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辽宁省大连市开发区2015-2016学年九年级数学上学期第一次月考试题(含解析) 新人教版


辽宁省大连市开发区 2015-2016 学年九年级数学上学期第一次月考 试题
一、选择题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项正确). 2 1.一元二次方程(x﹣4) =2x﹣3 化为一般式是( ) 2 2 2 2 A.x ﹣10x+13=0 B.x ﹣10x+19=0 C.x ﹣6x+13=0 D.x ﹣6x+19=

0 2.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x +x+1=0 的一个根,则 m 的值是( A.1 B.﹣1 C.0 D.无法确定
2



3.方程 x(x+3)=x+3 的解为( ) A.x1=0,x2=﹣3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=0,x2=3
2

D.x1=1,x2=3 )

4.用配方法解一元二次方程 x ﹣6x﹣7=0,则方程变形为( 2 2 A. =43 C. =16
2

5.将抛物线 y=x 先向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的抛物线是( A.y=(x+1) ﹣2 B.y=(x﹣1) +2 C.y=(x﹣1) ﹣2
2 2 2 2 2



D.y=(x+1) +2 )

2

6.若二次函数 y=ax +bx+a ﹣2(a,b 为常数)的图象如下,则 a 的值为(

A.﹣2 B.﹣
2

C.1

D.

7.抛物线 y=x ﹣6x+5 的顶点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.如图,抛物线 y=﹣x ﹣4x+c(c<0)与 x 轴交于点 A 和点 B(n,0),点 A 在点 B 的左 侧,则 AB 的长是( )
2

1

A.4﹣2n

B.4+2n C.8﹣2n

D.8+2n

二、填空题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 2 9.已知关于 x 的一元二次方程 x +2x+m=0 有实数根,则 m 的取值范围是



10.已知一元二次方程 x +px+3=0 的一个根为﹣3,则 p=
2

2



11.已知三角形的两边长分别是 4 和 7,第三边是方程 x ﹣16x+55=0 的根,则第三边长 是 . 12.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件, 赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛,设比赛组织者应邀请 x 个队参赛,则 x 满足的关系 式为 . 13.抛物线 y=2x ﹣5x+1 与 x 轴的公共点的个数是
2 2



14.二次函数 y=x ﹣2x 的图象上有 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 1<x1<x2,则 y1 与 y2 的大小关系是 . 15.如图,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)的对称轴是直线 x=1,且经过点 P(3,0),则 a﹣ b+c 的值为 .
2

16.如图,已知直线 y=﹣ x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B,P 是抛物线 y=﹣ x +2x+5 上的 一个动点,其横坐标为 a,过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=﹣ x+3 于点 Q,则当 PQ=BQ 时,a 的值是 .

2

2

三、解答题(本题共 4 小题,其中 17、18、19 题各 9 分,20 题 12 分,共 39 分) 17.解方程:2x ﹣4x﹣5=0(用公式法) 18.一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积为 24cm ,求两条直角边的长.
2 2

19.某工厂在两年内机床年产量由 400 台提高到 900 台,求机床产量的年平均增长率.

20.一个二次函数的图象经过(﹣2,5),(2,﹣3),(4,5)三点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)写出这个二次函数图象的与坐标轴的交点坐标.

四、解答题(本题共 6 小题,其中 21、22 题各 9 分,23 题 10 分,共 28 分) 2 21.如图,直线 y=x+m 和抛物线 y=x +bx+c 都经过点 A(1,0),B(3,2). (1)求 m 的值和抛物线的解析式; 2 (2)求不等式 x +bx+c>x+m 的解集.(直接写出答案)

22.商场某种新商品每件进价是 120 元,在试销期间发现,当每件商品售价为 130 元时,每 天可销售 70 件,当每件商品售价高于 130 元时,每涨价 1 元,日销售量就减少 1 件.据此 规律,请回答:

3

(1)当每件商品售价定为 170 元时,每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少? (2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日 盈利可达到 1600 元?(提示:盈利=售价﹣进价) 23.如图,抛物线 y=ax +bx﹣4a 经过 A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标.
2

24.某企业加工一台大型机械设备润滑用油 90 千克,用油的重复利用率为 60%,按此计算, 加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克. 通过技术革新后, 不仅降低了润滑用油量, 同时也提高了用油的重复利用率, 并且发现润滑用油量每减少 1 千克, 用油量的重复利用率 增加 1.6%,这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克,问技术革新后,加工 一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?

