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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:1.1 集合


1.1 集 合

考点梳理 1.元素与集合 确定性 (1)集合中元素的特性:①______ 、②互异性 ______、无序性. (2)元素与集合的关系:若 a 属于 A,记作③______ a∈A ,若 b b?A 不属于 A,记作④________. (3)集合的表示方法:⑤________ 列举法 、⑥________ 描述法 、图示法. (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N* 符号 ⑦______ ⑧________ ⑨____ ⑩____ ?____ N Z Q R

2.集合间的基本关系 (1)集合相等: 若集合 A 与集合 B 中的所有元素?______ 都相同, 则称 A 与 B 相等. 每一个元素均为集合 B 中的元素, (2)子集: 若集合 A 中?__________ 则称 A 是 B 的子集,记作 A?B 或 B?A,?__________ 是任 空集 何集合的子集.

(3)真子集:若集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元 至少有一个元素 不是集合 A 的元素, 素,且集合 B 中?__________________ 则称 A 是 B 的真子集,记作 A? B 或 B? A,空集是任何? ________的真子集. 非空集合 (4)空集是任何集合的子集,是任何?非空 ____集合的真子集. n 2 (5)含有 n 个元素的集合的子集个数为?______,真子集 2n-1,非空真子集个数为?______. 2n-2 个数为?______

3.集合的基本运算 集合的并集 符号 表示 表图 形示 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为 U,则集 合 A 的补集为?UA

x∈U x∈A x ∈ A 或 x ∈ B 意义 {x|__________} {x|________} {x|____________} 且 x?A 且 x∈B

考点自测 1.已知 i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S B.i2∈S 2 3 C.i ∈S D. ∈S i

)

解析:由 i2=-1,得 i2∈S,选 B. 答案:B

2.若 P={x|x<1},Q={x|x>-1}则( A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q??RP

)

解析:由题意知?RP={x|x≥1},故?RP?Q,选 C. 答案:C

3.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

解析:由 P=M∩N={1,3},知 P 的子集共有 22=4 个, 选 B. 答案:B

4.设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B ={2},则 A∪B=__________.

解析:由 A∩B={2},知 2∈A,得 log2(a+3)=2,故 a =1.A={2,5},B={1,2},所以 A∪B={1,2,5}. 答案:{1,2,5}

5.(2014· 盐城模拟)如图,已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 集合 A={2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列 举法写出图中阴影部分表示的集合为__________.

解 析 : 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 A∩C∩( ? UB) = {2,4,5,8}∩{2,6,8,9,10}={2,8}. 答案:{2,8}

疑点清源 1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特 征, 尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用. 在解决 含参数问题时, 要注意检验, 否则很可能会因为不满足“互异 性”而导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合, 空集是任何集合的子集. 在 解题时, 若未明确说明集合非空时, 要考虑到集合为空集的可 能性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的情况.

3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个元素是 0.{?} 是含有一个元素?的集合.??{0},??{?},?∈{?},{0}∩{?} =?.

题型探究 题型一 集合的含义与表示 例 1.若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x ∈A,y∈B}中的元素的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2

解析:x=-1,y=0 时,z=-1;x=-1,y=2 时,z= 1;x=1,y=0 时,z=1;x=1,y=2 时,z=3,故 z 的值为 -1,1,3,即所求集合中共 3 个元素,选 C. 答案:C

点评:涉及集合中元素的个数问题,常用列举法求解,但 在列举时要注意集合中元素的互异性, 即相同的元素只能视作 一个元素.

变式探究 1 若集合 A={1,2},B={0,2},C={z|z=xy, x∈A,y∈B},则集合 C 的所有元素和为( ) A.2 B.4 C.6 D.8

解析:由题意,得 C={0,2,4},故 C 中所有元素之和为 6. 答案:C

题型二 集合间的基本关系 例 2.已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析:由题意可知,P={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}.又 P ∪M=P,所以 M?P,故-1≤a≤1. 答案:C

点评: 已知集合间关系求参数时, 关键是将集合间关系转 化为元素间的关系, 进而转化为参数满足的关系. 解题时注意 数轴、Venn 图的运用.注意等价转化思想在解题中的应用, 如 A∩B=A?A?B;A∪B=A?B?A.

变式探究 2 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a), 若 A?B, 则实数 a 的取值范围是(c, +∞), 其中 c=________.

解析:A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},即 A=(0,4],由 A ?B,B=(-∞,a),且 a 的取值范围是(c,+∞),可以结合 数轴分析得 c=4. 答案:4

题型三 集合的基本运算 例 3.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0}, 则 A∩(?RB)=( ) A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4)

解析:由 B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},得?RB= {x|x<-1 或 x>3},所以 A∩(?RB)={x|3<x<4}=(3,4),选 B. 答案:B

点评:在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数 轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表 示; 集合元素连续时用数轴表示, 用数轴表示时注意端点值的 取舍.

