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高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结


椭圆的定义、性质及标准方程
高三数学备课组
1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数

刘岩老师

e(0

? e ? 1) ,则动点 M 的轨迹叫做椭圆。
定点 F 是椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的准线,常数 e 叫做椭圆的离心率。 说明:①若常数 2a 等于 2c ,则动点轨迹是线段 F1 F2 。 ②若常数 2a 小于 2c ,则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质:

标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 a2 b2
心在原点,焦点在 x 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
中心在原点,焦点在 y 轴上

图形

范围

x ? a, ? b y
A1 ? ? a,? 、A2 ? a,? 0 0 B1 ? 0, b ? 、B2 ? 0,b ? ?

x ? b, ? a y
A1 ? 0, a ? 、A2 ? 0,a ? ? B1 ? ?b,? 、B2 ? b,? 0 0

顶点

对称轴

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

焦点 焦距 离心率

F1 ? ?c,?、F2 ? c,? 0 0 F1 F2 ? 2c(c ? 0)

F1 ? 0, c ?、F2 ? 0,c ? ? F1 F2 ? 2c(c ? 0)

e?

c (0 ? e ? 1) a
a2 x?? c

e?

c (0 ? e ? 1) a
a2 y?? c

准线

参数方程 与普通方 程

x2 y 2 ? ? 1的参数方程为 a 2 b2
? x ? a cos ? ?? 为参数 ? ? ? y ? b sin ?

y 2 x2 ? ? 1 的参数方程为 a 2 b2
? y ? a cos ? ?? 为参数 ? ? ? x ? b sin ?

3. 焦半径公式: 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式:椭圆焦点在 x 轴上时,设 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,P ? x0,y0 ? 是 椭圆上任一点,则 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 。 推导过程:由第二定义得

PF1 d1

? e ( d1 为点 P 到左准线的距离) ,

? a2 ? 则 PF1 ? ed1 ? e ? x0 ? ? ? ex0 ? a ? a ? ex0 ;同理得 PF2 ? a ? ex0 。 c ? ?
简记为:左“+”右“-” 。 由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ; 若 焦 点 在 y 轴 上 , 则 为 2 ? 2 ?1 。 有 时 为 了 运 算 方 便 , 设 a 2 b2 a b
mx 2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, m ? n) 。

双曲线的定义、方程和性质
知识要点: 1. 定义 (1)第一定义:平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定长 2a(小于|F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线。 说明: ①||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)是双曲线; 若 2a=|F1F2|,轨迹是以 F1、F2 为端点的射线;2a>|F1F2|时无轨迹。 ② 设 M 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 若 M 点 在 双 曲 线 右 边 一 支 上 , 则 |MF1|>|MF2| , |MF1|-|MF2|=2a ; 若 M 在 双 曲 线 的 左 支 上 , 则 |MF1|<|MF2| , |MF1|-|MF2|=-2a , 故 |MF1|-|MF2|=± 2a,这是与椭圆不同的地方。 (2)第二定义:平面内动点到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离之比是常数 e(e>1)

的点的轨迹叫双曲线,定点叫焦点,定直线 L 叫相应的准线。 2. 双曲线的方程及几何性质 标准方程
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)

y2 a
2

?

x2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0)

图形

焦点 顶点 对称轴

F1(-c,0) 2(c,0) ,F A1(a,0) 2(-a,0) ,A 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 x 轴上, c2=a2+b2

F1(0,-c) 2(0,c) ,F A1(0,a) 2(0,-a) ,A 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 y 轴上, c2=a2+b2

离心率

e?

c | MF2 | ? a | MD |
a2 a2 , l2 : x ? ? c c

e?

c | MF2 | ? a | MD |
a2 a2 , l2 : y ? ? c c 2a 2 c

l1 : x ?

l1 : y ?

