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高中数学必修3概率复习


必修 3 概率复习
一、知识结构图
对立事件 必然事件 互斥事件 加法公式

基 本 事 件 空 间

事件

随机事件

概率

等可能事件 比例算法

不可能事件

几何概型 随机数

概 率 应 用

随 机 现 象

试验

二、基础知识 1、 事件与概率: 当我们在同样的条件下重复试验时,有的结果始终不会发生,此事件称为不可能事件; 有的结果一定会发生,称为必然事件; 有的结果可能发生也可能不发生,称为随机事件,通常用大写字母 A,B,C 等表示。 对于随机事件,它发生的可能性大小我们称之为概率, 0 ? P ? A ? ? 1 2、概率的统计学定义:
m

一般地,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率 n ,当 n 很大时,总是在某个常数附近摆动,这时 就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A). 3、古典概型: (1)在一次试验中,我们往往关心所有可能出现的结果,把每一个结果称为一个基本事件,所有基本事 件构成的集合称为基本事件空间,通常用希腊字母Ω表示。 用集合来解释上述概念: a)基本事件----元素 b)基本事件空间----全集 c)随机事件----全集的 子集 (2)古典概型是一种特殊的概率模型,其特征是: ? (1)有限性:每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个; ? (2)等可能性:每次试验中,各基本事件的发生都是等可能的. 概率的古典定义: 设一试验有 n 个等可能的基本事件,而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件, 则事件 A 的概率 P(A)定义为 P(A)=
m n

4、几何概型: 事件 A 理解为区域Ω的某一子区域,A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比, 而与 A 的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型. 在几何概型中,事件 A 的概率定义为 P(A)=

构成事件A的几何度量 ; 试验的全部结果所构成的几何度量

1

5、事件的并:由事件 A 和 B 至少有一个发生(即 A 发生,或 B 发生,或 A、B 都发生)所构成的事件 C, 称为事件 A 与 B 的并(或和) 。记作 C=A ? B(或 C=A+B) 。事件 A ? B 是由事件 A 或 B 所包含的基本事件所 组成的集合。 6、事件的交:把事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D,称为事件 A 与 B 的并(或和) 。记作 D=A ? B(或 D=AB) 。事件 A ? B 是由事件 A 和 B 所共同含有的基本事件所组成的集合。 7、互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称为互不相容事件); (1)互斥事件的概率加法公式 : P( A ? B) ? P( A) ? P( B) (2)对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。 (3)事件 A 的对立事件记作 A . P( A ? A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( A)

(4)互斥事件的概率的求法:如果事件 A1 , A2 ,?, An 彼此互斥, 那么 P( A1 ? A2 ??? An ) = P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )
8、随机数模拟: 例:天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,这三天中恰有两天下雨的概率大概是多 少? 解:我们通过设计随机模拟试验来解决问题,利用计算器或计算机可以产生[0,9]之间的整数值随机 数(若不是整数型,取整转换成整数型),我们用 1、2、3、4 表示下雨,用 5、6、7、8、9、0 表示不下 雨,这样可以体现下雨的概念是 40%. 因为是 3 天,所以每三个随机数作为一组. 例如 20 组 907、966、191、925、271、932、812、458、569、683、431、257、393、027、556、488、 730、113、537、989. 相当于作了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1、2、3、4 中,则表示恰 有两天下雨. 于是我们得到三天中恰有两天下雨的概率近似为 5/20=25%. 注:本题也完全可以利用随机数表来做;出自 A 版教材.在本题中,用随机数模拟得到的估计与实际 算得的概率值会有数值上的出入,由此也可以看出估计的准确性与试验次数有很大的联系.可以领着学生 读随机数表,在试验次数增多时,可以看出频率与概率的关系. 三、复习建议 1. 落实基本事件、基本事件空间、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型等重要概念; 2. 养成良好的读题、审题习惯,把握解题“节奏” ; 3. 建立模型化的意识,会用模型化的思想和方法处理问题; 4. 在处理古典概型及几何概型问题中,常常要用到“化无限为有限”的处理问题方法 5. 注意加强概率与统计的综合训练,特别关注以统计内容为载体的概率问题。 6. 养成规范的书写表达习惯: (1)设出所求事件; (2)写出基本事件空间(或写出所有基本事件) ; (3)指出基本事件总数; (4)写出所求事件所包含的所有基本事件; (5)指出所求事件所包含的基本事件个数; (6)代入公式求解。
2

以古典概型为例(强调“列举法”: )

四、练习 1、从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 2、在正常情况下,某工厂生产的产品中,出现二级品的概率是 9%,出现三级品的概率是 4%,其余都是 一级品,则出现非一级品的概率是 . 3、箱子内有大小形状相同的一些黑球、黄球和白球,摸出黑球的概率为 0.42,摸出黄球的概率为 0.18, 则摸出白球的概率为 ,摸出的球不是黄球的概率为 ,摸出的球或者是黄球或者是黑 球的概率为 . 4、袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。 5、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校 6 名学生进行问 卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10。把这 6 名学生的得分看成一个总体。 (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体 平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。 6、在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A.

?x

1 3

B.

2 ?

C.

1 2

2 2 D. 3

的值介于 0 到

1 之间的概率为( 2

).

7、在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, E 是到原点 的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投点在 E 中的概率是 8、在长度为 10 的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.

3

四、练习答案 1、C 2、0.13 3、.答案:0.4, 0.82, 0.6 4、解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、、 )(红、红、黑)(红、黑、红) 、 、 (红、黑、黑)(黑、红、红)(黑、红、黑)(黑、黑、红)(黑、黑、黑) 、 、 、 、 (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A; 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑)(红、黑、红) 、 、 (黑、 红) 红、 事件 A 包含的基本事件数为 3 由 (I) 可知, 基本事件总数为 8, 所以事件 A 的概率为 P( A) ? 3
8

5、解: (1)总体平均数为 7.5(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有: (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共15个基本结果。事件A包含 的基本结果有:(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有7个基本结果;所以所 求的概率为 P ? A ? ? 7 6、A.
2 7、 P ? ? ?1 ? ?

15

4? 4

16

8、解:设构成三角形的事件为 A,长度为 10 的线段被分成三段的长度分别为 x,y,10-(x+y) , 则
?0 ? x ? 10 ?0 ? x ? 10 ? ,即 ?0 ? y ? 10 . ?0 ? y ? 10 ? ?0 ? 10 ? ( x ? y ) ? 10 ?0 ? x ? y ? 10 ? ?

y 10

由一个三角形两边之和大于第三边,有

5

x ? y ? 10 ? ( x ? y) ,即 5 ? x ? y ? 10 .
又由三角形两边之差小于第三边,有 O 5 10 x

x ? 5 ,即 0 ? x ? 5 ,同理 0 ? y ? 5 .
∴ 构造三角形的条件为 ?0 ? x ? 5 ?
?0 ? y ? 5 ?5 ? x ? y ? 10 ?



∴ 满足条件的点 P(x,y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域的边界) . 1 25 1 S?阴影= ·2= , S?OAB= · 2=50 . 5 10 2 2 2 ∴ P( A)=

S?阴影 1 = . S?OMN 4

4


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