变式探究 3 (2014· 温州联考)已知 A,B 均为集合 U= {1,2,3,4,5,6}的子集, 且 A∩B={3}, (?UB)∩A={1}, (?UA)∩(? ) UB)={2,4},则 B∩(?UA)=( A.{1} B.{3,4} C.{5,6} D.{3,6}

解析:依题意及 Venn 图可得 B∩(?UA)={5,6},选 C.

答案:C

题型四 集合中的点集问题 例 4.已知集合 M={(x,y)|y=x2},N={(x,y)|y=2x},则 M∩N 的元素个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:画图可知,y=x2 与 y=2x 的图象在第二象限只有 1 个交点.在第一象限有(2,4)和(4,16)2 个交点,故 M∩N 的元 素个数为 3 个,选 C. 答案:C

点评:集合中的点集问题一般要转化为平面解析几何问 题,利用数形结合的思想方法求解.

变式探究 4 已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2= 1}, B={(x, y)|x, y∈R, 且 y=x}, 则 A∩B 的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

解析:集合 A 表示圆 x2+y2=1 上的点构成的集合,集合 B 表示直线 y=x 上的点构成的集合,可判定直线和圆相交, 故 A∩B 的元素个数为 2. 答案:C

题型五 集合中的新定义问题 例 5.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S,有 ab ∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不 相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T,有 abc∈T; ?x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( ) A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的

解析:取 T={x|x∈(-∞,0),且 x∈Z},V={x|x∈(0, +∞),且 x∈Z}∪{0},可得 T 关于乘法不封闭,V 关于乘法 封闭,又取 T={奇数},V={偶数},可得 T,V 关于乘法均封 闭,故排除 B、C、D,选 A. 答案:A 点评:剥去新概念的“外衣”,弄清问题的本质,转化为 元素与集合间的关系, 集合间的基本运算等熟悉的问题, 这是 破解问题的关键.

变式探究 5 设 S 为实数集 R 的非空子集.若对任意 x、 y∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+b 3|a,b 为整数}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?R 的任意集合 T 也是封 闭集. 其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号)

解析:对于①,取 x=a1+b1 3,y=a2+b2 3,则 x+y =(a1+a2)+(b1+b2) 3, 所以 x+y∈S;又 x-y=(a1-a2)+(b1-b2) 3,所以 x-y ∈S; 同时 xy=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1) 3,而 a1,b1,a2, b2∈Z,所以 xy∈S,故①正确; 当 x=y 时,有 0∈S,故②为真命题; 当 S={0}时,S 为封闭集,故③为假命题; 对于④,若 S={a+b 3|a,b∈Z},T=S∪{ 2},S 为封 闭集,但 T 不为封闭集,故④为假命题. 答案:①②

名师归纳 ?方法与技巧 1.集合中的元素的三个性质,特别是无序性和互异性在 解题时经常用到. 解题后要进行检验, 要重视符号语言与文字 语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理 转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时, 要注意单独考虑等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借 助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.

?失误与防范 1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是 任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关 系;二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或 其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算 的常用方法, 其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是 空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(? UB)=?这五个关系式的等价性.

随堂检测 1.设全集 U={x|x≤7, x∈N*}, 集合 A={1,3}, B={2,6}, 则?U(A∪B)=( ) A.{2,3,6} B.{1,2,7} C.{2,5,7} D.{4,5,7}

解析:由题知 U={1,2,3,4,5,6,7},A∪B={1,2,3,6},故? U(A∪B)={4,5,7},故选 D. 答案:D

2.(2014· 珠海模拟)已知集合 A={x|x>1},B={x|x2-2x <0},则 A∪B=( ) A.{x|x>0} B.{x|x>1} C.{x|1<x<2} D.{x|0<x<2}

解析: 解不等式: x2-2x<0, 得 0<x<2, 由并集的概念, 可得 A∪B={x|x>0}. 答案:A

4x ,x∈M},则 M∩N=( ) 2 1 1 A.{x|0<x< } B.{x| <x<1} 2 2 C.{x|0<x<1} D.{x|1<x<2}

3.(2014· 内蒙古调研)已知集合 M={x|x>x2},N={y|y=

x 4 解析:因为 M={x|x>x2}={x|0<x<1},N={y|y= ,x 2 1 1 ∈M}={y| <y<2},所以 M∩N={x| <x<1}. 2 2 答案:B

4.(2014· 武汉调研)已知全集为 R,集合 A={x|log2x<1}, B={x|x-1≥0},则 A∩(?RB)=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|0<x<2} C.{x|x<1} D.{x|1<x<2}

解析:由 log2x<1 可得 0<x<2,所以 A=(0,2),由 B= {x|x≥1}可得?RB=(-∞,1),所以 A∩?RB=(0,1),故选 A. 答案:A

5.设全集 U 为实数集 R,M={x||x|>2},N={x|x2-4x +3<0},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A.{x|x<2} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|1<x≤2}

解析:根据图象可知阴影部分为 N∩?RM,由 M={x||x| >2}可得?RM={x|-2≤x≤2}; 由 N={x|x2-4x+3<0}可得 N ={x|1<x<3},所以 N∩?RM={x|1<x≤2},故选 D. 答案:D


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