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高中数学秒杀型推论


高中数学秒杀型推论

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一. 函数 1. 抽象函数的周期 (1)f(a±x)=f(b±x) (2)f(a±x)=-f(b±x) (3)f(x-a)+f(x+a)=f(x) (4)f(x-a)=f(x+a) (5)f(x+a)=-f(x) 2.奇偶函数概念的推广及其周期: (1) 对于函数 f (x) 若存在常数 a, , 使得 f

(a-x) (a+x) =f , 则称 f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数,且当有两个相异实数 a, b 同时满足时,f(x)为周期函数 T=2|b-a| (2)若 f(a-x)=-f(a+x) ,则 f(x)是广义(Ⅰ)型奇 函数,当有两个相异实数 a,b 同时满足时,f(x)为周期 函数 T=2|b-a| 3.抽象函数的对称性 (1)若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c 则函数关于( , )成中心对称(充要) T=|b-a| T=2|b-a| T=6a T=2a T=2a

(2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x) 则函数关于直线 x= 成轴对称(充要)
1

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4.洛必达法则,设连续可导函数 f(x)和 g(x)

二、三角 1.三角形恒等式 (1)在△中,

(2) 正切定理&余切定理: 在非 Rt△中,有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

(3)

(4)

(5)

2

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2.任意三角形射影定理(又称第一余弦定理) : 在△ABC 中 a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA 3. 任意三角形内切圆半径 r= 外接圆半径 欧拉不等式:R>2r 4.梅涅劳斯定理 如下图,E.D.F 三点共线的充要条件是 (S 为面积) ,

3

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5.塞瓦定理 如下图,AD、BE、CF 三线共点的充要条件是

6. 斯特瓦尔特定理: 如下图,设已知△ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D,则 有 AB? DC+AC? BD-AD? BC=BC DC BD

7、和差化积公式(只记忆第一条)
sin α +sin β =2sin sin α -sin β =2cos cos sin
4

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cos α +cos β =2cos cos α -cos β =-2sin 8、积化和差公式

cos sin

sinαsinβ=cosαcosβ= sinαcosβ= cosαsinβ= 9、万能公式

10. 三角混合不等式: x∈ 若 (0, ),sinx <x<tanx
5

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当 x→0 时 sinx x tanx 11.海伦公式变式 如下图,图中的圆为大三角形的内切圆,大三角形三边长分 别为 a.b.c,大三角形面积为

?*

12.双曲函数 定义双曲正弦函数 sinhx= , 双曲余弦函数 coshx=

易知(1)奇偶性:sinhx 为奇函数,coshx 为偶函数 (2)导函数:(sinhx) =coshx,(coshx) =sinhx (3)两角和:sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy (4)复数域:sinh(ix)=isin(x) cosh(ix)=icos(x) (5)定义域:x∈R (6)值域:sinhx∈R,coshx∈[1,+∞) 13.三角形三边 a.b.c 成等差数列,则
6
’ ’

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14.三角形不等式 (1)在锐角△中,

(2)在△中, (3)在△中,sinA>sinB 15.ASA 的面积公式: cos2A>cos2B

三、复数 1.欧拉公式(泰勒级数推出) cosθ+isinθ=e


2.棣莫弗定理(欧拉公式推出) (cosθ+isinθ) =cos(nθ)+isin(nθ) 3.复数模不等式(三角不等式) |z1+z2+∧+zn|≤|z1|+|z2|+∧+|zn| 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立 4. 5. 复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)
7
n

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四、数列(所有通过递推关系得出通项后都要检验首项) 1.An+1=kAn+f(n) 两边同除以 k ,构造数列{ } ,通过累加法得出通项公式 2. An+1=kAn+C 设一常数 x,An+1+x=k(An+x) An+1 =kAn+(k-1)x 则(k-1)x=C,求出 x= 为k 3.不动点法: 形如 An+1= 设函数 f(x)= (d≠0,当 d=0 时,则是第二种情况) , ,x= 的根称为 f(x)的不动点, }是一 ,得到等比数列{ },公比
n+1

