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第二章 2.2 2.2.2 第一课时 对数函数的图象及性质


2.2 2.2.2

1 理解教 材新知

知识点一 知识点二 题型一 题型二 题型三

第 二 章

第一 课时 对数 函数 的图 象及 性质

2 突破常 考题型 3 跨越高 分障碍

4 应用落 实体验

随堂即时演练 课时达标检测

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2.2

对数函数

2.2.2

对数函数及其性质

第一课时

对数函数的图象及性质

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对数函数的概念 [提出问题]
在指数函数中我们已经知道,某种放射性物质若最初的 质量为1,则经过x年,该物质的剩留量为y=0.84x. 问题1:经过多少年这种物质的剩留量为0.5?

提示:0.84x=0.5?x=log0.840.5.
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问题2:若经过y年的剩留量为x,能用x表示y吗? 提示:能,y=log0.84x. 问题3:上述等式中y是x的函数吗? 提示:是,符合函数的定义.

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[导入新知]
对数函数的定义 函数 y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域是 (0,+∞) .

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[化解疑难] 对数函数概念的注意点 (1)对数函数的概念与指数函数类似,都是形式定义,注意 x 辨别.如:y=2log2x,y=log55都不是对数函数,可称其为对数 型函数. (2)由指数式与对数式的关系知,对数函数的自变量x恰好 是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+∞). (3)对数函数对底数的限制:a>0,且a≠1.
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对数函数的图象和性质 [提出问题]
问题 1:试作出 y=log2x 和 y=log 1 x 的图象.
2

提示:

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问题2:两图象与x轴交点坐标是什么? 提示:交点坐标为(1,0). 问题3:两函数单调性如何?

提示:y=log2x 是增函数,y=log 1 x 是减函数.
2

问题 4:函数 y=2x 与y= log2x的图象有什么关系?定义域、 值域有什么关系? 提示:图象关于直线y=x对称,定义域和值域互换.

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[导入新知]

1.对数函数的图象与性质 a> 1 0<a<1

图象

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a>1

0<a<1 定义域: (0,+∞)

性 质

值域:R 过点 (1,0) ,即当 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数

2.对数函数与指数函数的关系 指数函数 y=ax 和对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互 为反函数.
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[化解疑难] a 对对数函数的图象的影响 (1)底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当 a>1 时,对数函数的图象“上升”;当 0<a<1 时,对数函数的图象 “下降”. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是 a>1 还是 0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐 渐变大. (3)函数 y=logax 与 y=log 1 x(a>0,且 a≠1)的图象关于 x 轴对称.
a

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对数函数的概念

[例 1]

判断下列函数是否是对数函数?并说明理由.

①y=logax2(a>0,且 a≠1); ②y=log2x-1; ③y=2log8x; ④y=logxa(x>0,且 x≠1); ⑤y=log5x.
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[解]

∵①中真数不是自变量 x,

∴不是对数函数; ∵②中对数式后减 1,∴不是对数函数; ∵③中 log8x 前的系数是 2,而不是 1, ∴不是对数函数; ∵④中底数是自变量 x,而非常数 a, ∴不是对数函数. ⑤为对数函数.

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[类题通法] 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如 y=logax(a>0 且 a≠1) 的形式,即必须满足以下条件: ①系数为 1. ②底数为大于 0 且不等于 1 的常数. ③对数的真数仅有自变量 x.

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[活学活用] 函数 f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x 是对数函数,则实数 a=_______.
解析:a2-a+1=1,解得 a=0 或 1. 又 a+1>0,且 a+1≠1,∴a=1.

答案:1

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对数函数的图象
[例 2] (1)函数 y=loga(x+1)-2(a>0, 且 a≠1)的图象恒过

点________. (2) 如图所示的曲线是对数函数 y = logax , y = logbx , y = logcx, y=logdx 的图象, 则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为________.

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[解析]

(1)因为函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象恒过点

(1,0),则令 x+1=1 得 x=0,此时 y=loga(x+1)-2=-2, 所以函数 y=loga(x+1)-2(a>0,且 a≠1)的图象恒过点 (0,-2). (2)由图可知函数 y=logax,y=logbx 的底数 a>1,b>1,函 数 y=logcx,y=logdx 的底数 0<c<1,0<d<1. 过点(0,1)作平行于 x 轴的直线,则直线与四条曲线交点的 横坐标从左向右依次为 c,d,a,b,显然 b>a>1>d>c.

[答案] (1)(0,-2)

(2)b>a>1>d>c
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[类题通法] 1.对数函数图象过定点问题 求函数 y=m+logaf(x)(a>0,且 a≠1)的图象过的定点时,只 需令 f(x)=1 求出 x,即得定点为(x,m). 2.对数函数图象的判断 根据对数函数图象判断底数大小的方法: 作直线 y=1 与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数, 依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐 变大,可比较底数的大小.
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[活学活用] 已知 a>0, 且 a≠1, 则函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能 是 ( )

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解析:法一:若 0<a<1,则函数 y=ax 的图象下降且过点(0,1),而函 数 y=loga(-x)的图象上升且过点(-1,0),以上图象均不符合. 若 a>1,则函数 y=ax 的图象上升且过点(0,1),而函数 y=loga(-x) 的图象下降且过点(-1,0),只有 B 中图象符合.
法二:首先指数函数 y=ax 的图象只可能在上半平面,函数 y=loga(-x) 的图象只可能在左半平面,从而排除 A,C;再看单调性,y=ax 与

y=loga(-x)的单调性正好相反,排除 D.只有 B 中图象符合.