25.如图,抛物线 y= x +bx﹣2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(﹣1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (3)点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最小时,求 m 的值.

2

26.如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,矩形 OABC 的顶点 A(

,0),C(0,1),

4

∠AOC=30°,将△AOC 沿 AC 翻折得△APC. (1)求点 P 的坐标; (2)若抛物线 y=﹣ x +bx+c 经过 P、A 两点,试判断点 C 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)设(2)中的抛物线与矩形 0ABC 的边 BC 交于点 D,与 x 交于另一点 E,点 M 在 x 轴上 运动,N 在 y 轴上运动,若以点 E、M、D、N 为顶点的四边形是平行四边形,试求点 M、N 的 坐标.
2

2015-2016 学年辽宁省大连市开发区九年级(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项正确). 2 1.一元二次方程(x﹣4) =2x﹣3 化为一般式是( ) 2 2 2 2 A.x ﹣10x+13=0 B.x ﹣10x+19=0 C.x ﹣6x+13=0 D.x ﹣6x+19=0 【考点】一元二次方程的一般形式. 2 【分析】一元二次方程的一般形式是:ax +bx+c=0(a,b,c 是常数且 a≠0),首先把方程 左边的相乘,再移项使方程右边变为 0,然后合并同类项即可. 2 【解答】解:(x﹣4) =2x﹣3, 2 移项去括号得:x ﹣8x+16﹣2x+3=0, 2 整理可得:x ﹣10x+19=0, 2 2 故一元二次方程(x﹣4) =2x﹣3 化为一般式是:x ﹣10x+19=0. 故选 B. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,正确合并同类项是解题关键.

2.已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x +x+1=0 的一个根,则 m 的值是( A.1 B.﹣1 C.0 D.无法确定 【考点】一元二次方程的解;一元二次方程的定义. 【分析】把 x=1 代入方程,即可得到一个关于 m 的方程,即可求解. 【解答】解:根据题意得:(m﹣1)+1+1=0, 解得:m=﹣1.

2



5

故选 B. 【点评】本题主要考查了方程的解的定义,正确理解定义是关键. 3.方程 x(x+3)=x+3 的解为( ) A.x1=0,x2=﹣3 B.x1=1,x2=﹣3 C.x1=0,x2=3 D.x1=1,x2=3 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【专题】计算题. 【分析】方程移项后,提取公因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为 0,两因式中至少 有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解. 【解答】解:方程 x(x+3)=x+3, 变形得:x(x+3)﹣(x+3)=0,即(x﹣1)(x+3)=0, 解得:x1=1,x2=﹣3. 故选 B 【点评】 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法, 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键. 4.用配方法解一元二次方程 x ﹣6x﹣7=0,则方程变形为( ) 2 2 A. =43 C. =16 【考点】解一元二次方程-配方法. 【专题】配方法. 2 【分析】首先进行移项变形成 x ﹣6x=7,两边同时加上 9,则左边是一个完全平方式,右边 是一个常数,即可完成配方. 2 【解答】解:∵x ﹣6x﹣7=0, 2 ∴x ﹣6x=7, 2 ∴x ﹣6x+9=7+9, 2 ∴(x﹣3) =16. 故选 C. 【点评】配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为 1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为 1,一次项的系数是 2 的倍 数. 5.将抛物线 y=x 先向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的抛物线是( A.y=(x+1) ﹣2 B.y=(x﹣1) +2 C.y=(x﹣1) ﹣2 D.y=(x+1) +2 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据“左加右减,上加下减”平移规律写出平移后抛物线的解析式即可. 【解答】解:抛物线 y=x 先向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的抛物线是:y= 2 (x+1) ﹣2. 故选:A. 【点评】主要考查的是函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数
2 2 2 2 2 2 2



6

解析式求得平移后的函数解析式. 6.若二次函数 y=ax +bx+a ﹣2(a,b 为常数)的图象如下,则 a 的值为(
2 2



A.﹣2 B.﹣

C.1

D.

