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2016届四川省雅安市高中第三次诊断性考试数学试题(文科)


雅安市高中 2013 级第三次诊断性考试 数学试题(文科)
(本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,答题时 间 120 分钟) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡 上。并检查条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上;非选择题用 0.5

毫米黑色 墨水签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

第Ⅰ卷 (选择题,50 分)
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.)在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= A. 5-5i B. 7-5i C. 5+5i D. 7+5i

2、已知集合 A= {x|0 ? x ? 2} ,集合 B= {x | y ? A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x≤2}

x - 1} ,则 A ? B ?
D.{x|0≤x≤2}

C.{x|1≤x<2}

3、已知命题 p , q ,那么“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4、相距 1400m 的 A、B 两个哨所,听到炮弹爆炸的时间相差 3s,已知声速 340m/s,则炮弹 爆炸点所在曲线的离心率为 A.

51 70

B.

70 51

C.

35 17

D. 1

5、如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试 成绩依次记为 A1,A2,?,A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法 流程图.那么算法流程图输出的结果是 A.7 C.9 B.8 D.10

6、直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 7 、已知 f ( x) =Asin( ? x ? ? )(A>0 , ? >0 , 0< ? < ? ) ,函数 f ( x) 的图象如图所示,则 f (2016? ) 的值为 A.

2

B. ? 2 D. ? 3

C. 3

8、一个多面体的三视图如图所示,则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别 为

A. 5 和 2

B. 5 和 3

C. 5 和 4

D. 4 和 3

9、假设你家订了一份牛奶,送奶工人在早上 6:00-7:00 之间把牛奶送到你家,你离开家去上 学的时间在早上 6:30-7:30 之间,则你在离开家前能收到牛奶的概率是 A.

1 8

B.

5 8

C.

1 2
/

D.

7 8

10、设函数 f ( x)的导函数为f ?( x) ,对任意 x ? R 都有 xf ( x) ? f ( x) 成立,则

A. 3 f (2) ? 2 f (3) C. 3 f (2) ? 2 f (3)

B. 3 f (2) ? 2 f (3) D. 3 f (2)与2 f (3) 的大小不确定.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11、 2 log 5 10 ? log 5 0.25 ? _________________. 12、抛物线 y ?

1 2 x 的焦点坐标为 4

.

1 4 ? 的最小值为______. a b ??? ? ??? ? 14、在 ?ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC ? 1 ,则 BC=________.
13、若 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 3, 则 15、已知关于 x 的不等式 2 x 2 ? 2mx ? m ? 0 的解集为 A ,若集合 A 中恰好有两个整数,则 实数 m 的取值范围是______________. 三、解答题:(本大题共 6 个小题,75 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分) 某学校高三年级 800 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间.抽取 其中 50 个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15)?? 第五组[17,18],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)若成绩小于 14 秒被认为优秀,求该样本在这次百米测试中优秀的人数; (Ⅱ)请估计本年级这 800 人中第三组的人数; (Ⅲ)若样本第一组只有一名女生,第五组只有一名男生,现从第一、第五组中各抽取 一名学生组成一个实验组,求在被抽出的 2 名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率. 17、 (本题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a2 ? a3 ? a4 ? 15, a5 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3
a n ?1 2

,求数列 {

an ?1 ? b n } 的前 n 项和 S n 2

18、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
3

) ? 2 cos 2 x ? 1 .

(I)求函数 f ( x) 图象的对称中心; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若△ABC 为锐角三角形且

b f ( A) ? 0 ,求 的取值范围. c
19、 (本题满分 12 分) 圆 O 上两点 C, D 在直径 AB 的两侧(如图甲), 沿直径 AB 将圆 O 折起形成一个二面角(如

图乙), 若∠DOB 的平分线交弧 (Ⅰ)证明:平面 OGF∥平面 CAD.

于点 G,交弦 BD 于点 E,F 为线段 BC 的中点.

(Ⅱ)若二面角 C-AB-D 为直二面角,且 AB=2, 的体积.