(1)若函数 f(x)有 2 个不动点α,β 则数列{ 个等比数列,A’n= = ,An=

(2)若函数 f(x)只有一个不动点α 则数列{ 等差数列,A’n=

}数一个

(3)若函数 f(x)没有不动点,则数列{An}是周期数列,
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周期自己找 4.特征方程法: 形如 An+2=pAn+1+qAn 称为二阶递推数列, 我们可以用它的特征方程 x?-px-q=0 的根来求它的通项公式 (1)若方程有两根 x1,x2, 则 An= x1 + x2
n-1 n-1

( , 可根据题目确定)

(2)若只有一个根 x0 An=( + n)x0
n-1

( , 可根据题目确定)

5.变系数一阶递推数列

四、不等式 1.权方和不等式(赫德尔不等式推出)

当且仅当 2.黎曼和-定积分不等式 级数与定积分之间的关系 设可积函数 f(x)
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当 f(x)为减时, 当 f(x)为增时, 3.琴生不等式 函数的平均数与平均数的函数之间的关系 当 f(x)为凹函数,即 f’’(x)>0 时

当 f(x)为凸函数,即 f’’(x)<0 时

当且仅当 x1=x2=∧=xn 时,等号成立 4.卡尔松不等式

5.排序不等式 当 且 时,

其中 以上可概括为 顺序和≥乱序和≥倒序和
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5.切比雪夫总和不等式(排序不等式推出) 当 an 与 bn 逆序时

当 an 与 bn 顺序时 不等式反向 6.舒尔不等式(Schur 不等式) x (x-y) (x-z)+y (y-x) (y-z)+z (z-x)(z-y)≥0 当 x=y=z 时,等号成立 配 Schur 法(Schur 分拆法) 三元齐三次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是
t t t

因为 f(x,y,z)=a cxyz 三元齐四次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是 +b +

因为
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f(x,y,z)=

三元齐五次对称轮换式 f(x,y,z)≥0 的充要条件是

因为 f(x,y,z)=

7.常用对数不等式 当 x〉-1 时,

当且仅当 x=0 时等号成立
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8.伯努利不等式 当 x≥-1,n≥0 时或 n 为正偶数,x∈R 时 (1+x) ≥1+nx 当 n=0 或 1,或 x=0 时等号成立 9.uvw 法和 pqr 法(解决三元对称轮换式) uvw 法:令 a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v ,abc=w ,得到新不等式 pqr 法:令 a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r,得到新不等式 当 a.b.c 为非负实数时,用 uvw 法; 当 a,b,c∈R 时,用 pqr 法 10.SOS 法(配方法) 不解释 11.拉格朗日乘数法(解决条件极值问题) 已知 f(x,y,z)=0,求 F(x,y,z)的极值 构造拉格朗日函数 L=F(x,y,z)+λf(x,y,z) 对 F(x,y,z)分别关于 x,y,z,λ求偏导,得到四元方程组, 其中对 F(x,y,z)关于λ求偏导所得方程即 f(x,y,z)=0 解四元方程组所得解,即 F(x,y,z)的极值点,从而算出极 值。 由拉格朗日乘数法可知,所有对称轮换式的极值在 x=y=z 时 取到 12.拉格朗日乘数法推论(拉格朗日乘数法得到) 已知 x,y,z∈[a,b],对称轮换式 F(x,y,z)的极值在
13
2 3 n

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和 x=y=z 时取到

13. 已知 a.b.c 为正实数, a+b+c=k, 且 求证 证明: k=a+b+c=a+ 整理即得所求不等式 14.幂平均不等式

当且仅当 a1= =an 时等号成立 15. 16. 17.双绝对值函数图像

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18.a.b 为正数 当 mn>0 时, 当 mn<0 时,

五、排列组合 1.隔板法 I 把 n 个元素放到 m 个集合中,所得集合均非空,则有 x1+x2+∧+xm=n 的正整数解个数为 2.隔板法 II 把 n 个元素放到 m 个集合中,所得集合可为空,则有 种 x1+x2+∧+xm=n 的非负整数解个数为 种

