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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版必修五配套课件:1.2-第2课时角度问题


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教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源

第 2 课时 角度问题

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●三维目标 1,知识与技能 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关计 算角度的实际问题.

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2.过程与方法 通过综合训练强化学生的相应能力,让学生有效、积极、主 动地参与到探究问题的过程中来,逐步让学生自主发现规律,举 一反三. 3.情感、态度与价值观 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力, 并在教学过程中激发学生的探索精神.

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●重点难点 重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所 求角的关系. 难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.

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课 1.能灵活运用正、余弦定理解决角度问题.(重点) 标 2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点) 解 3.能根据题意画出几何图形.(易错点) 读

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方位角与方向角
【问题导思】 课上,老师让同学们画 148° 的方位角,有二位同学提出疑 问,甲说:老师的说法不对,应具体说出 148° 角是哪个方向偏 哪个方向的角度,如南偏东 148° .乙说:方位角应该小于 90° ,不 应该为 148° .你认为老师说法正确吗?二位同学产生疑问的原因 是什么?

【提示】 老师说法是正确的.二位同学产生疑问的原因是 混淆了方位角与方向角的概念.
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1.方位角 从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角. 如点 B 的方位角为 α° (如图 1-2-14). 方位角的取值范围:0° ~360° .

图 1-2-14
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2.方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角,如南 偏西 60° ,指以 正南 方向为始边,顺时针方向 向西 旋转 60° .

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俯角、仰角与坡角

仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线 与目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标 视线在水平视线下方时叫做俯角. 如图 1-2-15, 仰角为 ∠1 , 俯角为 ∠2 .

图 1-2-15
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(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角.坡度(坡比)是指 坡面的垂直高度和水平宽度的比.

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测量角度问题

如图 1-2-16,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75° 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32° 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离? (角度精确到 0.1° ,距离精确到 0.01 n mile)
图 1-2-16
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【思路探究】 (1)如图 AB,BC 已知,只要求出它们的夹

角 ABC 就可以用余弦定理求出 AC,∠ABC 怎样求? (2)∠CAB 怎样求?若求出∠CAB,航向该怎样表示?

【自主解答】

在△ ABC 中,∠ ABC =180° - 75° + 32° =

137° ,根据余弦定理, AC= AB2+BC2-2AB×BC×cos ∠ABC = 67.52+54.02-2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15.

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BC AC 由正弦定理,得 = , sin ∠CAB sin ∠ABC BCsin ∠ABC 54.0×sin 137° sin ∠CAB= = ≈0.3255, AC 113.15 所以∠CAB=19.0° ,75° -∠CAB=56.0° . 答: 此船应该沿北偏东 56.0° 的方向航行, 需要航行 113.15 n mile.

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1.本题中由于 A、C 均为固定点,故所求航向是确定的, 只要求出∠CAB 的大小,可用方向角表示出来. 2.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示 实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定 理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的 解.

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如图 1-2-17 所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东 方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信 息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海里的 C 处的 乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援, 求 cos θ 的值.

图 1-2-17
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【解】 BAC=120° , 由余弦定理,BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120° =2 800, ∴BC=20 7, AB BC 由正弦定理得, = , sin∠ACB sin∠BAC 21 AB ∴sin∠ACB=BCsin∠BAC= 7 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= 7 .
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如题图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠

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由 θ=∠ACB+30° , 得 cos θ=cos(∠ACB+30° ) 21 =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° = 14 . 21 故 cos θ 的值为 14 .

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追及问题
某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军 舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔船在方位角为 45° ,距离 A 为 10 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105° 的方向,以 10 海里/时的速度向小岛 B 靠拢, 我海军舰艇立即以 10 3海里/时的 速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.

【思路探究】

(1)你能否根据题意画出图形?(2)舰艇与渔

船在何处相遇?相遇时有怎样的等量关系?
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【自主解答】 如图所示,设所需时间为 t 小时,

则 AB=10 3t,CB=10t, 在△ABC 中,根据余弦定理,则有 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 120° , 可得:(10 3t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120° . 整理得:2t2-t-1=0, 1 解得 t=1 或 t=-2(舍去), 所以舰艇需 1 小时靠近渔船, 此时 AB=10 3,BC=10.
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BC AB 在△ABC 中,由正弦定理得: = , sin∠CAB sin 120° 3 10× 2 BC· sin 120° 1 ∴sin∠CAB= = =2. AB 10 3 ∴∠CAB=30° . 所以舰艇航行的方位角为 75° .