求四面体 FCOG

20、 (本题满分 13 分) x2 y2 设椭圆 C :a2+b2=1(a>b>0),其长轴长是其短轴长的 2 倍,椭圆上一点到两焦点的 距离之和为 4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ)设曲线 C 的上、下顶点分别为 A、B,点 P 在曲线 C 上,且异于点 A、B,直线 AP,BP 与直线 l : y= ?2 分别交于点 M,N. (1)设直线 AP,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (2)求线段 MN 长的最小值.

21、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x)(a ? R ) (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值. (Ⅱ) 若曲线 y ? f ( x) 在点 (e, f (e)) 处切线的斜率为 3, 且 2 f ( x) ? (b ? 1) x ? b ? 0 对 任意 x ? 1 都成立,求整数 b 的最大值.

雅安市高中 2013 级第三次诊断性考试 数学试题(文科)
参考答案 一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.)在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案

1 C

2 B
12、(0,1)

3 A

4 B
13、3

5 D
14、 3

6 C

7 A
15、 ?

8 B

9 D

10 A

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11、2

8 2 8 18 ?m?- 或 ?m? . 5 5 3 3

三、解答题:(本大题共 6 个小题,75 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分) (1) 由题可知成绩小于 14 秒的频率为 0.06 所以该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为 500.06=3(人) ????2 分

(2) 样本成绩属于第三组的频率为 0.38,故本年级 800 名学生中成绩属于第三组的人数为 8000.38=304(人) ???????????????????4 分

(3) 由题可知第一组中有一女二男,第五组一男三女 设第一组学生为 x,1,2,第五组学生为 a,b,c,3, (用字母表示女生,用数字表示男生), 则所有的抽取结果为:xa,xb,xc,x3,1a,1b,1c,13,2a,2b,2c,23 共 12 种,其中 仅有 x3,1a,1b,1c,2a,2b,2c 表示一男一女共 7 种。 所以所求事件的概率为 17、 (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为d首项a1 ,由题意得 且? . ??????????????12 分

?a2 ? a3 ? a4 ? 15 ?3a1 ? 6d ? 15 即? ?a1 ? 4d ? 9 ?a5 ? 9

解得 ?

?a1 ? 1 ?d ? 2

的通项公式为an ? 2n ? 1 所以数列 ?an ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? 3

??????????????6 分

an ?1 ? 3n 2

所以

an ?1 .bn ? n.3n 2

所以 S n ? 1.3 1 ? 2.32 ? 3.33 ? n.3n ?1

两式相减得 2 S n ? ?(3 ? 3 2 ? 3 ? 3 ? ? 3n ) ? n.3n ?1 ?????10 分
3 4

?( 3 1 ? 3n) 3? (2n ? 1 ) .n.3n ?1 ? n.3n ?1 ? 1? 3 2 n ?1 3 ? (2n ? 1).3 即Sn ? 4 ?
?????????12 分 18、 (本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
3

) ? 2 cos 2 x ? 1

? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ?2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

??????????4 分

由 2x ?

? ? k? ? k? (k ? Z ) 解得 x ? ? ? 12 2 6
?
12 ? k? ,1) (k ? Z ) ????????????6 分 2

故所求对称中心为 (? ( 2 ) 由

f ( A) ? ?2 sin(2 A ?

?

b sin B ? ? c sin C

sin(

2? ? C) 3 1 3 ? ? sin C 2 tan C 2

? , 2? ) ?1 ? 0 解 得 A ? B?C ? 6 3 3



所 以

又 ?ABC 为锐角三角形,故 所以 1 ? b ?

?

6

?C?

?