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(a1x1+a2x2+∧+amxm) 展开式的项数为 3.圆排列 从 n 个元素中抽取 m 个元素,按照一定的顺序排列成一圈, 叫做一个圆排列,圆排列的个数 4.重复组合 从 n 个元素中抽取 m 个元素, 元素可以重复选取, 不管顺序, 组成一组,叫重复组合,重复组合个数 5.组合恒等式(只例举了最简洁的四个)

n

6.从互不相同的 n 个非零数字中任取 m 个,所得 m 位数之和 为 S, S= 均数 7. (ax+by) 展开式中,第 k 项系数绝对值最大,则
n

, 其中 为 n 个非零数字的算术平

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其中[ ]表示高斯函数,即取整函数

六、解析几何 1.圆锥曲线统一极坐标方程 2.圆锥曲线统一焦点弦长公式 3. (x1, 1) B 2, 2) C 3, 3) A y , (x y , (x y , 当且仅当 时,三点共线

4. A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4)四点共 圆的充要条件

5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0 三线共点的充 要条件 =0

6.过(x0,y0)引圆锥曲线 F(x,y)的弦,弦中点的轨迹方 程为 y-y0=F’(x,y) (x-x0) , 当(x0,y0)为弦中点时,弦中点轨迹方程为 y-y0=F’(x0,y0) (x-x0)
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7.定比分点公式: A ( xA , yA ) B ( xB , yB ) AB 的 λ +1 等 分 点 坐 标 为 ( , , ) 8.若抛物线 y =2px,AB 是抛物线上的动弦,kOAkOB=λ,则 AB 恒过定点( )
2

9.抛物线焦点弦性质: 抛物线焦点弦两端点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,焦点弦斜率为 k,焦点弦长度为 L (1)y1y2=-p x1x2= x1+x2=p+ = y1+y2= (2)L=x1+x2+p= (3)k= (4) (5) 10.圆锥曲线焦点弦性质(通性) :
18
2

=

=

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焦点弦长为 L, (1)已知 x1+x2 时, 椭圆:L=2a-e(x1+x2) 双曲线:L=e 抛物线:L= -2a +p

(2)已知焦点弦倾斜角 时, L= (3)椭圆、抛物线、双曲线(焦点弦端点在同支)焦点弦 的两个焦半径倒数之和为常数

双曲线(焦点弦端点在异支)焦点弦的两个焦半径倒数之差 为常数

(4)圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数

(5)圆锥曲线焦点弦 AB 的中垂线于对称轴(标准方程中为 x 轴)于 D,

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(6)圆锥曲线内,最长的焦点弦为通径

11.圆锥曲线的焦半径(通性) (1)极点为焦点,极轴为 x 轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的 为极径,即焦半径, 为极角

(2)已知焦半径端点的横坐标 x 时

12.双焦点三角形面积: F1.F2 为有心圆锥曲线两焦点 P 为椭圆上一个点, P 为双曲线上一个点, 13.圆锥曲线幂定理:
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圆锥曲线 F(x,y)≡Ax +By +Dx+Ey+F=0 与一条过 M(x0,y0) , 且倾斜角为 的直线 L 交于 P1.P2 两点,则 · = =

2

2

14.点 P(x0,y0)对圆锥曲线 C 引两条切线,连结切点所得 线为切点弦(极线) ,或点 P(x0,y0)为切点,则极线方程 或切线方程为? (1)若 C 为椭圆, (2)若 C 为双曲线, (3)若 C 为抛物线, 15.已知有心圆锥曲线 F(x,y) ,直线 l:f(x,y),p 是 l 上 一点,射线 OP 交圆锥曲线于点 R,又点 Q 在 OB 上,且满足 ,当 P 在 l 上移动时,Q 的轨迹方程即为 F (x,y)=f(x,y) 16.曲线族 F(x,y,t)的包络为 F(x,y,t)= =0