【考点】二次函数图象与系数的关系. 【专题】压轴题. 2 【分析】由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,进而得出 a ﹣2 的值,然后求出 a 值, 再根据开口方向选择正确答案. 【解答】解:由图象可知:抛物线与 y 轴的交于原点, 所以,a ﹣2=0,解得 a=± 由抛物线的开口向上 所以 a>0, ∴a=﹣ 舍去,即 a= .
2



故选 D. 2 【点评】二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点 抛物线与 x 轴交点的个数确定. 7.抛物线 y=x ﹣6x+5 的顶点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】二次函数的性质. 【分析】 利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式, 求顶点坐标; 或者用顶点坐标公式求解. 【解答】解:∵y=x ﹣6x+5 2 =x ﹣6x+9﹣9+5 2 =(x﹣3) ﹣4, 2 ∴抛物线 y=x ﹣6x+5 的顶点坐标是(3,﹣4),在第四象限. 故选:D. 【点评】此题考查了二次函数的性质,利用配方法求顶点坐标是常用的一种方法.
2 2

8.如图,抛物线 y=﹣x ﹣4x+c(c<0)与 x 轴交于点 A 和点 B(n,0),点 A 在点 B 的左 侧,则 AB 的长是( )

2

7

A.4﹣2n B.4+2n C.8﹣2n D.8+2n 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 2 2 【分析】利用根与系数的关系可得: x1+x2=﹣4,x1x2=﹣c,所以(x1﹣x2) =(x1+x2) ﹣ 4x1x2=16+4c,AB 的长度即两个根的差的绝对值,利用以上条件代入化简即可得到 AB 的长. 【解答】解:设方程 0=﹣x ﹣4x+c 的两个根为 x1 和 x2, ∴x1+x2=﹣4,x1x2=﹣c, 2 2 ∴(x1﹣x2) =(x1+x2) ﹣4x1x2=16+4c, ∵AB 的长度即两个根的差的绝对值,即: 又∵x2=n, 2 ∴把 x2=n 代入方程有:c=n +4n, 2 2 ∴16+4c=16+16n+4n =4(n+2) , ∴ =2n+4, ,
2

故选 B. 【点评】本题主要考查了二次函数的性质,一元二次方程根与系数的关系以及二次函数 2 2 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的交点与一元二次方程 ax +bx+c=0 根之间的关系.

二、填空题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 2 9.已知关于 x 的一元二次方程 x +2x+m=0 有实数根,则 m 的取值范围是 m≤1



【考点】根的判别式. 【专题】探究型. 2 【分析】先根据一元二次方程 x +2x+m=0 得出 a、b、c 的值,再根据方程有实数根列出关于 m 的不等式,求出 m 的取值范围即可. 2 【解答】解:由一元二次方程 x +2x+m=0 可知 a=1,b=2,c=m, ∵方程有实数根, 2 ∴△=2 ﹣4m≥0,解得 m≤1. 故答案为:m≤1. 【点评】 本题考查的是一元二次方程根的判别式, 根据题意列出关于 m 的不等式是解答此题 的关键. 10.已知一元二次方程 x +px+3=0 的一个根为﹣3,则 p= 4 . 【考点】一元二次方程的解. 2 【分析】已知一元二次方程 x +px+3=0 的一个根为﹣3,因而把 x=﹣3 代入方程即可求得 p
2

8

的值. 2 【解答】解:把 x=﹣3 代入方程可得:(﹣3) ﹣3p+3=0, 解得 p=4 故填:4. 【点评】本题主要考查了方程的解的定义,把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.

