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复合函数的导数练习题


技能演练

[ 来源:中.国教.育 出.版网]

基 础 强 化 1.函数 y=cosnx 的复合过程正确的是( A.y=un,u=cosxn B.y=t,t=cosnx C.y=tn,t=cosx D.y=cost,t=xn 答案 C 2.y=ex2-1 的导数是( A.y′=(x2-1)ex C.y′=(x2-1)ex 解析 y′=ex 答案 B 3.下列函数在 x=0 处没有切线的是( A.y=3x2+cosx 1 C.y= +2x x ) B.y=xsinx 1 D.y= cosx
2
-1

)

) B.y′=2xex D.y′=ex
2
-1

2

-1

2

-1

2

-1

(x2-1)′=ex

· 2x.

1 1 解析 因为 y= +2x 在 x=0 处没定义,所以 y= +2x 在 x=0 处没有切线. x x 答案 C 4.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 解析 设切点为(x0,x2 0),则斜率 k=2x0=2, ∴x0=1,∴切点为(1,1). 故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 答案 D 5.y=loga(2x2-1)的导数是( 4x A. 2 ?2x -1?lna 1 C. 2 ?2x -1?lna ) 4x B. 2 2x -1 2x2-1 D. lna B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0
[ 来源:zzstep.com]

)

1 4x 解析 y′= 2 (2x2-1)′= 2 . ?2x -1?lna ?2x -1?lna 答案 A

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6.已知函数 f(x)= ax2-1,且 f′(1)=2,则 a 的值为( A.a=1 C.a= 2 解析 = = 1 1 f′(x)= (ax2-1)- · (ax2-1)′ 2 2 B.a=2 D.a>0

)

1 · 2ax 2 ax2-1 ax . ax2-1

由 f′(1)=2, 得 a =2,∴a=2. a-1

答案 B 7.曲线 y=sin2x 在点 M(π,0)处的切线方程是________. 解析 y′=(sin2x)′=cos2x· (2x)′=2cos2x, ∴k=y′|x=π=2. 又过点(π,0),所以切线方程为 y=2(x-π). 答案 y=2(x-π) f′?x? 8.f(x)=e2x-2x,则 x =________. e -1 解析 ∴ f′(x)=(e2x)′-(2x)′=2e2x-2=2(e2x-1).
[ 来源:zzs tep.com]

f′?x? 2?e2x-1? = x =2(ex+1). ex-1 e -1

答案 2(ex+1) 能 力 提 升 9.已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像都过点 P(2,0),且在点 P 处有相同的 切线.求实数 a,b,c 的值. 解 ∵函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像都过点 P(2,0),

?2×23+2a=0, ? ∴? 得 a=-8,4b+c=0, 2 ? ?b×2 +c=0,

∴f(x)=2x3-8x,f′(x)=6x2-8. 又当 x=2 时,f′(2)=16,g′(2)=4b, ∴4b=16,∴b=4,c=-16. ∴a=-8,b=4,c=-16. 1 10.已知函数 f(x)=lnx,g(x)= x2+a(a 为常数),直线 l 与函数 f(x)、g(x)的图像都相切, 2

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且 l 与函数 f(x)图像的切点的横坐标为 1,求直线的方程及 a 的值. 解 1 ∵f(x)=lnx,∴f′(x)= ,∴f′(1)=1, x

即直线 l 的斜率为 1,切点为(1,0). ∴直线 l 的方程为 y=x-1. y=x-1, ? ? 1 又 l 与 g(x)的图像也相切,等价于方程组? 1 2 只有一解,即方程 x2-x+1+a 2 ?y=2x +a ? =0 有两个相等的实根,
[ 来源:中教网]

1 1 ∴Δ=1-4× (1+a)=0,∴a=- . 2 2 品 味 高 考 11. 曲线 y=e 1 A. 3 2 C. 3
-2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为(

)

1 B.- 2 D.1
-2x

解析 ∵y′=(-2x)′e

=-2e

-2x



∴k=y′|x=0=-2e0=-2, ∴切线方程为 y-2=-2(x-0), 即 y=-2x+2.
? ?y=-2x+2, 2 2 如图,由? 得交点坐标为( , ), 3 3 ? ?y=x,

y=-2x+2 与 x 轴的交点坐标为(1,0), 1 2 1 ∴所求面积为 S= ×1× = . 2 3 3 答案 A 12.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( )

第 3 页 共 4 页

A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 解析 ∵y=x2+ax+b,∴y′=2x+a. ∵在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0, ∴f′(0)=a=1.
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B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1

又 0-b+1=0,∴b=1. 答案 A

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