17. A( 1 1) B( 2 2) 以 AB 为直径的圆的方程为( 1) x ,y , x ,y , x-x (x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0 18.关于双曲线渐近线:
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(1)共轭双曲线:实轴与虚轴对换, 有相同渐近线, 四焦点共圆, 离心率的倒数平方和为 1: (2)焦点到渐近线距离为虚半轴长 b (3)若两渐近线夹角为 ,则双曲线离心率 e= (4)双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数 (5)过双曲线上任意一点 M 作平行于实轴的直线交两渐近 线于 P.Q,则 19.过有心圆锥曲线上一定点 P(x0,y0)作倾斜角互补的两 直线与有心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值

过无心圆锥曲线上上一定点 P(x0,y0)作倾斜角互补的 两直线与无心圆锥曲线的另两交点 A.B 的连线的斜率为定值

以上情况中,∠APB 的角平分线 x=x0 平行于 y 轴,ΔAPB 的 内切圆圆心恒过直线 x=x0. 20.圆锥曲线光学性质: 椭圆:由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点
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双曲线:由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线 必过另一焦点 抛物线:平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点;过 焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴 21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值,且 定值为 b
2

22.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率 切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率 弦中点与中心连线的 斜率= 双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜 率 切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率 弦中点与中心连 线的斜率= 23.抛物线 y =2px 内接 Rt△OAB(以 O 为直角顶点) ,A(x1, y1)B(x2,y2) (1)x1x2=4p ,y1y2=-4p
2 2 2

(2)AB 恒过顶点(2p,0) (3)AB 中点轨迹方程 y =p(x-2p) (4)AB 边上高的垂足轨迹方程(x-p) +y =p (5) △OAB)min=( (S )min=4p
23
2 2 2 2 2

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24.对于极坐标方程 积 S= 对于极坐标方程 L=

,从θ1 到θ2,曲线所围成的面

,从θ 1 到θ 2 ,曲线所积出的长度

25.圆锥曲线上一弦 AB,其中点 M(x0,y0) ,AB 的斜率为 (1)对于椭圆, (2)对于双曲线, (3)对于抛物线, 26.圆锥曲线上定点:圆锥曲线上有一定点 P(x0,y0) ,另有 一直线 L 于圆锥曲线交于与 P 相异两点 A.B. 第一组:当 kPAkPB=λ(λ≠ )时 1) 恒过定点 2) L 恒过定点 3) 对于抛物线, 对于双曲线, 对于椭圆,L

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L 恒过定点 第二组:当 kPA+kPB=λ(λ≠0)时 1) 恒过定点 2) L 恒过定点 3) L 恒过定点 对于抛物线, 对于双曲线, 对于椭圆,L

七、立体几何 1.万能求积公式:

2.设平面内三点 A.B.C, 则 该 平 面

(x1,y1,z1) , 的 法 向

(x2,y2,z2) , 量 为

3.空间余弦定理:
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相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段,长度分别为 m.n,垂足距离为 d,另一端点之间距离为 L,则平面所成二 面角θ,满足

4.二面角射影定理: 如果平面α内的一个多边形面积为 S,它在平面β内的射影 面积为 S 射,α与β所成二面角为θ,则

5.三射线定理: 从 O 点引出三条不共面射线 OA.OB.OC,∠AOC=θ 1,∠BOC= θ2,∠AOB=θ,二面角 A—OC—B=α,则

6.四面体 ABCD 相对棱 AC 与 BD(异面线段)所成角为α, 则

7.四面体体积公式, 若四面体两条相对棱长为 a.b,它们的距离为 d,所成角为 θ,则四面体体积为

8.台体两底面面积为 S.S ,则中截面 S0 满足
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9.内切球半径公式: V 为 n 面体体积,S 为 n 面体表面积,则

10.旋转体体积公式: S 为凸多边形面积,d 为凸多边形重心到轴的距离,凸多边 形绕轴一周所形成的几何体体积为 V,则

11.四面体体积公式之行列式形式: AB.AC.AD 为 四 面 体 ABCD 的 三 条 共 点 棱 , , V 四面体 ABCD=

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