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【新课标通用】,2014届高考文数,二轮复习方案,专题课件第7讲 ,三角函数的图像


核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第7讲 三角函数的图像 与性质

第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
1 . [2013· 东 卷 改 编 ] 已 知 广 ?5π ? 1① ? ? sin ? +α? = 5 , 那 么 cos α = ? 2 ? ________. 1 [答案] 5

——主干知识 ——
? 任意角的 三角函数 关键词:诱导公式 的应用、象限角的

[解析]

确定,如①②. π 5 1 sin π +α=sin +α=cosα = . 2 2 5

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
2. [2013· 四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,

——主干知识 ——

? 任意角的 π ② α ∈ 2 ,π , tan 2α 的值是________. 三角函数 则 关键词:诱导公式 [答案] 3

[解析] 已知 sin 2α =-sin α ,即 的应用、象限角的 π 确定,如①②. 2sin α cos α =-sin α , 又因为 α∈( , 2 1 π ),故 sin α ≠0,于是 cos α =- ,进 2 3 而 sin α = ,于是 tan α =- 3,则 2 2tan α 2(- 3) tan 2α = = = 3. 1-tan2α 1-3
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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
3 . [2013·全 国 卷 改 编 ] 若 如图 3-7-1 所示,则 ω=________.

——主干知识 ——
? 三角函数 的图像 关键词:三类 曲线的基本图像、 图像变换,如③.

图 3-7-1
[答案] 4

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

π [解析] 根据对称性可得 4 为已知函数的半个周期, 所以 2π π =2× 4 ,解得ω =4. ω

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
4 . [2013· 苏 卷 ] 函 数 y = 江 ? π? ④ ? 3sin ?2x+ ? 的 最小正周期 为 4? ? ? ________.

——主干知识 ——
? 三角函数 的性质 关键词:单调性、 对称性、周期性、 最值,如④⑤.

[答案] π
2π [解析] 最小正周期为 T= =π . 2

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 —— 5 . [2012· 课 标 全 国 卷 ] 已 知 新 ? π ?⑤ ? ω>0 , 函 数 f(x) = sin ?ω x+ ? 在 4? ? ? ?π ? ? ? ,π ?上单调递减,则 ω 的取值范 ?2 ? ? 围是________.

——主干知识 ——
? 三角函数 的性质 关键词:单调性、 对称性、周期性、

1 5 最值,如④⑤. [答案] [ , ] 2 4 ? π π? ? ? [解析] 函数 f(x)=sin?ω x+ ?的单调递减区间为 2 4? ?

π 3π π 5π π 5π ≤ω x+ ≤ ,则 ≤ω x≤ ,所以 ≤x≤ , 4 2 4 4 4ω 4ω π π 5π 1 5 则 ≤ 且 ≥π ,解得2≤ω ≤4. 4ω 2 4ω
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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

6 . [2013·四 川 卷 改 编 ] 函 数 ? y = Asin(ωx π f(x)=2sin(ωx+φ) ω >0,- 2 <φ +φ) 关键词: 解析式 π⑥ < 的部分图像如图 3-7-2 所示, ω, 则 2 的确定,如⑥. φ 的值分别是________.

图 3-7-2 π [答案] 2,- 3
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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

T 11π 5π π [解析] 由半个周期2 = 12 - 12 = 2 , ? y = Asin(ωx 可知周期 T=π ,从而 ω=2,于是 f(x)= +φ) 关键词: 解析式 5π 5π 2sin(2x+φ),当 x= 时,f( )=2,即 12 12 的确定,如⑥. 5π 5π π sin( 6 +φ)=1,于是 6 +φ=2kπ + 2 π π (k∈Z),因为- 2 <φ < 2 ,取 k=0,得 φ π =- 3 .

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第7讲

三角函数的图像与性质

—— 基础知识必备 ——

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向一 高考中三角函数的常见基本问题 考向:给定范围的角的三角函数值、象限角的确定. ? π ? π 3 ? ? 例 1 (1)已知 α∈?- ,0?, α =5, tan cos 则 (α + 4 ) 2 ? ? 等于( ) 1 1 A.- B. 7 7 C.-7 D.7 4 (2)已知 α 为第二象限角,cos α =-5,则 sin 2α = ________.

