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第四讲 锐角三角函数


习惯决定性格,性格决定命运,细节决定成败。

第四讲
一、知识要点回顾: 1.三角函数的定义:Rt△ABC 中

锐角三角函数

(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作 sinA= (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作 cosA= (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作 t

anA= 2.特殊值的三角函数:
0° sinA cosA tanA 0 1 0 30 ° 1 2 3 2 3 3 45 ° 2 2 2 2 1

∠A的对边 = 斜边 ∠A的邻边 = 斜边 ∠A的对边 = ∠A的邻边
60 ° 3 2 1 2 3 90 ° 1 0 不存在

3.互余角的三角函数间的关系: sin(90 ° - α )=cos α , cos(90 ° - α )=sin α , 4. 同角三角函数间的关系 平方关系: sin 2 α +cos 2 α= 1 积的关系: sin α= tan α〃 cos α 商的关系: tan α= sin α /cos α 5 、三角函数值 ( 1 )当角度在 0 °~ 90 °间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ( 2 )当角度在 0 °≤∠ A ≤ 90 °间变化时, 0 ≤ sin α≤ 1, 1 ≥ cosA ≥ 0, 当角度在 0 ° < ∠ A<90 °间变化时, tanA>0. 6. 解直角三角形的基本类型及其解法如下表: 类型 已知条件 解法 a 两直角边 a、b 2 2 c= a ? b ,tanA= ,∠B=90°-∠A 两边 b a 一直角边 a,斜边 c 2 2 b= c ? a ,sinA= ,∠B=90°-∠A

c

一边一锐角

一直角边 a,锐角 A 斜边 c,锐角 A

∠B=90°-∠A,b=a〃cotA,c=

a sin A

∠B=90°-∠A,a=c〃sinA,b=c〃cosA

7. 仰角、俯角 当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下 方的角叫做俯角. 8、坡度、坡角 坡角:斜坡的坡面与水平面的夹角。 坡度:斜坡的垂直高度与水平距离的比,等于斜坡坡角的正切值。 说明:在求三角函数值或运用三角函数时,一定要在直角三角形中使用。 补充:如图,△ABC 中,∠A 是锐角,则 S?ABC ? 1 AB ? AC ? sin A 2
1

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二、例题讲析: 例 1:如图,△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则 sin∠BAC 等于( ) A.

2 3

B.

5 5

C.

10 5

D.

1 3
)

1 1 例 2:在△ABC 中,若|SinA- |+(cosB - )2=0,则∠C 的度数是( 2 2 A.30° B.45° C.60° D.90°

例 3:小阳发现电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上,量得 CD=8 米,BC=20 米,CD
A

与地面成 30? 角,且此时测得 1 米杆的影长为 2 米,则电线杆的高度为( A.9 米 B.28 米 C. (7+ 3)米 D. (14+2 3)米

)
B C D

例 4:如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D, 连 BD,若 Cos∠BDC=1/3,求 BC 的长.

例 5:如图,矩形 ABCD 中 AB=10,BC=8,E 为 AD 边上一点,沿 CE 将△CDE 对折, 点 D 正好落在 AB 边上的 F 处,求 tan∠AFE?
A E F B

D

C

例 6:如图,正方形 ABCD 的边长为 2 2 ,过点 A 作 AE⊥AC,AE=1,连接 BE, 求:tanE

二、巩固提高: 1、在直角三角形中,各边都扩大 2 倍,则锐角 A 的正弦值、余弦值都( ) 。 A、缩小 2 倍 B、扩大 2 倍 C、不变 D、不能确定 2、已知 sinα= 3 ,且α为锐角,则α=(
2

) 。 D、30°

A、 75° B、60° C、45° 3、在△ABC 中,∠C=90°,则下列关系成立的是( )

A. AC=ABsinA

B. BC=ACsinB
2

C. AC=ABsinB

D. AC=BCtanA

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4、在 △ ABC 中,
1 A. 2

∠A ? 30?,∠B ? 45?,AC ?

2 2

,则 BC 等于( C.
2 4

) D.
6 4

B.

