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【课堂例题】2014年秋季第二讲:体育比赛中的数学 (1)


给孩子受益一生的教育

第二讲:体育比赛中的数学
一、三种赛制 1、淘汰赛:总场数=n-1 2、单循环赛:总场数=n×(n-1)÷2 3、双循环赛:总场数=n×(n-1) 二、两大方法 1、点线图(与场次有关) 2、列表法(与分数相关) 规律:胜场数=负场数 ;平场数为偶数 三、两种计分方法 ①、2-1-0 积分 总分=总场数×2 ②、3-1-0 积分 总分最高=总场数×3 总分最低=总场数×2 注意:涉及到积分制的题目比较难,一般情况下先求场次,再求总分,各个击破

【淘汰赛】
【引】A、B、C、D 四个队伍两两配对,进行淘汰赛决出冠军,那么一共需要比赛多少场?

【例】8 个队两两配对,进行淘汰赛,要决出冠军,那么一共需要比赛多少场?

提高【例 1】艾迪组织 16 个人去体育场进行淘汰赛决出冠军,一共比赛多少场? 【练】32 个队进行淘汰赛决出冠军,一共比赛多少场? 【改】15 个队进行淘汰赛决出冠军,一共比赛多少场?

【单循环赛】
【例】A、B、C、D 四个队伍进行单循环赛,每两个人都要比赛一场,比赛完成后,每个人 比赛多少场?一共比赛多少场? 【分析】 :①相当于握手问题:3+2+1=6 场

给孩子受益一生的教育 ②每个队伍参加 3 场比赛,共四个队伍,参加 3×4=12 场,但是每次比赛在这个 过程中都被重复计算一次,故 12÷2=6 场 总结:场次=(队伍数-1)×队伍数÷2=(4-1)×4÷2=6 场 【练 1】六个队伍进行单循环赛,每个人要赛多少场?一共要赛多少场? 【练 2】十个队伍进行单循环赛,一共需要进行多少场比赛?

提高【例 2】20 名羽毛球运动员参加单打比赛,两两配对进行单循环赛 (1) 那么冠军一共要比赛多少场? (2) 一共要进行多少场比赛? 【挑战】学而思 5 个部门参加秋季运动会,每个部门出 2 个代表队,进行单循环,在 5 个 体育场,那么每个体育场平均举行多少场比赛?

【挑】世界杯足球赛共有 32 个国家参加,比赛分为两个阶段:第一阶段,每四个国家分为 一组, 共八个小组, 每个小组内进行单循环比赛, 小组前两名晋级下一轮比赛, 第二个阶段, 晋级的 16 个国家的队伍进行淘汰赛,最后决出冠、亚、季军,问:世界杯共进行多少场比 赛? 【分析】 :第一阶段,每个小组进行单循环 比赛场次=(队伍数-1)×队伍数÷2=(4-1)×4÷2=6 场,8 个小组共 6×8 场。 第二阶段,16 支队伍进行淘汰赛,决出冠军,比赛场次=(队伍数-1)=15, 但是,此处还须决出亚军和季军,故还须再进行一场比赛。 因此,世界杯比赛的总场数=48+15+1=64 场。 提高【例 2 练一练】一些队伍进行单循环赛,一共需要进行 36 场比赛,有多少队伍参加?

【练】学而思老师进行学而思吃饭大赛,赛制为单循环赛,共进行了 28 场比赛,有多少人 参加? 【引】A、B、C、D 四名同学进行跳棋比赛,采用单循环的赛制,比赛进行到某一时刻的时 候,A 比赛了 1 场,B 比赛了 2 场,C 比赛了 3 场,此时 D 赛了机场? 【分析】 : ①分别用点代表每个队伍②从比赛场数最多的开始③用比赛场数最少的队伍验证, 具体如下 ① 用四个字母表示四支队伍,用一条线表示他们之间进行比赛,如图(1) ② 从从比赛场数最多的开始, 也就是 C, 这里要跟 A, B,D 都比赛一场, 如图 (2)

给孩子受益一生的教育 ③ 用最少的 A 验证,至此,A 和 C 两支队伍可以确定 ④ 接下来从 B 除 C 之外最对的 B 开始分析,如图(3) ⑤ 分析完毕,发现与 D 相连的有两条线,故 D 比赛了两场

(1)

(2)

(3)

提高【例 3】A、B、C、D、E 五个队伍进行单循环赛到某一时刻,A:4 场、B:3 场、C: 2 场、D:1 场,求:E 参加了多少场比赛? 【答案】2 盘

提高例 3【练一练】假如 A 赛了 3 盘,B 赛2盘,C 盘赛1盘,D 赛 0 盘,问:此时 E 同 学赛了几盘? 【答案】2 盘

【挑】B 册子深化练习 7 小明和 7 个小伙伴进行下棋比赛,赛制为单循环赛,这 7 名小伙伴的比赛盘数恰好为连续 的自然数列,则:小明下棋的盘数是多少?

