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2009年高考湖南文科数学试题及全解全析


2009 年高考湖南文科数学试题及全解全析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. log2

2 的值为【 D 】
B. 2 C. ?

A. ? 2

1 2

D.

1

2

解:由 log 2

1 1 1 2 ? log 2 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

2.抛物线 y ? ?8x 的焦点坐标是【 B 】
2

A. (2,0)

B. (- 2,0)

C. (4,0)

D. (- 4,0)

解:由 y 2 ? ?8x ,易知焦点坐标是 (?

p , 0) ? (?2, 0) ,故选 B. 2

3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于【 C 】 A.13 解: S7 ? B.35 C.49 D. 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

或由 ?

?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?? 1 ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2
7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2

所以 S7 ?

4.如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则【 A 】 A. AD ? BE ? CF ? 0 B. BD ? CF ? DF ? 0 C. AD ? CE ? CF ? 0

???? ??? ? ??? ?

?

A D B F C

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ? D. BD ? BE ? FC ? 0

E
图1

解: ? AD ? DB,? AD ? BE ? DB ? BE ? DE ? FC, 得 AD ? BE ? CF ? 0 ,故选 A. 或 AD ? BE ? CF ? AD ? DF ? CF ? AF ? CF ? 0 . 5.某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上 有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A.14 B.16 C.20 D.48

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ??? ? ??? ?

???? ???? ??? ?

??? ? ??? ?

?

3 2 1 解:由间接法得 C6 ? C2 ? C4 ? 20 ? 4 ? 16 ,故选 B.

AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为【 C 】 6.平面六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,既与
A.3 B.4 C.5
D1 A1 D B1 C C1

D.6

解:如图,用列举法知合要求的棱为:

BC 、 CD 、 C1D1 、 BB1 、 AA1 ,
故选 C.

A

B

7.若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是【 A 】 y y y y

o

a
A .

b x

o

a
B.

b x

o

a
C.

b x

o

a
D.

b x

解: 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [ a, b] 上是增函数,即在区间 [ a, b] 上 各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

8.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f (x ) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2 A . ( ??, 0) 解: 函数 f ( x) ? 2
?x

?x

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为【 C 】 2
C . (??, ?1) D . (1, ??)

B. (0, ??)

1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x) ? K ? ? x ? (??, ?1] ? [1, ??) , 2 2
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

故在 (??, ?1) 上是单调递增的,选 C.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上。 ... 9 .某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项 运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .

解: 设所求人数为 x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为 10 ? (15 ? x) ? x ? 5 , 故 15 ? x ? 5 ? 30 ? 8 ? x ? 12 . 注:最好作出韦恩图!

10.若 x ? 0 ,则 x ? 解: ? x ? 0 ? x ? 11.在 (1 ?

2 的最小值为 x

2 2

.

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

2 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? ? x ? 2 时取等号. x x
6 (用数字作答).

x ) 4 的展开式中, x 的系数为
r

r r 2 解: ? Tr ?1 ? C4 ( x )r ? C4 ( x) 2 ,故 r ? 2 得 x 的系数为 C4 ? 6.

12. 一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。 已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 解: 设总体中的个体数为 x ,则

1 ,则总体中的个体数为 120 12

.

10 1 ? ? x ? 120. x 12

x2 y 2 13.过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点作圆 x2 ? y 2 ? a2 的两条切线, a b
切点分别为 A,B,若 ?AOB ? 120 (O 是坐标原点) ,则双曲线线 C 的离心率为 2 .
?

? ? ? 解: ? ?AOB ? 120 ? ?AOF ? 60 ? ?AFO ? 30 ? c ? 2a , ? e ?

c ? 2. a

14.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 2 cos A



AC 的取值范围为 ( 2, 3) .

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

解: 设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得
? ? ?

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
?

由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3). ??? ? ??? ? ??? ?

15.如图 2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD ? xAB ? yAC ,则

x?

1?

3 2

,y?

3 . 2

图2 解:作 DF ? AB ,设 AB ? AC ? 1 ? BC ? DE ?

2 ,? ?DEB ? 60? ,? BD ?

6 , 2

由 ?DBF ? 45 解得 DF ? BF ?
?