2 2

5、在△ABC
10 A . 10

1 中,∠C=90°,tanA= 3 ,则

sinB=
2 B. 3





3 C. 4

3 10 D. 10
sin ?? ? 10? ? ? 3 2 ,则

6、 、已知

为锐角,且
3 2

等于(



A.500

B.600

C.700 D.800 7、已知,<cosA<sin80°,则锐角 A 的取值范围是 ( )

A. D.

B.

C.

⊙O 是 △ ABC 的外接圆,AD 是 ⊙O 的直径, 8、 如图, 若 ⊙O 的半径为 3 ,
2

AC ? 2 ,则 sin B 的值是(

) C.

A.

2 3

B.

3 2

3 4

D.

4 3

9、 如图, 在 Rt△ ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线, 已知 CD ? 2 ,AC ? 3 , 则 sin B 的值是( A. ) B.

2 3

3 2

C.

3 4

D.

4 3

A

10 、如图,在 △ ABC 中, ?ACB ? 90? , CD ? AB 于 D ,若 AC ? 2 3 ,

AB ? 3 2 ,则 tan ?BCD 的值为(


B

D C D

(A) 2

(B)

2 2

(C)

6 3
3 , 5

(D)

3 3
A O

11、在△ABC 中,∠C=90°, BC=6 cm, sin A ? 则 AB 的长是 cm.

B

C

第 12 题 3

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12、如图,在⊙O 中,过直径 AB 延长线上的点 C 作⊙O 的一 切点为 D,若 AC=7,AB=4,则 sinC 的值为. 13、如图,角 ? 的顶点为 O,它的一边在 x 轴的正半轴上, 上有一点 P(3,4) ,则 sin ? ? .

条 切 线, 另一边 OA

14、如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C、D 在⊙O 上,且 AB=5,BC=3. 则 sin∠BAC=;tan∠ADC=. 15、计算:2sin60°+2﹣1﹣20130﹣|1﹣ |

16、如图,在△ ABC 中,∠ C =90°,sin A =

4 , AB =15,求△ ABC 的周长和 tan A 的值. 5

17、如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向,距离灯塔 80 海里的 A 处,它沿正南方向航 行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南东 34°方向上的 B 处。这时,海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远 (精确到 1 海里) ? (参考数据: sin65°≈0.91,cos65°≈0.42, tan65°≈2.14, sin34°
A 65° P 34 C

≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)

C B
A

A

O

B

18、如图,为了测量某建筑物 AB 的高度,在平地上 顶端 A 的仰角为 30°, 沿 CB 方向前进 12m 到达 D 建筑物顶端 A 的仰角为 45°,求建筑物 AB 的高度.
C

C 处测得建筑物 D (第 10 题) 处,在 D 处测得
30° 45° D 第12题图 B

4

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19、如图,一个等腰梯形的燕尾槽,外口 AD 宽 10cm,燕尾槽深 10cm,AB 的坡度 i=1:1,求 AB 的坡角和里口宽 BC
A B D C

E

20、如图所示,一条自西向东的观光大道 l 上有 A、B 两个景点,A、B 相距 2km,在 A 处测得另 一景点 C 位于点 A 的北偏东 60°方向,在 B 处测得景点 C 位于景点 B 的北偏东 45°方向,求景 点 C 到观光大道 l 的距离. (结果精确到 0.1km)

21、天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹.如图,从位于天封塔的观测点 C 测得两建筑物 底部 A,B 的俯角分别为 45°和 60°,若此观测点离地面的高度为 51 米,A,B 两点在 CD 的两 侧,且点 A,D,B 在同一水平直线上,求 A,B 之间的距离(结果保留根号)

22、如图,甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼。甲船以每小时 15 2 千米的速度沿西偏北 30°方向前进,乙船以每小时 15 千米的速度沿东 北方向前进。 甲船航行 2 小时到达 C 处, 此时甲船发现渔具丢在乙船上, 于是甲船快速 (匀速) 沿北偏东 75°的方向追赶, 结果两船在 B 处相遇。 (1)甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间? (2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?
5

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