答案:B
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与对数函数有关的定义域问题
[例 3] 求下列函数的定义域

(1)y=log5(1-x);(2)y=log1-x5; ln?4-x? (3)y= ;(4)y= log0.5?4x-3? x-3 [解] (1)要使函数式有意义,需 1-x>0,解得 x<1,所

以函数 y=log5(1-x)的定义域是{x|x<1}.
? ?1-x>0, (2)要使函数式有意义, 需? ? ?1-x≠1,

解得 x<1, 且 x≠ 0,

所以函数 y=log1-x5 的定义域是{x|x<1,且 x≠0}.
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? ?4-x>0, (3)要使函数式有意义,需? ? ?x-3≠0,

解得 x<4,且 x≠3,

ln?4-x? 所以函数 y= 的定义域是{x|x<4,且 x≠3}. x-3
? ?4x-3>0 (4)要使函数式有意义, 需? ? ?log0.5?4x-3?≥0

3 , 解得4<x≤1,

3 所以函数 y= log0.5?4x-3?的定义域是{x|4<x≤1}.

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[类题通法] 求对数函数定义域应注意的问题 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函 数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在真 数上,则必须保证真数大于 0;若自变量在底数上,应保证底数 大于 0 且不等于 1.

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[活学活用] 求下列函数的定义域: 1 (1)y=log x; 2 (2)y= lg?x-3?; (3)y=log2(16-4x); (4)y=logx-1(3-x).
? ?x>0, 解:(1)要使函数式有意义,需? ? ?log2x≠0,

解得 x>0,且 x≠1.

1 ∴函数 y=log x的定义域是{x|x>0,且 x≠1}. 2
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? ?x-3>0, (2)要使函数式有意义,需? ? ?lg?x-3?≥0,

? ?x-3>0, 即? ? ?x-3≥1,

解得 x≥4. ∴所求函数的定义域是{x|x≥4}. (3)要使函数式有意义,需 16-4x>0,解得 x<2. ∴所求函数的定义域是{x|x<2}. ?3-x>0 ? (4)要使函数式有意义,需?x-1>0 ?x-1≠1 ?

,解得 1<x<3,且 x≠2.

∴所求函数的定义域是{x|1<x<3,且 x≠2}.
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6.对数型函数的值域?或最值?问题
1 (12 分)设 x≥0,y≥0,且 x+2y=2,求函数

[典例]

1 z=log2(8xy+4y2+1)的最大值与最小值.

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[规范解答] 1 1 ∵x+2y=2,∴2y=2-x. 设p=8xy+4y2+1,则
?1 ? ?1 ?2 p=4x?2-x?+?2-x? +1= ? ? ? ?

[名师批注]
采用换元法,令真数 为 p,然后利用对数 函数的单调性解决 问题.

5 -3x +x+4
2

? 1?2 4 =-3?x-6? +3.(4分) ? ?

1 又∵x≥0,y≥0,x+2y=2, 1 1 ∴2-x=2y≥0,即x≤2,(6分)

此处是隐含条件的挖掘, 解题时极易忽视,认为 x≥0,从而错误的认为 4 p≥3,进而导致解题错误.
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1 ∴0≤x≤2,在此范围内, 1 4 当x=6时,p取最大值为3;(7分) 1 当x=2时,p取最小值为1.(8分)

此处利用二次函数的 性质确定p的最值.
指明函数的单调性, 利用单调性求最值. 解题时常忽视指明此 条件,而直接得出函 数的最值,造成解题

1 ∵0<2<1,∴log 1 p是p的减函数.(10分) 2 因此,函数log 1 (8xy+4y2+1)的最大值是
2

4 log 1=0;最小值是log 3.(12分)
1 2 1 2

步骤不完整而失分.
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[活学活用] 求下列函数的值域: (1)y=log2(x2+4);(2)y=log 1 (3+2x-x2).
2

解:(1)y=log2(x2+4)的定义域为R. ∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2. ∴y=log2(x2+4)的值域为{y|y≥2}.

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(2)设 u=3+2x-x2,则 u=-(x-1)2+4≤4. ∵u>0,∴0<u≤4. 又 y=log 1 u 在(0,+∞)上是减函数,
2

∴log 1 u≥log 1 4=-2,
2 2

∴y=log 1 (3+2x-x2)的值域为{y|y≥-2}.
2

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[随堂即时演练]

1 1.函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是 1-x A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞)
解析:由题意知
? ?1+x>0, ? ? ?1-x≠0,

(

)

B.(1,+∞) D.(-∞,+∞)

解得 x>-1 且 x≠1.

答案:C
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2.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只能是(

)

解析:因为 a>1,所以 y=logax 为增函数,且函数图象过定 点(1,0),故排除 C,D.又 1-a<0,所以直线 y=(1-a)x 应 过原点,且经过第二象限和第四象限.故选 B.

答案:B

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3.已知对数函数过点(2,4),则 f(x)的解析式为________.

解析:设 f(x)=logax,则由 f(2)=loga2=4 得 a =2,∴a= 2, ∴f(x)=log 2x. 4 答案:f(x)=log 2x
4.数 f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图象必经过 点________.
4

4

4

解析:当 x=2 时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以图象必经 过点(2,2).
答案:(2,2)
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5.已知 f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图象; (2)若 f(a)<f(2),利用图象求 a 的取值范围.

解:(1)作出函数 y=log3x 的图象如图所示.

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(2)令 f(x)=f(2),即 log3x=log32, 解得 x=2. 由图象知:当 0<a<2 时, 恒有 f(a)<f(2).
“课时达标检测”见“课时

跟踪检测(十八)”

∴所求 a 的取值范围为 0<a<2.

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