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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)A

24 (2)- 25

命 题 考 向 探 究

π 3 [解析] (1)∵α∈(- ,0) ,cos α = ,∴sin α = 2 5 sin α π tan α +1 4 4 -5, ∴tan α = =-3, (α + 4 ) tan = = cos α 1-tan α 4 - +1 3 1 4 =-7. 1+3 (2)因为 α 为第二象限角,所以 sin α = 1-cos2α = 3 24 5,则 sin 2α =2sin α cos α =-25.
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第7讲

三角函数的图像与性质

小结:三角函数的定义是求三角函数值的基础,同角
命 题 考 向 探 究

三角函数间的关系、诱导公式以及三角函数式的化简在运 算中起着重要的作用,解题时要注意依据已知条件正确地 选择公式,并注意应用公式所具备的条件.

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

变式题 (1)若点 P(cos α ,sin α )在直线 y=-2x 上, 则 sin 2α +2cos 2α =( ) 14 A.- B.-2 5 7 4 C.-5 D.5 2 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] 已知 sin 2α = ,则 3 ? π? 2? cos ?α + ?=________. 4? ? ?

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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)B
命 题 考 向 探 究

1 (2) 6

[解析] (1)把点 P 的坐标代入直线方程得 sin α = -2cos α ,所以 sin 2α +2cos 2α =2sin α cos α + 2(2cos2 α -1)=-2. π π 1+cos2α + 2 1-sin 2α 1 (2)cos2α + = = = . 4 2 2 6

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第7讲

三角函数的图像与性质

? 考向二 三角函数的图像 考向:函数图像的平移变换. 例 2 (1)为了得到函数 y=cos 2x 的图像(
命 题 考 向 探 究
? π ? y=sin?2x- 6 ? ? ? ?的图像,可以将函数 ?

)

π A.向右平移 个单位长度 6 π B.向右平移 3 个单位长度 π C.向左平移 6 个单位长度 π D.向左平移 3 个单位长度

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第7讲

三角函数的图像与性质

(2)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)在一个周期内的图像如 图 3-7-3 所示,则此函数的解析式是( )

命 题 考 向 探 究

图 3-7-3
? π ? A.y=2sin?2x- 4 ? ? 3π ? ? ? C.y=2sin?x+ 8 ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? B.y=2sin?2x+ ? 4? ? ? ? x 7π ? ? D.y=2sin? + ?2 16 ? ? ?

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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案]

(1)B

(2)B

命 题 考 向 探 究

π [解析] (1)y=cos 2x=sin 2x+ 4 ,因此要得到函数的图 π π π π 像,需要将 y=sin 2x+ 向右平移 + = 个单位长度. 4 4 12 3 5π π 2π (2)由图像可知 A=2, T=2 8 - 8 =π , 所以 ω= T = π 2,于是解析式为 y=2sin(2x+φ).因为图像过点( 8 ,2) , π π π 代入解析式得 sin2× 8 +φ=1,2× 8 +φ=2kπ + 2 ,取 φ π π = ,所以此函数的解析式为 y=2sin(2x+ ). 4 4
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第7讲

三角函数的图像与性质

方法指导

8.与图像有关的三角函数解析式的确定

三角函数图像的识别与变换是图像问题考查的重点,一般
命 题 考 向 探 究

给定图像的一部分,依据图像信息分别确定解析式中的三 个要素,由图中的最大(最小)值求 A,由周期求 ω,由点代 入解析式确定满足条件的 φ.而对于三角函数图像的变换, 只需要抓住变换的第一步即可,是左右平移|φ|个单位,还 是把横坐标伸缩 ω 倍.

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第7讲

三角函数的图像与性质

小结:根据三角函数解析式画三角函数图像的基本
命 题 考 向 探 究

方法是“五点法”,根据三角函数的图像求解函数解析 式,其实是“五点法”的运用.

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

π 变式题 (1)将函数 y= 3sin 2x 的图像向右平移 个单 4 1 位长度,再将所得图像的所有点的横坐标缩短到原来的2(纵 坐标不变),所得到图像的函数解析式为( ) A.y= 3sin x B.y=- 3cos x C.y= 3sin 4x D.y=- 3cos 4x ?π ? ? (2)将函数 y=2sin xsin? +x?的图像向右平移 φ(φ>0)个 ? ?2 ? ?π 3? ? 单位,使得平移后的图像仍过点? , ?,则 φ 的最小值为 2? ?3 ? ( ) π π π π A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)D

(2)A

命 题 考 向 探 究

π [解析] (1)y= 3sin 2x→y= 3sin 2x- 4 =- 3cos 2x→ y=- 3cos 4x. π 3 (2)平移后函数的解析式为 y=sin(2x-2φ),将( 3 , 2 ) 2π 2π π 2π 3 代入得 2 =sin 3 -2φ,于是 3 -2φ=2kπ + 3 或 3 -2φ 2π π =2kπ + (k∈Z),因为 φ>0,所以 φmin= . 3 6

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向三 三角函数的性质 考向:三角函数的周期性、对称性与解析式的确定,三 角函数的单调区间与最值.