准线方程

准线间距离为 渐近线方程

2a 2 c

准线间距离为

x y x y ? ? 0, ? ? 0 a b a b

x y x y ? ? 0, ? ? 0 b a b a

3. 几个概念 (1) (2) 等轴双曲线: 虚轴相等的双曲线。 实、 等轴双曲线的渐近线为 y=± 离心率为 2 。 x, 共轴双曲线: 以已知双曲线的实轴为虚轴, 虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴

x2 y2 x2 y2 双曲线,例: 2 ? 2 ? 1 的共轴双曲线是 2 ? 2 ? ?1 。 a b a b
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线,不一定是 共轴双曲线;②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 为抛 物线的焦点,定直线 l 为抛物线的准线。 注:① 定义可归结为“一动三定” :一个动点设为 M ;一定点 F (即焦点) ;一定直 线 l (即准线) ;一定值 1(即动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比 1)

② 定义中的隐含条件:焦点 F 不在准线 l 上。若 F 在 l 上,抛物线退化为过 F 且垂直 于 l 的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义:平面内与一定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨 迹,当 0 ? e ? 1 时,表示椭圆;当 e ? 1 时,表示双曲线;当 e ? 1 时,表示抛物线。 ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将 抛物线上的动点到焦点距离 (称焦半径) 与动点到准线距离互化, 与抛物线的定义联系起来, 通过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程 1.抛物线标准方程建系特点:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立 直角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更 为简单,便于应用。 2.四种标准方程的联系与区别:由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因 此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为:

y 2 ? ?2 px? p ? 0? , x 2 ? ?2 py? p ? 0? ,其中: ① 参数 p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正值; p 值越大, p 张口越大; 等于焦点到抛物线顶点的距离。 2
②标准方程的特点:方程的左边是某变量的平方项,右边是另一变量的一次项,方程右 边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向, 即对称轴为 x 轴时,方程中的一次项变量就是 x , 若 x 的一次项前符号为正,则开口向右, 若 x 的一次项前符号为负,则开口向左;若对称轴为 y 轴时,方程中的一次项变量就是 y , 当 y 的一次项前符号为正,则开口向上,若 y 的一次项前符号为负,则开口向下。 三、求抛物线标准方程 求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物 线标准方程. ① 待定系数法:因抛物线标准方程有四种形式,若能确定抛物线的形式,需一个条件 就能解出待定系数 p ,因此要做到“先定位,再定值” 。 注:当求顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线时,若不知开口方向,可设为 y ? ax
2

或 x ? ay ,这样可避免讨论。 ② 抛物线轨迹法:若由已知得抛物线是标准形式,可直接设其标准式;若不确定是否 是标准式,由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法求之。
2

四、抛物线的简单几何性质 方程 性质
2

设抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 范围 对称性 关于 x 轴对称 顶点 原点 离心率 准线 通径

焦点

?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

x?0

e ?1

x??

p 2

2p

注:① 焦点的非零坐标是一次项系数的

1 ; 4

② 对于不同形式的抛物线,位置不同,其性质也有所不同,应弄清它们的异同点, 数形结合, 掌握方程与有关特征量, 有关性质间的对应关系, 从整体上认识抛物线及其性质。 五、直线与抛物线有关问题 1.直线与抛物线的位置关系的判断:直线与抛物线方程联立方程组,消去 x 或 y 化得

形如 ax2 ? bx ? c ? 0 (*)的式子: ① 当 a ? 0 时, (*)式方程只有一解,即直线与抛物线只有一个交点,此时直线与抛 物线不是相切,而是与抛物线对称轴平行或重合; ② 当 a ? 0 时,若△>0 ? (*)式方程有两组不同的实数解 ? 直线与抛物线相交; 若△=0 ? (*)式方程有两组相同的实数解 ? 直线与抛物线相切; 若△<0 ? (*)式方程无实数解 ? 直线与抛物线相离. 2.直线与抛物线相交的弦长问题 ① 弦长公式:设直线交抛物线于 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? 1 ? k AB ? x A ? x B
2

或 AB ? 1 ?

1 ? y A ? yB . k2

② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理: 抛物线 y ? ?2 px? p ? 0? 上一点 M ?x0 , y 0 ? 的焦半径长是 MF ? ? x0 ?
2

p ,抛物线 2

x 2 ? ?2 py? p ? 0? 上一点 M ?x0 , y0 ? 的焦半径长是 MF ? ? y0 ?
六、抛物线焦点弦的几个常用结论
2

p 2

斜角为 ? ,则

设 AB 为过抛物线 y ? ?2 px? p ? 0? 焦点的弦,设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,直线 AB 的倾 ① x1 x 2 ?

p2 , y1 y 2 ? ? p 2 ; 4 2p ② AB ? ? x1 ? x2 ? p ; sin 2 ? ③以 AB 为直径的圆与准线相切;
④弦两端点与顶点所成三角形的面积 S ?AOB ? ⑤

p2 ; 2 sin ?