11.已知三角形的两边长分别是 4 和 7,第三边是方程 x ﹣16x+55=0 的根,则第三边长是 5 . 【考点】解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系. 【专题】计算题. 【分析】利用因式分解法解方程得到 x1=5,x2=11,然后利用三角形三边的关系即可得到第 三边为 5. 2 【解答】解:x ﹣16x+55=0, (x﹣5)(x﹣11)=0, 所以 x1=5,x2=11, 又因为三角形的两边长分别是 4 和 7,所以第三边为 5. 故答案为 5. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为 0,再把左边通过 因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到 两个一元一次方程的解, 这样也就把原方程进行了降次, 把解一元二次方程转化为解一元一 次方程的问题了(数学转化思想).也考查了三角形三边的关系. 12.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件, 赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛,设比赛组织者应邀请 x 个队参赛,则 x 满足的关系 式为 x(x﹣1)=4×7 . 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【分析】关系式为:球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7,把相关数值代入即可. 【解答】解:每支球队都需要与其他球队赛(x﹣1)场,但 2 队之间只有 1 场比赛,

2

所以可列方程为:

x(x﹣1)=4×7.

故答案为: x(x﹣1)=4×7. 【点评】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程, 解决本题的关键是得到比赛总场数的 等量关系,注意 2 队之间的比赛只有 1 场,最后的总场数应除以 2. 13.抛物线 y=2x ﹣5x+1 与 x 轴的公共点的个数是 两个 . 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 2 【分析】抛物线与 x 的交点个数,即为抛物线 y=2x ﹣5x+1 与 x 轴的公共点的个数,因此只 2 要算出 b ﹣4ac 的值就可以判断出与 x 轴的交点个数. 2 【解答】解:∵y=2x ﹣5x+1,
2

9

∴b ﹣4ac=(﹣5) ﹣4×2×1=17>0. 2 ∴抛物线 y=2x ﹣5x+1 与 x 轴有两个交点. 2 即:抛物线 y=2x ﹣5x+1 与 x 轴的公共点的个数是两个. 故答案为:两个. 2 【点评】本题考查二次函数与 x 轴的交点问题,关键是算出二次函数中 b ﹣4ac 的值.

2

2

14.二次函数 y=x ﹣2x 的图象上有 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 1<x1<x2,则 y1 与 y2 的大小关系是 y1<y2 . 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线 x=1,再根据二次函数的增减性,x<1 时, y 随 x 的增大而减小解答. 2 2 【解答】解:∵y=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1, ∴二次函数图象的对称轴为直线 x=1, ∵1<x1<x2, ∴y1<y2. 故答案为:y1<y2. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,主要利用了二次函数的增减性,求出对 称轴解析式是解题的关键. 15.如图,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)的对称轴是直线 x=1,且经过点 P(3,0),则 a﹣ b+c 的值为 0 .
2

2

【考点】二次函数图象与系数的关系. 2 【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的另一交点为(﹣1,0), 由此求出 a﹣b+c 的值. 2 【解答】解:∵抛物线 y=ax +bx+c 经过点 A(3,0),对称轴是直线 x=1, 2 ∴y=ax +bx+c 与 x 轴的另一交点为(﹣1,0), ∴a﹣b+c=0. 故答案为:0. 2 【点评】本题考查了二次函数的性质,根据二次函数的对称性求出抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的另一交点为(﹣1,0)是解题的关键.

16.如图,已知直线 y=﹣ x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B,P 是抛物线 y=﹣ x +2x+5 上的 一个动点,其横坐标为 a,过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=﹣ x+3 于点 Q,则当 PQ=BQ

2

10

时,a 的值是 4+2

或 4﹣2

或 4 或﹣1 .

【考点】二次函数综合题. 【专题】综合题. 【分析】先利用一次函数解析式求出 B(0,3),再根据二次函数图象上点的坐标特征和一 次函数图象上点的坐标特征,设 P(a,﹣ 间的距离公式得到 PQ=| a ﹣ 2|=| a|,讨论: 到 a 的值. a﹣
2 2