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

π 例 3 (1)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)A≠0,ω>0,- 2 < π 2π φ < 2 的图像关于直线 x= 3 对称,它的周期是π ,则 ( ) ? 1? A.f(x)的图像过点?0,2? ? ? ?π 2π ? ? ? B.f(x)在? , 上是减函数 12 3 ? ? ? ?5π ? ? ? C.f(x)的图像的一个对称中心是? ,0? ? 12 ? D.f(x)的最大值是 4

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

π π (2)[2013· 天津卷] 函数 f(x)=sin 2x- 在区间[0, ] 4 2 上的最小值为( ) 2 A.-1 B.- 2 2 C. 2 D.0

[答案] (1)C

(2)B

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)依据周期是π 可得 f(x)=Asin(2x+φ), 因为图 2π 2π 4π 像关于直线 x= 对称,可知 sin2× +φ=±1,即 3 3 3 π π +φ=kπ + , k=1, 取 求得满足条件的 φ= , 因此 f(x) 2 6 π =Asin(2x+ ).因为 A 不能确定,答案 A,D 均不能判 6 5π π 断正确性, 错误. B 对于答案 C, 可验证 Asin (2× 12 + 6 ) =0,该答案正确. ? π ? π 3π ? π π? ? ? ? ? (2)∵x∈?0, ?,∴2x- 4 ∈?- , ,当 2x- 4 2? 4 4 ? ? ? ? π 2 =- 4 时,f(x)有最小值- 2 . .
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第7讲

三角函数的图像与性质

小结:三角函数的性质是高考重点内容之一,试题围
命 题 考 向 探 究

绕奇偶性、周期性、单调性、对称性、最值等来考查,全 面考查分析问题、解决问题的能力以及运算能力.题目特 点常表现为通过周期性、奇偶性、对称性来判断函数解析 式,再依据解析式研究单调性和最值.

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第7讲

三角函数的图像与性质

变式题 (1)函数 f(x)=sin 为( )
? A.?2kπ ? ? ? B.?2kπ ? ? ? C.?2kπ ? ? ? D.?2kπ ? ?

? π ? x-cos?x+ 6 ?

? ? ?的单调递增区间 ?

命 题 考 向 探 究

7π π? ? - 6 ,2kπ - 6 ?(k∈Z) ? π 5π ? ? - 6 ,2kπ + 6 ?(k∈Z) ? 4π π? ? - 3 ,2kπ - 3 ?(k∈Z) ? π 2π ? ? - 3 ,2kπ + 3 ?(k∈Z) ? ? π? ? (2)已知函数 f(x)=Asin?ω x+ ?(A>0,ω>0,x∈(-∞, 6? ? ? +∞))的最小正周期为 2,且 f(0)= 3,则 f(3)=( ) A.- 3 B. 3 C.-2 D.2
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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)D

(2)A

命 题 考 向 探 究

π 3 3 [解析] (1)f(x)=sin x-cosx+ 6 =2sin x- 2 cos x= π π π π 3sin(x- 6 ) ,由- 2 +2kπ ≤x- 6 ≤ 2 +2kπ 得 π 2π x∈[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z). 3 3 π (2)A=2 3,ω=π ?f(x)=2 3sin(π x+ 6 )? π f(3)=2 3sin(3π + )=- 3. 6

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第7讲

三角函数的图像与性质

? 考向四 三角函数的性质与图像的综合应用 考向:三角函数性质的综合运用、三角函数的模型应 用.
命 题 考 向 探 究

例 4 已知函数 f(x)=4sin

? π ? xcos?x+ 3 ?

? ? ?+ ?

3.

(1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? ? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值及取 4 6? ? ? 得最值时 x 的值.