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1.本题欲求方位角,先求边长,而要求边长,需先求时间, 由于舰艇与渔船同时在移动,故相遇点不确定,即舰艇的航向不 确定,解题的关键是设出相遇点 B,画出可以求解的三角形. 2.解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题; (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角和距 离,这样借助于正弦定理或余弦定理,就容易解决问题了; (3)最后把数学问题还原到实际问题中去.
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如图 1-2-18,在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距离 A 为( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 方向, 距离 A 为 2 n mile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 10 3 n mile/h 的 速度追截走私船,此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处 向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上 走私船,并求出所需时间.(结果保留根号,无需求近似值)

图 1-2-18
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【解】 如图,设缉私艇 t 小时后在 D 处追上走私船,则 BD=10t n mile,CD=10 3t n mile. ∵∠BAC=45° +75° =120° , ∴在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC =( 3-1)2+22-2×( 3-1)×2×cos 120° =6, ∴BC= 6. AC· sin ∠BAC 2sin 120° 2 由正弦定理得 sin ∠ABC= = =2, BC 6 ∴∠ABC=45° , ∴BC 为东西走向,∴∠CBD=120° 。
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在△BCD 中,由正弦定理得 BD· sin ∠CBD 10t· sin 120° 1 sin ∠BCD= = =2, CD 10 3t ∴∠BCD=30° ,∴∠BDC=30° . ∴BD=BC= 6,即 10t= 6, 6 ∴t= 10 (h). 即缉私艇沿北偏东 60° 方向行驶才能最快追上走私船,还需 6 10 小时.
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正、余弦定理的综合问题 (12 分)在一个特定时段内, 以点 E 为中心的 7 海里 以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测 站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 的北偏东 45° 且与点 A 相距 40 2海里的位置 B, 经过 40 分钟又测得该船已行 26 驶到点 A 的北偏东 45° +θ(其中 sin θ= 26 ,0° <θ<90° )且与点 A 相距 10 13海里的位置 C.
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(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警 戒水域,并说明理由.

【思路点拨】 (1)由余弦定理能求 BC 吗? (2)能求出点 E 到直线 BC 的距离吗?

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【规范解答】 (1)如图(1)所示,AB=40 2,AC=10 13,

26 ∠BAC=θ,sin θ= 26 . 由于 0° <θ<90° , 所以 cos θ=
? 1-? ? ?

26? ?2 5 26 = 26 .2 分 26 ? ?
图(1)

由余弦定理,得 BC= AB2+AC2-2AB· ACcos θ=10 5.

10 5 所以船的行驶速度为 2 =15 5(海里/小时).4 分 3
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(2)法一 如图(2)所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y1),C(x2,y2),BC 与 x 轴的交点 为 D. 2 由题设有,x1=y1= 2 AB=40,6 分 x2=ACcos∠CAD =10 13cos(45° -θ)=30, y2=ACsin∠CAD=10 13sin(45° -θ)=20,

图(2)

20 所以过点 B,C 的直线 l 的斜率 k=10=2,8 分 直线 l 的方程为 y=2x-40,即 2x-y-40=09 分
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又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 |0+55-40| d= =3 5<7,11 分 1+4 所以船会进入警戒水域.12 分

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法二 易求得点 B 的坐标为(40,40)(同法一)6 分 10 AC 在△ABC 中,由正弦定理得 sin B=BC· sin θ= 10 , ∴cos B= 1-sin B=
2

1 3 10 1-10= 10 ,

1 1+3 sin B 1 即 tan B=cos B=3,∴kBC=tan(45° +B)= 1=2.8 分 1-3 ∴直线 BC 的方程为 y-40=2(x-40),即 2x-y-40=0,9 分 以下解法同法一.12 分
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正、余弦定理的综合应用策略 (1)在三角形中由已知条件结合正、余弦定理求出相应的角 与长度. (2)结合函数、向量、平面解析几何等相关知识适时转化, 从而使问题获得解决.

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1. 测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量 角度的求解问题.在实际生活中,求轮船航行时航速与航 向等问题都可以结合正、余弦定理,通过解三角形解决. 2.在解决与角度有关的题目时,要搞清仰角、俯角、 坡角、方位角和方向角的含义,合理的构造三角形把实际 问题转化为数学问题加以解决.