a +2a+5),Q(a,﹣

2

a+3),则可利用两点
2

a ﹣ 2| , BQ=| a| ,然后利用 PQ=BQ 得到 | a ﹣
2

a﹣

a﹣2= 或 a ﹣

a﹣2=﹣ a,然后分别解一元二次方程即可得

【解答】解:当 x=0 时,y=﹣ x+3=3,则 B(0,3), ∵点 P 的横坐标为 a,PQ∥y 轴, ∴P(a,﹣
2

a +2a+5),Q(a,﹣

2

a+3),
2

∴PQ=|﹣ a +2a+5﹣(﹣ a+3|=|﹣ a + BQ= ∵PQ=BQ, ∴| a ﹣ 当 a﹣ 当 a﹣
2 2 2

a+2|=| a ﹣

2

a﹣2|,

=| a|,

a﹣2|=| a|, a﹣2= a,整理得 a ﹣8a﹣4=0,解得 a1=4+2
2 2

,a2=4﹣2



a﹣2=﹣ a,整理得 a ﹣3a﹣4=0,解得 a1=4,a2=﹣1, 或 4﹣2 或 4 或﹣1.

综上所述,a 的值为 4+2 故答案为 4+2 或 4﹣2

或 4 或﹣1.

【点评】 本题考查了二次函数的综合题: 熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数 图象上点的坐标特征; 理解坐标与图形的性质, 记住两点间的距离公式; 会解一元二次方程.

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三、解答题(本题共 4 小题,其中 17、18、19 题各 9 分,20 题 12 分,共 39 分) 17.解方程:2x ﹣4x﹣5=0(用公式法) 【考点】解一元二次方程-公式法. 2 【分析】求出 b ﹣4ac 的值,再代入公式求出即可. 2 【解答】解:2x ﹣4x﹣5=0, 2 2 b ﹣4ac=(﹣4) ﹣4×2×(﹣5)=56, x= ,
2

x1=

,x2=



【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生的解一元二次方程的能力,难度 适中. 18.一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积为 24cm ,求两条直角边的长. 【考点】一元二次方程的应用;勾股定理. 【分析】设其中一条直角边长为未知数,表示出另一直角边长,根据面积为 24 列式求值即 可. 【解答】解:设其中一条直角边长为 xcm,则另一直角边长为(14﹣x)cm, ×x(14﹣x)=24, 解得 x1=6,x2=8, 当 x1=6 时,14﹣x=8; 当 x2=8 时,14﹣x=6; 答:两条直角边的长分别为 6,8. 【点评】考查一元二次方程的应用;用到的知识点为:直角三角形的面积=两直角边积的一 半. 19.某工厂在两年内机床年产量由 400 台提高到 900 台,求机床产量的年平均增长率. 【考点】一元二次方程的应用. 【专题】增长率问题. 【分析】利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),设机床产量的年平均增长率为 x, 根据“某工厂在两年内机床年产量由 400 台提高到 900 台”,即可得出方程. 【解答】解:设机床产量的年平均增长率为 x,依题意有 2 400(1+x) =900, 解得:x1=0.5=50%,x2=﹣2.5(舍去). 答:机床产量的年平均增长率为 50%. n 【点评】此题考查一元二次方程的实际运用,掌握复利公式:“a(1+x%) =b”是解决本题 的关键.
2

12

20.一个二次函数的图象经过(﹣2,5),(2,﹣3),(4,5)三点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)写出这个二次函数图象的与坐标轴的交点坐标. 【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质. 【专题】计算题. 2 【分析】(1)设一般式 y=ax +bx+c,然后把三个点的坐标代入得到关于 a、b、c 的方程组, 然后解方程组即可; (2)先把(1)中解析式配成顶点式,然后根据二次函数的性质求解; (3)分别计算函数值为 0 所对应的自变量的值和自变量为 0 时所对应的函数值,即可得到 二次函数图象的与坐标轴的交点坐标. 2 【解答】解:(1)设抛物线解析式为 y=ax +bx+c,