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

规范解答 2.三角函数的性质与图像的综合应用 ? π π? ? 解:(1)f(x)=4sin x?cos xcos -sin xsin ?+ 3(4 分) 3 3? ? ? =2sin xcos x-2 3sin2x+ 3 ? π? ? =sin 2x+ 3cos 2x=2sin?2x+ ?,(5 分) 3? ? ? 2π 则 T= 2 =π .(6 分) π π 2π (2)因为- 6 ≤2x+ 3 ≤ 3 ,(8 分) ? π? 1 ? -2≤sin?2x+ ?≤1,所以-1≤f(x)≤2,(10 分) 3? ? ? π π π 当 2x+ 3 =- 6 ,即 x=- 4 时,f(x)min=-1; π π π 当 2x+ 3 = 2 ,即 x=12时,f(x)max=2.(12 分)

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第7讲

三角函数的图像与性质

【答题步骤】 第一步:利用两角和的三角函数公式化成 y= Asin(ωx+φ)的形式;
命 题 考 向 探 究

第二步:利用 T=



ω

确定函数的最小正周期; π 2x+ 3 的取值范围,

? π π? 第三步: 在区间?- , ?内求 ? ? 4 6? ?

以确定 f(x)的最值和对应的 x 的值.

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第7讲

三角函数的图像与性质

小结:三角函数的综合应用常表现为依据解析式
命 题 考 向 探 究

的结构特点化简为 y=Asin(ωx+φ)后,研究该函数的 周期、单调区间及最值.也可结合实际问题建立函数 模型 y=Asin(ωx+φ)+k,依据实际问题确定定义域, 再进行解决,并说明实际意义.

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第7讲

三角函数的图像与性质

—— 运算求解能力——
[三角函数运算的熟练性] 数学运算的熟练性主要表现在能迅速、合理地选择 公式、法则等进行运算,如果只会机械地死记公式, 生搬法则,其结果是既花费了大量时间,又不能求 得准确的结果.三角函数的运算的熟练性主要表现
命 题 立 意 追 溯

为三角函数解析式的正确化简、单调区间的双向不 等式求解、限制区间下的最值确定.

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第7讲

三角函数的图像与性质

x x 2x 示例 已知函数 f(x)=sin 2cos 2+cos 2-1. (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; ?π 3π ? ? ? (2)求函数 f(x)在? , 上的最小值. 4 2 ? ? ?
命 题 立 意 追 溯
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第7讲

三角函数的图像与性质

x x 1+cos x 解:(1)f(x)=sin cos + -1= 2 2 2 1 1 1 2 ? π? 1 sin x+ cos x- = sin?x+ ?- . ? ? 2 2 2 2 4? 2 ? 则函数 f(x)的最小正周期为 2π. π π 3π π 由 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ 2 4 2 4
? 5π π 5π? ,k∈Z,所以函数 f(x)的单调递减区间是?2kπ+ ,2kπ+ ?, ? ? 4 4 4? ?

命 题 立 意 追 溯

k∈Z. π 3π π π 7π π 3π 5π (2)由 ≤x≤ ,得 ≤x+ ≤ ,则当 x+ = ,即 x= 4 2 2 4 4 4 2 4 2+1 时,f(x)取得最小值- . 2

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第7讲

三角函数的图像与性质

x x 2x 小结: 函数 f(x)=sin cos +cos -1 的化简依赖 2 2 2 于倍角公式,而逆用 sin 2α=2sin αcos α和 cos 2α= π π 2cos α-1 是运算熟练性的具体体现. 2kπ+ 2 ≤x+ 4 解
2

3π ≤2kπ+ 2 这类不等式需要双向移项,注意同类项的合
命 题 立 意 追 溯

π π π 并,一般涉及 2 , 3 , 6 等的运算.熟练判断限制条件下 的ωx+φ 的取值范围是求最值的必经之路.

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第7讲

三角函数的图像与性质

跟踪练 已知函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2x+a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; ? π π? ? (2)若 f(x)在区间?- , ?上的最大值与最小值的和 6 3? ? ? 3 为2,求 a 的值.
命 题 立 意 追 溯
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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 立 意 追 溯