6 2 3 3 3 ? ? , 故 x ? 1? , y? . 2 2 2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值;

?

?

?

?

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

?

?

?

?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos ? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 3? ? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?
17. (本小题满分 12 分) 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程 三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的 目参与建设.求: (I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率. 解: 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

?

1 1 1 、 、 .现有 3 名工人独立地从中任选一个项 2 3 6

Ai , Bi , Ci , i=1,2,3.由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立, C1, C2 , C3
相互独立, Ai , Bj , Ck (i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立, 且 P( Ai ) ?

1 1 1 , P( Bi ) ? , P(Ci ) ? . 2 3 6 1 1 1 1 ? ? ? . 2 3 6 6

(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= 3! P( A 1B2C3 ) ? 6P( A 1 ) P( B2 ) P(C3 ) ? 6 ? (Ⅱ)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率
w.w.w. k. s.5 .u.c.o.m

P= 1 ? P( B1 B2 B3 ) ? 1 ? P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) ? 1 ? (1 ? ) ?
3

1 3

19 . 27

18. (本小题满分 12 分) 如图 3,在正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB=4, AA 1 ? 7 ,点 D 是 BC 的中点, 点 E 在 AC 上,且 DE ? A 1 E.

? 平面 ACC1 A1 ; (Ⅰ)证明:平面 A 1DE
(Ⅱ)求直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值。

? 平面 ABC . 解:(Ⅰ)如图所示,由正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的性质知 AA 1 ? A1 E, AA1 ? A1E ? A1 , 又 DE ? 平面 ABC,所以 DE ? AA 1 .而 DE
所以 DE⊥平面 ACC1 A 1 .又 DE ? 平面 A 1DE , 故平面 A 1DE ⊥平面 ACC1 A 1.

F, (Ⅱ)解法 1: 过点 A 作 AF 垂直 A 1E 于点
连接 DF.由(Ⅰ)知,平面 A 1DE ⊥平面 ACC1 A 1,

? ADF 是直线 AD 和 所以 AF ? 平面 A 1DE ,故
? ACC1 A1 , 平面 A 1DE 所成的角。 因为 DE
所以 DE ? AC.而 ? ABC 是边长为 4 的正三角形, 于是 AD= 2 3 ,AE=4-CE=4- CD =3. 又因为 AA 1E ? 1 E= A 1 ? 7 ,所以 A

1 2

AA12 ? AE 2 ? ( 7) 2 ? 32 = 4,

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

AF ?

AF 21 AE ? AA1 3 7 , sin ?ADF ? . ? ? AD 8 A1E 4 21 8

即直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值为

.

解法 2 : 如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角坐标系, 则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,),

A1 (2,0, 7 ), D(-1,

3 ,0), E(-1,0,0).
????

易知 A , DE =(0,- 3 ,0) , AD =(-3, 3 ,0). 1D =(-3, 3 ,- 7 )

???? ?

????

设 n ? ( x, y, z) 是平面 A 1DE 的一个法向量,则

r

r uuu v ? n ? ? DE ? ? 3 y ? 0, ? r uuu v ? ?n ? A1D ? ?3x ? 3 y ? 7 z ? 0.
解得 x ? ?

7 z, y ? 0 . 3

r 故可取 n ? ( 7,0, ?3) .于是

r uuu r r uuu r n ? AD ?3 7 21 cos n, AD ? r uuu ?? r = 8 n ? AD 4 ? 2 3

. w.w. w. k. s.5.u.c.o.m

由此即知,直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值为 19. (本小题满分 13 分)

21 8

.

已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称.
3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称,

所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6
3 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 6 x ? cx , f ?( x) ? 3x ?12x ? c ? 3( x ? 2) ? c ?12 . (ⅰ)当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值。 (ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数; 当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 .
2 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t ? 6t ? ct ? ?2t ? 6t , t ? (2, ??).
3 2 3 2

当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t 2 ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线 段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值范围。

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

x2 y 2 解: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 焦距为 2c , a b
由题设条件知, a 2 ? 8, b ? c, 所以 b ?
2

1 2 a ? 4. 2

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

.

(Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x ? ?4, 所以点 P 的坐标 (?4, 0) , 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) 。

w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

如图,设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 线段 MN 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 16k x ? 32k ? 8 ? 0 . ?1 ? ? 4 ?8
由 ? ? (16k ) ? 4(1 ? 2k )(32k ? 8) ? 0 解得 ?
2 2 2 2

……①

2 2 ?k? . 2 2

……②

因为 x1 , x2 是方程①的两根,所以 x1 ? x2 ? ?

16k 2 ,于是 1 ? 2k 2

x0 ?

x1 ? x2 4k 8k 2 =? , y0 ? k ( x0 ? 4) ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

.

8k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 因为 x0 ? ? 1 ? 2k 2
又直线 F1B2 , F 1B 1 方程分别为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为
2 ? ? 4k 8k 2 ? y0 ? x0 ? 2, ?2k ? 2k ? 1 ? 0, ? ? ? 2, 即? 亦即 ? 2 ? ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? y0 ? x0 ? 2. ?2k ? 2k ? 1 ? 0. 8k ? 4k

w. w.w. k.s.5.u.c.o.m

? ?1 ? 2k 2

?

1 ? 2k 2

? 2,

解得 ?

3 ?1 3 ?1 ,此时②也成立. ?k? 2 2 3 ?1 3 ?1 , ]. 2 2

故直线 l 斜率的取值范围是 [? 21. (本小题满分 13 分)

对于数列 {un } ,若存在常数 M>0,对任意的 n ? N ,恒有
*

un?1 ? un ? un ? un?1 ? ?? u2 ? u1 ? M ,
则称数列 {un } 为 B ? 数列. (Ⅰ)首项为 1,公比为 ?

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

1 的等比数列是否为 B-数列?请说明理由; 2

(Ⅱ)设 Sn 是数列 {xn } 的前 n 项和.给出下列两组判断: A 组:①数列 {xn } 是 B-数列, B 组:③数列 {Sn } 是 B-数列, ②数列 {xn } 不是 B-数列; ④数列 {Sn } 不是 B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假,并证明你的结论;
2 (Ⅲ)若数列 {an } 是 B-数列,证明:数列 {an } 也是 B-数列。

解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为 {an } ,则 an ? ( ? )

1 2

n ?1

.于是

1 1 3 1 an ? an?1 ? (? )n?1 ? (? )n?2 ? ? ( ) n?2 , n ? 2. 2 2 2 2

| an?1 ? an | ? | an ? an?1 | ??? | a2 ? a1 |

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

=

3 ? 1 1 2 1 n -1 ? 1 n? ? = 3 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ( )? ? ? ( ) ( ) ? 3. ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ?
1 的等比数列是 B-数列 2
.

所以首项为 1,公比为 ?

(Ⅱ)命题 1:若数列 {xn } 是 B-数列,则数列 {Sn } 是 B-数列.此命题为假命题. 事实上设 xn =1, n ? N ,易知数列 {xn } 是 B-数列,但 Sn =n,
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? n .
由 n 的任意性知,数列 {Sn } 不是 B-数列。 命题 2:若数列 {Sn } 是 B-数列,则数列 {xn } 不是 B-数列。此命题为真命题。 事实上,因为数列 {Sn } 是 B-数列,所以存在正数 M,对任意的 n ? N ,有
*

| Sn?1 ? Sn | ? | Sn ? Sn?1 | ??? | S2 ? S1 |? M ,
即 | xn?1 | ? | xn | ??? | x2 |? M .于是 xn?1 ? xn ? xn ? xn?1 ??? x2 ? x1

? xn?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ??? 2 x2 ? x1 ? 2M ? x1 ,
所以数列 {xn } 是 B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)
?
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅲ)若数列 ?an ? 是 B-数列,则存在正数 M,对任意的 n ? N , 有

an?1 ? an ? an? a ?n 1 ? ??

a ? 2

1

a ?

.M

因为 an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1 ? a1

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ??? a2 ? a1 ? a1 ? M ? a1 .
2 2 记 K ? M ? a1 ,则有 an ?1 ? an ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an )

? ( an?1 ? an ) an?1 ? an ? 2K an?1 ? an .
2 2 2 2 2 2 因此 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? ... ? a2 ? a1 ? 2 KM . 2 故数列 an 是 B-数列.
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

? ?


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