根据题意得



解得


2

所以抛物线解析式为 y=x ﹣2x﹣3; 2 (2)y=(x﹣1) ﹣4, 这个二次函数图象的开口向上,对称轴为直线 x=1,顶点坐标为(1,﹣4); 2 (3)当 x=0 时,y=x ﹣2x﹣3=﹣3,则二次函数与 y 轴的交点坐标为(0,﹣3); 当 y=0 时,x ﹣2x﹣3=0,解得 x1=﹣1,x2=3. 则二次函数与 x 轴的交点坐标为(﹣1,0)和(3,0). 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式: 在利用待定系数法求二次函数关系式 时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当 已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物 线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与 x 轴有两个交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质. 四、解答题(本题共 6 小题,其中 21、22 题各 9 分,23 题 10 分,共 28 分) 2 21.如图,直线 y=x+m 和抛物线 y=x +bx+c 都经过点 A(1,0),B(3,2). (1)求 m 的值和抛物线的解析式; 2 (2)求不等式 x +bx+c>x+m 的解集.(直接写出答案)
2

13

【考点】二次函数与不等式(组);待定系数法求二次函数解析式. 2 【分析】(1)分别把点 A(1,0),B(3,2)代入直线 y=x+m 和抛物线 y=x +bx+c,利用 2 待定系数法解得 y=x﹣1,y=x ﹣3x+2; 2 (2)根据题意列出不等式,直接解二元一次不等式即可,或者根据图象可知,x ﹣3x+2>x ﹣1 的图象上 x 的范围是 x<1 或 x>3. 2 【解答】解:(1)把点 A(1,0),B(3,2)分别代入直线 y=x+m 和抛物线 y=x +bx+c 得:

0=1+m,



∴m=﹣1,b=﹣3,c=2, 2 所以 y=x﹣1,y=x ﹣3x+2; (2)x ﹣3x+2>x﹣1,解得:x<1 或 x>3. 【点评】 主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质. 要具备读图的能 力. 22.商场某种新商品每件进价是 120 元,在试销期间发现,当每件商品售价为 130 元时,每 天可销售 70 件,当每件商品售价高于 130 元时,每涨价 1 元,日销售量就减少 1 件.据此 规律,请回答: (1)当每件商品售价定为 170 元时,每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少? (2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日 盈利可达到 1600 元?(提示:盈利=售价﹣进价) 【考点】一元二次方程的应用. 【专题】销售问题. 【分析】(1)首先求出每天可销售商品数量,然后可求出日盈利. (2)设商场日盈利达到 1600 元时,每件商品售价为 x 元,根据每件商品的盈利×销售的件 数=商场的日盈利,列方程求解即可. 【解答】解:(1)当每件商品售价为 170 元时,比每件商品售价 130 元高出 40 元, 即 170﹣130=40(元),(1 分) 则每天可销售商品 30 件,即 70﹣40=30(件),(2 分) 商场可获日盈利为(170﹣120)×30=1500(元).设商场日盈利达到 1600 元时,每件商品 售价为 x 元,
2

14

则每件商品比 130 元高出(x﹣130)元,每件可盈利(x﹣120)元(4 分) 每日销售商品为 70﹣(x﹣130)=200﹣x(件)(5 分) 依题意得方程(200﹣x)(x﹣120)=1600(6 分) 2 2 整理,得 x ﹣320x+25600=0,即(x﹣160) =0(7 分) 解得 x=160(9 分) 答:每件商品售价为 160 元时,商场日盈利达到 1600 元.注意变化率所依据的变化规律, 找出所含明显或隐含的等量关系; n (2)可直接套公式:原有量×(1+增长率) =现有量,n 表示增长的次数. 23.如图,抛物线 y=ax +bx﹣4a 经过 A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标.
2

【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化对称. 【专题】压轴题. 2 【分析】(1)由于抛物线 y=ax +bx﹣4a 经过 A(﹣1,0)、C(0,4)两点,利用待定系数 法即可确定抛物线的解析式; (2)由于点 D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,把 D 的坐标代入(1)中的解析式即可求 出 m,然后利用对称就可以求出关于直线 BC 对称的点的坐标. 2 【解答】解:(1)∵抛物线 y=ax +bx﹣4a 经过 A(﹣1,0)、C(0,4)两点,