1+cos 2x π 3 1 解:(1)f(x)= 2 sin 2x+ +a=sin2x+ 6 +a+2, 2 则最小正周期 T=π . π π 3π 由 2 +2kπ ≤2x+ 6 ≤ 2 +2kπ ,k∈Z π 2π 得 6 +kπ ≤x≤ 3 +kπ ,k∈Z, ?π ? 2π ? ? 故函数 f(x)的单调递减区间是? +kπ , ,k∈Z. 6 3 +kπ ? ? ? π π π π 5π 1 (2)因为- 6 ≤x≤ 3 , 所以- 6 ≤2x+ 6 ≤ 6 , 2≤sin2x - π π π + 6 ≤1.因为函数 f(x)在区间- 6 ,3 上的最大值与最小值的和 3 1 1 1 3 为2,所以 1+a+2+-2+a+2=2,则 a=0.
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第7讲

三角函数的图像与性质

—— 教师备用例题 ——

[备选理由] 例 1、 2 是三角函数的图像和性质的综 例 合应用问题,此类问题多以三角函数的单调性、三角函数 的图像和平移为重点考查内容, 部分问题还涉及有关三角 函数的向量坐标运算, 具有一定的综合性, 但难度较小. 两 题可配合考向四使用,在课堂时间允许的情况下选用,加 大训练量.

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第7讲

三角函数的图像与性质

例 1 已知函数 f(x)=sin x+cos x,x∈R. ?π ? (1)求 f? ?的值; ?12? ? ? (2)试写出一个函数 g(x),使得 g(x)f(x)=cos 2x,并求 g(x)的单调区间.

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第7讲

三角函数的图像与性质

解:(1)因为 所以
?π? f? ?= ?12? ? ?

? π? ? f(x)= 2sin?x+ ?, 4? ? ? ?π π? 2sin? + ?= 2sin ?12 4? ? ?

π 6 3= 2 .

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第7讲

三角函数的图像与性质

(2)g(x)=cos x-sin x. 下面给出证明: 因为 g(x)f(x)=(cos x-sin x)(sin x+cos x)=cos2x-sin2x=cos 2x, 所以 g(x)=cos x-sin x 符合要求. ? π? ? 又因为 g(x)=cos x-sin x= 2cos?x+ ?, 4? ? ? π 3π 7π 由 2kπ+π<x+ <2kπ+2π,得 2kπ+ <x<2kπ+ , 4 4 4 ? 3π 7π? ? ? 所以 g(x)的单调递增区间为?2kπ+ ,2kπ+ 4 ?,k∈Z. 4 ? ? π π 3π 又由 2kπ<x+ 4 <2kπ+π,得 2kπ- 4 <x<2kπ+ 4 , ? π 3π? ? ? 所以 g(x)的单调递减区间为?2kπ- ,2kπ+ ,k∈Z. 4 4 ? ? ?

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第7讲

三角函数的图像与性质

? ?x π ? x? ? ? ? 例 2 已 知 向 量 a = ?sin? + ?,cos 2? , b ? ? ?2 12? ? ? ?x π ? ?π ? x? ? ? ? ? ? cos? + ?,-cos 2?,x∈? ,π ?,设函数 f(x)=a· b. ? ? ? ?2 12? ? ?2 ?



3 (1)若 cos x=-5,求函数 f(x)的值; (2)将函数 f(x)的图像先向右平移 m 个单位,再向上平 移 n 个单位,使平移后的图像关于原点对称,若 0<m<π , n>0,试求 m,n 的值.

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第7讲

三角函数的图像与性质

?π ? 3 4 ? ? 解:(1)∵cos x=- ,x∈? ,π?,∴sin x= . 5 5 ?2 ? ? x π? ? x π? ? ? ? ? 2x ∴f(x)=a· b=sin? + ?·cos? + ?-cos 2 ?2 12? ?2 12? ? 1 ? π? 1 1? 3 1 ? ? ? =2sin?x+ ?-2(1+cos x)=2? sin x- cos x-1? ? 2 6? ? 2 ? ? 3 7 = 5 -20.

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第7讲

三角函数的图像与性质

? 1? 3 1 ? (2)由(1)知 f(x)= ? sin x- cos x-1? ? 2? 2 2 ? ? π? 1 1 ? = ·sin?x- ?- . 2 6? 2 ? ? f(x)的图像向右平移 m 个单位, 再向上平移 n 个单位后, π? 1 1 ? ? 变为 y= sin?x-m- ?- +n. 2 ? 6? 2 ? π? 1 1 ? ? 由于其图像关于原点对称,故 y= sin?x-m- ?- + 2 ? 6? 2 ? 5π 1 n=± sin x,又 0<m<π,n>0,所以 m,n 的值分别为 , 2 6 1 . 2

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