解: (1)证明:∵ AB ⊥ 平面 PAD , PH ? 平面 PAD ∴ AB ⊥ PH ①

∵ PH 为 ΔPAD 中 AD 边上的高,∴ PH ⊥ AD ②
由 AB ∩ AD = A 及①②得 PH ⊥ 平面ABCD . (2)∵ AB ⊥ 平面 PAD , AD ? 平面 PAD ∴ AB ⊥ AD ∵ AB / / CD ∴ CD ⊥ AD

1 1 ∵ PH ⊥ 平面ABCD, E为PB中点, 到平面 ABCD 的距离等于 PH = E 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ∴VE -BCF = ? S ΔBCF ? PH = ? ? FC ? AD ? PH = ? ?1? 2 ? = 3 2 3 2 2 3 2 2 12
(3)取 PA 的中点 G ,连接 EG 、 DG ∵ E 为 PB 中点,∴ 在 ΔPAB 中,

EG / /

1 1 AB ,∵ DF / / AB ∴ EG / /DF ∴ 四边形 DFEG 为平行四边形∴ EF / / DG 2 2

∵ 在 ΔPAD 中 PD = AD ,∴ DG ⊥ PA ③,∵ AB ⊥ 平面 PAD , DG ? 平面 PAD ∴ AB ⊥ DG ④
由 PA ∩ AB = A 及③④得 DG ⊥ 平面PAB ∴ EF ⊥ 平面PAB . 19.? 解: (1)当 n = 1 时, a1 = 2a1 ? 1 ,∴ a1 = 1 .?
2 2 2 (2)当 n > 1 时, Tn ?1 = 2 S n ?1 ? ( n ? 1) , S n = Tn ? Tn ?1 = 2 S n ? n ? ? 2 S n ?1 ? ( n ? 1) ? = 2an ? 2n + 1 ?

?

?

当 n = 1 时,上式也满足,所以 S n = 2an ? 2n + 1 n ∈ N 当 n > 1 时,? S n ?1 = 2an ?1 ? 2 ( n ? 1) + 1 n ∈ N

(

*

)?

(

*

)?

第 2 页 共 4 页

an = Sn ? Sn ?1 = 2an ? 2n + 1 ? ? 2an ?1 ? 2 ( n ? 1) + 1? = 2an ? 2an ?1 ? 2 ? ? ?
化简得 an = 2an ?1 + 2 , an + 2 = 2 ( an ?1 + 2 ) ,

an + 2 = 2 ,? an ?1 + 2
n ?1

即 {an + 2} 是以 a1 + 2 = 3 为首项,公比 q = 2 的等比数列,所以 an + 2 = 3 ? 2 所以 an = 3 ? 2
n ?1

?

? 2 ,当 n = 1 时,上式也满足,故数列 {an } 的通项公式 an = 3 ? 2n ?1 ? 2 .?
2 2 2 2

20.? 解: (1)由椭圆左焦点为 F1 (?1, 0) ,得 c = 1 ,即 a = b + c = b + 1 ?

02 12 2 2 由点 P(0,1) 在 C1 上,得 2 + 2 = 1 即 b = 1 ,所以 a = b + 1 = 2 ,所以椭 a b
圆 C1 的方程为

x2 + y2 = 1? 2
2

(2)做草图如右图所示,因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y = 4 x 相切, 由图像可知直线 l 的斜率存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y = kx + b b ≠ 0 ) ( ?

? y = kx + b ? 2 2 2 由 直 线 l 与 椭 圆 C1 相 切 , ? x 2 , 消 去 y 化 简 得 ( 2k + 1) x + 4kbx + 2b ? 2 = 0 , 2 ? + y =1 ?2
Δ = ( 4kb ) ? 4 ( 2k 2 + 1)( 2b 2 ? 2 ) = 0 ,即 2k 2 ? b 2 + 1 = 0 ①?
2

由直线 l 与抛物线 C2 : y = 4 x 相切, ?
2

? y = kx + b ? y = 4x
2

,消去 y 化简得 k x + ( 2kb ? 4 ) x + b = 0 ,
2 2 2

Δ = ( 2kb ? 4 ) ? 4k 2b 2 = 0 ,即 kb = 1 ②?
2

由②可得 k =

1 2 2 4 2 2 ,带入①化简得 b ? b ? 2 = 0 , ( b ? 2 )( b + 1) = 0 , b ? 2 = 0 , b = ± 2 ,所以 b

k =±

2 2 2 ,所以直线 l 的方程为 y = x+ 2 或 y =? x ? 2 .? 2 2 2

21. 解: (1)对于方程 2 x 2 ? 3(1 + a ) x + 6a = 0 , 判别式 Δ = 9(1 + a ) 2 ? 48a = 3( a ? 3)(3a ? 1) ,因为 a < 1 ,所以 a ? 3 < 0 ,

1 < a < 1 时, Δ < 0 ,则 h( x) > 0 ? B = {x | x ∈ R} ,∴ D = (0, +∞) ; 3 1 ② 当 0 < a ≤ 时, Δ ≥ 0 ,设方程 2 x 2 ? 3(1 + a ) x + 6a = 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 < x2 ,则 3
① 当
第 3 页 共 4 页

x1 =

3(1 + a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 + a ) + 3(a ? 3)(3a ? 1) , B = {x | x < x1或x > x2 } . ,x2 = 4 4

3 x1 + x2 = (1 + a) > 0,x1 x2 = 3a > 0 ,所以 0 < x < x2 2
此时, D = (0, x1 )∪( x2 , +∞) = (0,

3(1 + a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 + a) + 3(a ? 3)(3a ? 1) )∪( , +∞) . 4 4

(2) f ' ( x) = 6 x 2 ? 6(1 + a ) x + 6a = 6( x ? 1)( x ? a ) , a < 1 所以函数 f ( x) 在区间 [a,1] 上为减函数,在区间 ( ?∞, a ]和[1, +∞) 上为增函数 ①当

1 < a < 1 时,因为 D = (0, +∞) ,所以 f ( x) 的极大值点为 x = a ,极小值点为 x = 1 ; 3 1 3(1 + a ) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 + a ) + 3(a ? 3)(3a ? 1) 时, D = (0, )∪( , +∞) , 3 4 4 3(1 + a ) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 + a ) + 3(a ? 3)(3a ? 1) , ≤1≤ 4 4

②当 0 < a ≤

易得 a <

(可以用作差法,也可以用分析法) 所以, f ( x) 在 D 内有极大值点 a . 综上:当

1 < a < 1 时, f ( x) 的极大值点为 x = a ,极小值点为 x = 1 ; 3 1 当 0 < a ≤ 时, f ( x) 在 D 内有极大值点 a ,无极小值点. 3

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