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1.对右图 1-2-19 正确的描述应为( A.东偏北 α° B.东北方向 C.北偏东 α° D.α°
【答案】 C

)

图 1-2-19

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2.(2014· 三亚高二检测)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° ,灯塔 B 在观察 站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° B.北偏西 10° D.南偏西 10° )

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【解析】

如图,由题意,知 AC=BC,∠ACB=80° ,

∴∠CBA=50° ,α+∠CBA=60° . ∴α=10° , 即 A 在 B 的北偏西 10° .
【答案】 B

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3.海上一观测站测得方位角为 240° 的方向上有一艘停止待 修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为每 小时 90 海里.此时海盗船距观测站 10 7海里,20 min 后测得海 盗船距观测站 20 海里,再过________min,海盗船到达商船.

【解析】 如下图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位 于 A、B、C 处,20 min 后,海盗船到达 D 处,在△ADC 中,AC =10 7,AD=20,CD=30,由余弦定理,

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AD2+CD2-AC2 400+900-700 1 cos ∠ ADC = = =2,∴∠ 2AD· CD 2×20×30 ADC=60° . 在△ABD 中,由已知,得∠ABD=30° , ∠BAD=60° -30° =30° , 20 40 ∴BD=AD=20,90×60= 3 (min). 40 ∴再过 3 min,海盗船到达商船. 40 【答案】 3
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4.一船向正北匀速行驶,看见正西方两座相距 10 海里的灯 塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座 灯塔在南偏西 60° 方向上,另一灯塔在南偏西 75° 方向上,求该 船的速度.

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【解】 如图,B,C 为两灯塔,行驶半小时后船从 A 到达

D,由∠ADC=75° ,∠ADB=60° ,∴∠BCD=∠BDC=15° .

∴BD=BC=10,∴AD=10×cos 60° =5. 1 设船速为 x,则2x=5,即 x=10(海里/小时).

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课后知能检测

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在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当 前 台 风 中 心 位 于 城 市 O( 如 图 ) 的 东 偏 南
? θ? ?cos ?

2? ? 并以 20 km/h θ= 10 ?方向 300 km 的海面 P 处, ?

的速度向西偏北 45° 方向移动,台风侵袭的范围为 圆形区域,当前半径为 60 km,并以 10 km/h 的速 度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵 袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?
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【思路探究】 设经过 t 小时后, 台风到达 Q 点, 构造△POQ, 利用余弦定理求解.
【自主解答】 设经过 t 小时台风中心移动到点 Q 时,台风 边沿恰经过 O 城, 由题意,可得 OP=300,PQ=20t,OQ=r(t)=60+10t. 2 7 2 4 因为 cos θ= 10 ,α=θ-45° ,所以 sin θ= 10 ,cos α=5.

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由余弦定理, 得 OQ2=OP2+PQ2-2· OP· PQ· cos α, 4 即(60+10t) =300 +(20t) -2· 300· 20t· 5,
2 2 2

即 t2-36t+288=0. 解得 t1=12,t2=24,t2-t1=12. 答:12 小时后该城市开始受到台风侵袭,受到台风的侵袭 的时间有 12 小时.

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据气象台预报,距 S 岛正东 300 km 的 A 处有一台风中心形 成,并以每小时 30 km 的速度向北偏西 30° 的方向移动,在距台 风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响.则 S 岛是否会受 其影响?若受到影响, 从现在起经过多少小时 S 岛开始受到台风 的影响?持续时间多久?说明理由.

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【解】 如图所示,设台风中心经过 t 小时到达 B 点, 由题意得∠SAB=90° -30° =60° . 在△SAB 中,SA=300,AB=30t,∠SAB=60° , 由余弦定理知 SB2=SA2+AB2-2SA· AB· cos ∠SAB =3002+(30t)2-2×300×30t· cos 60° .

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若 S 岛受台风影响, 则应满足条件 SB≤270,即 SB2≤2702, 化简整理得 t2-10t+19≤0(一元二次不等式在第 3 章学习), 解得 5- 6≤t≤5+ 6, 所以从现在起,经过(5- 6)小时 S 岛开始受影响,(5+ 6) 小时后影响结束,持续时间为(5+ 6)-(5- 6)=2 6(小时). 答: S 岛从现在起经过(5- 6)小时开始受到台风影响, 且持 续时间为 2 6小时.

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