2

2

c

b 1 3 1 ? ? 2 ,即 的取值范围是 ( ,2) ??????12 分 c 2 2 tan C 2

19、 (本题满分 12 分) 解析:⑴

又 OF
…………………………………..……2 分

又 OG 又可知 AD 又 OG

……………………..…4 分 …………………………………………5 分

又 平面 OGF∥平面 CAD…………………………..……6 分

⑵过 G 作 GH

,垂足为 H,

又二面角 C-AB-D 为直二面角,即平面 CAB 由已知得 则 CO ,
…………………………8 分

又 AD=1,又 ADGO 为菱形,

GH= ……………………………………………………………………………………………10 分

又可知

…11 分

=
20、 (本题满分 13 分) (Ⅰ)C 的方程为: x ? y 4
2 2

…………………12 分

?1

……………………………………………………4 分

(Ⅱ) (1)由题意,A(0,1),B(0,-1),令 P(x0,y0),则 x0≠0, ∴直线 AP 的斜率 k1=

y0-1 y0+1 ,BP 的斜率 k2= . x0 x0
2

又点 P 在椭圆上,∴ +y0=1(x0≠0), 4 1- -1 4 y2 1 0-1 从而有 k1k2= 2 = =- . 2 x0 x0 4 即 k1k2 为定值. ????????7 分

x2 0

x2 0

(2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y-1=k1(x-0), 直线 BP 的方程为 y-(-1)=k2(x-0),
?y-1=k1x, ? 由? ? ?y=-2

3 ? ?x=- , k1 得? ? ?y=-2,

?y+1=k2x, ? 由? ?y=-2 ?

1 ? ?x=- , k 2 得? ? ?y=-2,

? 3 ? ∴直线 AP 与直线 l 的交点 M?- ,-2?, ? k1 ? ? 1 ? 直线 BP 与直线 l 的交点 N?- ,-2?. ? k2 ?
1 又 k1k2=- , 4

? 3 1? ?3 ? ?3? ∴|MN|=?- + ?=? +4k1?=? ?+|4k1| ? k1 k2? ?k1 ? ?k1?
≥2

? 3 ?·|4k |=4 3, ?k1? 1 ? ?

3 ?3? 当且仅当? ?=|4k1|,即 k1=± 时等号成立, 2 ?k1? 故线段 MN 长的最小值是 4 3. 21、 (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? x ln x( x ? 0) ∴ f ( x) ? 1 ? ln x
'

………………………………………………13 分

∴ f ' ( x) ? 0 ? x ?
'

1 ' 1 , f ( x) ? 0 ? 0 ? x ? e e

当 x 变化时, f ( x) 与 f ( x) 变化如下表: X

1 (0, ) e
- 递减

1 e
0 极小值

1 ( ,??) e
+ 递增

f ' ( x)
f ( x)
∴当 x ?

1 1 1 时, f ( x) 有极小值 f ( ) ? ? . ………………………………………..4 分 e e e (2)易求得 a ? 1 ………………………………………………………….……………………..6 分 x ? 2 x ln x 故问题化为 b ? 在 (1,??) 上恒成立 x ?1

令 g ( x) ?

2 x ? 3 ? 2 ln x x ? 2 x ln x ( x ? 1) ( x ? 1) ,则 g ' ( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2

又令 h( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ln x( x ? 1) ,

则 h ' ( x) ?

2( x ? 1) 上恒成立, ? 0在 ( 1,??) x

∴ h( x ) 在 递增, ( 1,??) 又∵ h(2) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0, h( ) ? 2 ? 2 ln

5 2

5 ?0 2 5 2

∴ h( x) 在 (1,??) 上有唯一零点,设为 x 0 ,则 x0 ? ( 2, ) 且 h( x0 ) ? 2 x0 ? 3 ? 2 ln x0 ? 0 ①

∴当 x ? (1, x 0 ) 时, h( x) ? 0 ;当 x ? ( x 0 ,??) 时, h( x) ? 0 , ∴当 x ? (1, x 0 ) 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? ( x 0 ,??) 时, g ( x) ? 0 ,
' '

∴ g ( x) 在 (1, x 0 ) 上递增,在 ( x 0 ,??) 上递减, ∴ g ( x) min ? g ( x 0 ) ?

x0 ? 2 x0 ln x0 ,将①代入有 x0 ? 1

g (x0 ) ?

x0 ? 2 x0 ln x0 x0 ? x0 (2 x0 ? 3) ? ? 2 x0 ? (4,5) x0 ? 1 x0 ? 1

所以 b ? g ( x0 ) ? (4,5) 所以整数 b 的最大值为 4. ???????????????????14 分


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