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二项式定理2二项式系数的性质


二项式定理 (2)

【复习引入】
1.二项式定理的内容:
0 n 1 n?1 2 n?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ??
n? r r n a b ? ? ? ? b ?C n Cn r n

2.通项公式: Tr+1=Cnr an-rbr

3.二项式的项的系数与二项式系数:

【新课探究】
二项式系数的性质:

【二项式系数的性质】
1)对称性 观察杨辉三角:对称性如何? 结论:与首末两端“等距离”的两个二项式 系数相等。 这一性质可直接由公式得到。

二项式系数的性质
2)增减性与最大值 1。观察杨辉三角:增减性与最大值如何?

2。对一切的正整数n,你能猜想出结论吗?

3。你能证明你的猜想吗?

二项式系数的性质
思考:研究数列的增减性与最大值的基本 策略是什么? 计算下式并判断增减性:
C C
k n k ?1 n

??

二项式系数的性质
增减性: 时,二项式系数是逐渐增 大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐 减小的,且中间项取得最大值。

最大值:当n为偶数时,中间一项的二项式 系数取得最大值;当n为奇数时,中间两项 的二项式系数相等,且同时取得最大值。

二项式系数的性质
3)各二项式系数的和 在二项式定理中,令a=b=1,可得:

结论:展开式的各二项式系数的和等于2n。 赋值法:
1.依据:二项式定理是恒等式;

2.选择适当的数代入。

【典例分析】
例1.证明在 的展开式中,奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数 的和。

【典例分析】
例2.已知 的展开式中,第4项的 二项式系数是倒数第2项的二项式系数的 7倍,求展开式中x的一次项。

【典例分析】
例3.已知 比 240,求 的展开式中的系数和 的展开式中的二项式系数和大 的展开式中的第3项。

【典例分析】
例4.在二项式 求系数最小的项的系数。 的展开式中,

【实战演练】
1.设: 求 的值。

【能力提高】
2.求 的是第几项? 的展开式中系数最大

【小结】
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数,它有三条性质: 1.对称性; 2.增减性与最大值; 3.各系数和的性质。(赋值法)






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