解之得:a=﹣1,b=3, 2 ∴y=﹣x +3x+4; (2)∵点 D(m,m+1)在第一象限的抛物线上, ∴把 D 的坐标代入(1)中的解析式得 2 m+1=﹣m +3m+4, ∴m=3 或 m=﹣1, ∴m=3,

15

∴D(3,4), 2 ∵y=﹣x +3x+4=0,x=﹣1 或 x=4, ∴B(4,0), ∴OB=OC, ∴△OBC 是等腰直角三角形, ∴∠CBA=45° 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ∵C(0,4) ∴CD∥AB,且 CD=3 ∴∠ECB=∠DCB=45° ∴E 点在 y 轴上,且 CE=CD=3 ∴OE=1 ∴E(0,1) 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为(0,1);

【点评】此题考查传统的待定系数求函数解析式,第二问考查点的对称问题,作合适的辅助 线,根据垂直和三角形全等来求 P 点坐标 24.某企业加工一台大型机械设备润滑用油 90 千克,用油的重复利用率为 60%,按此计算, 加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克. 通过技术革新后, 不仅降低了润滑用油量, 同时也提高了用油的重复利用率, 并且发现润滑用油量每减少 1 千克, 用油量的重复利用率 增加 1.6%,这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克,问技术革新后,加工 一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少? 【考点】一元二次方程的应用. 【分析】设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克,由“实际耗油量下降到 12 千克”列方程得 x×[1﹣(90﹣x)×1.6%﹣60%]=12,解方程求解即可. 【解答】解:设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克, 由题意得:x×[1﹣(90﹣x)×1.6%﹣60%]=12, 2 整理得:x ﹣65x﹣750=0, 因式分解得:(x﹣75)(x+10)=0, 解得 x1=75,x2=﹣10(舍去) ∴用油的重复利用率:(90﹣75)×1.6%+60%=84%. 答:技术革新后,乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是 75 千克,用油的重复利用率 是 84%. 【点评】此题考查了列一元二次方程在实际中的应用;同时考查了学生分析问题、解决问题

16

的能力.分析数量关系、探究等量关系是列方程解应用题的关键.

25.如图,抛物线 y= x +bx﹣2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(﹣1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (3)点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最小时,求 m 的值.

2

【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)把 A 点的坐标代入抛物线解析式,求 b 的值,即可得出抛物线的解析式,根 据顶点坐标公式,即可求出顶点坐标; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)根据直角三角形的性质,推出 AC =OA +OC =5,BC =OC +OB =20,即 AC +BC =25=AB ,即 可确定△ABC 是直角三角形; (3)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′,则 C′(0,2),OC'=2.连接 C'D 交 x 轴于点 M, 根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD 的值最小.首先确定最小值,然后根据三角 形相似的有关性质定理,求 m 的值 【解答】解:(1)∵点 A(﹣1,0)在抛物线 y= x +bx﹣2 上, ∴ ×(﹣1 ) +b×(﹣1)﹣2=0,解得 b= ∴抛物线的解析式为 y= x ﹣ x﹣2. y= x ﹣ x﹣2 = ( x ﹣3x﹣4 ) = (x﹣ ) ﹣
2 2 2 2 2 2

, ).

∴顶点 D 的坐标为 ( ,﹣

(2)当 x=0 时 y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2. 当 y=0 时, x ﹣ x﹣2=0,∴x1=﹣1,x2=4,∴B (4,0) ∴OA=1,OB=4,AB=5.
2

17

∵AB =25,AC =OA +OC =5,BC =OC +OB =20, 2 2 2 ∴AC +BC =AB .∴△ABC 是直角三角形. (3)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′,则 C′(0,2),OC′=2, 连接 C′D 交 x 轴于点 M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD 的值最小. 解法一:设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E. ∵ED∥y 轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴

2

2

2

2

2

2

2

∴ ∴m= .



解法二:设直线 C′D 的解析式为 y=kx+n,





解得: ∴ ∴当 y=0 时, ∴ .

. . , .

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称 性质以及相似三角形的性质,关键在于求出函数表达式,作出辅助线,找对相似三角形.