1 1 2 ? ? ; FA FB p

⑥ 焦点 F 对 A 、 B 在准线上射影的张角为 900; 七、抛物线有关注意事项 1.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,采用“设 而不求”或“点差法”等方法,能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相 交问题时不能忽视 ? ? 0 这个条件。 2.解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时,多从抛物线的定义出发,实现抛物线 上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化,并应注意焦点弦的几何性质.

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
高三数学备课组 刘岩老师


1. 2.



点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4. 5. 6.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

7.

xx y y x2 y 2 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 a b a b 2 2 x y 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切 0 a b xx y y 点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1 ,F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点 a b
?F1 PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan

?

2

.

8.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a 2 b2 | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
椭圆 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 , 则 a 2 b2 b2 kO M ? k A B? ? 2 , a b 2 x0 即 K AB ? ? 2 。 a y0 x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

12. 若 P ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b

13. 若 P ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 0

x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

双曲线
1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 4. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切: P 在左支) 5. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0 是 6.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b

7.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切 a 2 b2 xx y y 线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a b
若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0
2 一点 ?F1 PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b co t

?

2

.

8.

双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) a 2 b2 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a

9.

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. 11.AB 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y 0 ) 为 a 2 b2 b2 x b2 x AB 的中点,则 K OM ? K AB ? 2 0 ,即 K AB ? 2 0 。 a y0 a y0

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方 a 2 b2 xx y y x2 y2 程是 02 ? 02 ? 02 ? 02 . a b a b 2 x y2 13. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程 0 a b 2 2 xx y y x y 是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . a b a b
12. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组


1. 椭圆



2.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直 a 2 b2 x2 y 2 线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线 a b b2 x 交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ? 2 0 (常数). a y0 x2 y 2 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, a b
?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

3.

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

4.

设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 a 2 b2

任意一点,在△PF1F2 中 ,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a
5. 若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0 a 2 b2

<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的 比例中项. P 为椭圆

6.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点, a 2 b2

则 2a ? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a ? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成 立. 7. 椭圆

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By? C ?0 有 公 共 点 的充 要 条 件是 a2 b2 A2 a 2 ? B 2b 2 ? ( Ax0 ? By0 ? C )2 .

8.

已知椭圆

x2 y 2 ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2 4a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ; ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 OP ? OQ .(1) a ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 a 2b 2 . a2 ? b2

(3) S ?OPQ 的最小值是 9.

x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 a b | PF | e MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 ? . a a x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a 2 b2 2b2 ? 2 .(2) S?PF1F2 ? b tan . 1 ? cos ? 2

10. 已知椭圆

11. 设 P 点是椭圆

记 ?F1 PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 12. 设 A、B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, a 2 b2 ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有
2ab 2 | cos ? | 2a 2 b 2 2 cot ? . .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ?PAB ? 2 a 2 ? c 2 co s 2 ? b ? a2

(1) | PA |?

13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 a>b>0) ( 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F a 2 b2

的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经 过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组

双曲线
1.

2.

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 ( a, 0) ,与 y 轴 a b x2 y 2 平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补 a b b2 x 的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ? ? 2 0 (常数). a y0
若 P 为双曲线

3.

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, a 2 b2

F

2

是 焦 点 , ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则

c?a ? ? ? t a n co t ). c?a 2 2
4. 设双曲线

c?a ? ? ? t a n co t ( 或 c?a 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点) a 2 b2

为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1 PF2 ? ? ,

?PF1F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5.

若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L, a 2 b2

则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距 离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内 a 2 b2

一定点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和

A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
7.

8.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条 a 2 b2 2 2 2 2 2 件是 A a ? B b ? C . x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动 a b 点,且 OP ? OQ .
双曲线

(1)

4a 2b 2 1 1 1 1 ;(3)S ?OPQ ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a b

a 2b 2 的最小值是 2 . b ? a2 x2 y 2 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 a b | PF | e M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 垂直平分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 a b 2b2 ? 2 为其焦点记 ?F1 PF2 ? ? , 则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S?PF1F2 ? b cot . 1 ? cos ? 2 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的 a b 一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离
10. 已知双曲线

2ab 2 | cos ? | 心率,则有(1) | PA |? 2 . | a ? c 2co s 2 ? |
(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ?PAB ?
2

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲 a 2 b2

线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、 两点,点 C 在右准线 l 上, BC ? x B 且 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点 的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.


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