【积分赛】
【引】A、B、C 三个队伍进行单循环赛,胜者得 2 分,平者得 1 分,负者得 0 分,求: (1)比赛一共需要多少场? (2)赛后所有队伍的总得分是多少?

【练】5 个队通过单循环赛进行积分,胜者得 2 分,平者得 1 分,负者得 0 分,赛完后, 所有队的总得分是多少?

给孩子受益一生的教育 提高班【例 4】4 个队伍进行单循环赛,按照 2-1-0 积分 (1)四队总分是多少? (2)第一名最多多少分?第一名最少是多少分? (3)最后一名最多多少分? (4)甲、乙、丙分别 3、4、4 分,那么丁多少分?若甲有胜局,乙有平局,丙无平局,求: 丁同学得分是多少?【四人各几胜、几平、几负?】 【分析】 (1)四个人循环比赛总共比赛 4X3÷2=6 场,每场无论分出胜负还是打平,两人 的得分一定是 2 分,因此最终四个人的得分加起来一定是 6X2=12 分 (2) 第一名共赛 3 场,得分最多则全胜,得 3X2=6 分,得分最少,则 4 队分数相同,并列第一,最少可得 12÷4=3 分 (3) 最后一名分数最多,则其他人要少,则平均分,3 分 (4) 总分一其余 3 人分数=丁的分数 12-3-4-4=1 分 (5) 补充,每个队都比赛 3 场

甲3分 乙4分 丙4分 丁1分

胜2 1 1 2 0

负0 1 0 1 2

平1 1 2 0 1

【挑】有 A、B、C、D 四支足球队进行单循环赛,共要比赛多少场?规定:胜一场得 2 分, 平一场得 1 分,负一场得 0 分。全部比赛结束后,A、B 两队的总分并列第一名,C 队第二 名,D 队第三名。C 最多得多少分? 【引】A、B、C 三个队进行单循环赛赛,按 3-1-0 积分(胜者得 3 分,平局各得 1 分,负 者得 0 分) 求:(1)总分最多是多少分?(2)总分最少是多少分? 提高【例 5】四个足球队进行单循环赛赛,按 3-1-0 积分,比赛完后, (1)四个队的得分加起来可能是多少分? (2)第一名最多得多少分? (3)已知甲乙丙丁四队得分是 7 分、4 分、4 分、1 分,所以比赛中共有几场平局? 【分析】 (1)对于涉及到分数且复杂的体育比赛中的问题,第一步先求总场数,6 场。第二 步求总分数,最少 12 分,最多 18 分。 (2) 第一名共比赛 3 场,得分多,第一场胜,3X3=9 分 (3) 四队总分为 7+4+4+1=16 分,如果 6 场都为胜负局,则总分应该是 18 分,少了 2 分,原因是有胜负局变为了平局,一场胜负局变为平局,少 3-2=1 分,现在少了 2 分,则说明有 2 场平局

给孩子受益一生的教育 提高例 5【练一练】6 支球队进行足球比赛,每两支队伍之间都要赛一场,胜者得 3 分,平 局各得 1 分, 负者得 0 分, 全部比赛结束后, 发现有四场平局, 且其中 5 支球队共得 31 分, 则第 6 支球队得多少分? 【分析】6 支队伍共要比赛 6X5÷2=15 场,其中有 4 场平局,则有 11 场胜负局,那么 6 支队总得分是 2X4+3X11=41 分,由于有 5 支球队共得了 31 分,所以第 6 支球队得了 41-31=10 分 尖子班【例 6】2014 年”世界杯“足球赛中,甲、乙、丙、丁 4 支队伍进行单循环赛,规 定:胜者得 3 分,败者得 0 分,平局各得 1 分。已知:①四支队伍的最后得分为 4 个连续 奇数;②乙队总分第一;③丁队恰有两场同对方踢平,其中有一场是与丙队踢平;求:总分 第四是谁? 【分析】4 个队 3-1-0 积分,则得分范围为最少 12 分,最多 18 分。四支队伍的最后得分 为 4 个连续奇数,则可以 1+3+5+7=16;3+5+7+9=24 分(超过 18 分,不符) 则四个队确定得分为 1、3、5、7 由条件 2 可以知乙队:7 分 由条件 3 可以知丁队可以为 2 平+1 胜=5 分, 也可以为 2 平+1 负=2 分 (不符合条件奇数) 胜3 3分 乙7分 1分 丁5分 1 2 0 1 负0 2 0 2 0 平1 0 1 1 2

胜场数=负场数 ;平场数为偶数 丁恰好有两场平局,其中有一场是与丙队踢平,看表可以得分丙得 1 分,即为第四

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