18

26.如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,矩形 OABC 的顶点 A( ∠AOC=30°,将△AOC 沿 AC 翻折得△APC. (1)求点 P 的坐标;

,0),C(0,1),

(2)若抛物线 y=﹣ x +bx+c 经过 P、A 两点,试判断点 C 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)设(2)中的抛物线与矩形 0ABC 的边 BC 交于点 D,与 x 交于另一点 E,点 M 在 x 轴上 运动,N 在 y 轴上运动,若以点 E、M、D、N 为顶点的四边形是平行四边形,试求点 M、N 的 坐标.

2

【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)利用翻折变换的性质得出 OA=AP= ,∠PAC=∠OAC=30°,则∠PAO=60°.过

P 作 PQ⊥OA 于 Q,解 Rt△PAQ,求出 AQ、PQ 的长,进而可得到点 P 的坐标; (2)将 P、A 两点的坐标代入抛物线的解析式中,得到 b、c 的值,从而确定抛物线的解析 式,然后将 C 点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可; (3)根据抛物线的解析式易求得 D、E 点的坐标,然后分两种情况考虑: ①DE 是平行四边形的对角线,由于 CD∥x 轴,且 C 在 y 轴上,若过 D 作直线 CE 的平行线, 那么此直线与 x 轴的交点即为 M 点,而 N 点即为 C 点,D、E 的坐标已经求得,结合平行四 边形以及平移的性质即可得到点 M 的坐标,而 C 点坐标已知,即可得到 N 点的坐标; ②DE 是平行四边形的边,由于 A 在 x 轴上,过 A 作 DE 的平行线,与 y 轴的交点即为 N 点, 而 M 点即为 A 点;根据平行四边形以及平移的性质即可得到 N 点的坐标; 同理,由于 C 在 y 轴上,且 CD∥x 轴,过 C 作 DE 的平行线,也可找到符合条件的 M、N 点, 解法同上. 【解答】解:(1)∵矩形 OABC 的顶点 A( ∴OA= ,OC=1,∠AOC=90°, ,0),C(0,1),

∴∠OAC=30°. ∵将△AOC 沿 AC 翻折得△APC, ∴OA=AP= ,∠PAC=∠OAC=30°,

∴∠PAO=60°. 过 P 作 PQ⊥OA 于 Q. ∵在 Rt△PAQ 中,∠PAQ=60°,AP= ,
19

∴AQ= AP= ∴OQ=OA﹣AQ= ∴P(

,PQ= ﹣

AQ= , = ,

, );

(2)∵抛物线 y=﹣ x +bx+c 经过 P(

2

, ),A(

,0),





解得
2



即 y=﹣ x + x+1; ∵当 x=0 时,y=1, ∴C(0,1)在该抛物线的图象上; (3)①若 DE 是平行四边形的对角线,点 C 在 y 轴上,CD∥x 轴, 过点 D 作 DM∥CE 交 x 轴于 M,则四边形 EMDC 为平行四边形,EM=CD. 把 y=1 代入抛物线解析式得点 D 的坐标为( 把 y=0 代入抛物线解析式得点 E 的坐标为(﹣ ∵EM=CD= ∴M( , ,1), ,0),

,0);N 点即为 C 点,坐标是(0,1);

②若 DE 是平行四边形的边, 过点 A 作 AN∥DE 交 y 轴于 N,四边形 DANE 是平行四边形,AN∥DE,AN=DE. ∵D( ,1),E(﹣ ,0),
20

∴D 点向左平移 ∴点 A(

个单位,再向下平移 1 个单位得到点 E, 个单位,再向下平移 1 个单位得到点 N, ,0);

,0)向左平移

∴N(0,﹣1),M 点即为 A 点,M(

同理过点 C 作 CM∥DE 交 y 轴于 N,四边形 CMED 是平行四边形, ∴M(﹣ ,0),N(0,1).

【点评】 此题是二次函数综合题, 其中涉及到矩形的性质、 图形的翻折变换、 解直角三角形、 二次函数解析式的确定、平行四边形的判定和性质、平移的性质等知识,综合性较强,难度 适中.利用数形结合、分类讨论是解题的关键.

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